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人教版（2024）八年级下 第20章 勾股定理 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1，1， C．6，7，10 D．32，42，52
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则AB的值是（　　）
A．10 B． C． D．4.8
3．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　）
A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺
4．将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm,高为8cm的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为h cm.则h的取值范围是（　　）
A．h≤16cm B．h≥7cm C．7cm＜h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
5．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+2S2-S1=48，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．8 B．12 C．6 D．24
6．如图是一个底面半径为5cm,高为24cm的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　）

A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm
7．如图，一块四边形地ABCD，已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°，AB=13m,BC=12m,则这块地的面积为（　　）
A．30m2 B．24m2 C．18m2 D．12m2
8．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，若AB=5，BC=8，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD=8，CD=6，且AC=AD，记AB长为x,AC长为y,当x,y变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x2+y2 B．x2-y2 C．x2 y2 D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，作DE∥BC交AB于点E．若，，则△BDC的面积为（　　）
A． B． C．12 D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB=10cm,BC=6cm,则GH的长度为（　　）
A． B． C．3cm D．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=6，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在线段OD，OC上，且CN=x,DM=y,且x＞y,若CM=DN=5，当x,y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x+y C．x-y D．x2+y2
二．填空题（共5小题）
13．有一根高度为18米的竹子，在某处弯折后尖端落在地上，竹尖与竹根的水平距离是6米，则竹子弯折处距离地面的高度是______米．
14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=4，则正方形ADEC的面积是______．
15．将两张直角三角形纸片按如图放置，已知BO=4，AC=8，O是AC的中点，△ABO与△CDO的面积之比为4：3，则OD的长为______，△OBC的面积为______．
16．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF并延长，交BC于点M，若S正方形ABCD=9，E为AF中点，则BM的长为______．
17．如图，在Rt△ABC中，点P为斜边AB的中点，点Q为AC边上不与端点重合的一动点，连接BQ，PQ．若AB=6，∠A=30°，则BQ+PQ的最小值为______．
三．解答题（共5小题）
18．数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片ABC，已知底边BC=20cm,点D是腰AB上一点，且CD=16cm,BD=12cm.
（1）请你判断△BCD的形状，并说明理由：
（2）求三角形腰AB的长度．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD=4，BD=3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
20．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km,且AB=500km,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求证：∠ACB=90°；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为40km/h,则台风影响该海港持续的时间有多长？
21．如图，将一个长为a,宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，a＞b）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c,并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为△ABC和△DEB，点D在边BC上，DE与AB交于点F，连接AD和AE．
（1）写出AB与DE的位置关系及理由；
（2）利用图Ⅲ，验证a2+b2=c2．
22．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=0.8千米，HB=0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC=10，BC=17，AB=21，设AH=x,可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程．
人教版（2024）八年级下 第20章 勾股定理 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、A 3、C 4、D 5、A 6、B 7、B 8、A 9、B 10、A 11、B 12、A
二．填空题（共5小题）
13、8； 14、20； 15、3；； 16、； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）△BCD为直角三角形，理由如下：
∵已知底边BC=20cm,点D是腰AB上一点，且CD=16cm,BD=12cm.
∴BD2+CD2=162+122=400，BC2=202=400，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BCD为直角三角形；
（2）设腰长为AB=AC=x cm,则AD=（x-12）cm,
由（1）可知∠ADC=∠BDC=90°，
由勾股定理可知，AD2+CD2=AC2，
即：（x-12）2+162=x2，
解得，
∴腰AB长为．
19、（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，
∴BC===5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD=4，BD=3，BC=5，
∴CD2+BD2=42+32=52=BC2，
∴△BCD是直角三角形．
20、解：（1）∵AC=300km,BC=400km,AB=500km,
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°；
（2）海港C受台风影响．
理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D．
∵S△ABC=AC BC=AB CD，
∴CD===240（km），
∵250＞240，
∴海港C受到台风影响；
（3）当EC=250km,FC=250km时，正好影响C港口．
在Rt△CED中，由勾股定理得
ED===70（km），
∴EF=140km,
∵台风的速度为40km/h,
∴140÷40=3.5（h）．
∴台风影响该海港持续的时间为3.5h.
21、（1）解：AB⊥DE．理由如下：
∵△ABC≌△DEB，
∴∠DEB=∠ABC，
∵∠ABE+∠ABC=90°，
∴∠DEB+∠ABE=90°，
∴∠BFE=180°-90°=90°，
∴AB⊥DE；
（2）证明：由题意得DE=AB=c,BE=BC=a,BD=AC=b,
S四边形ADBE=S△ADE+S△BDE
=，
∵S梯形ACBE=S△ACD+S四边形ADBE，
∴，
整理，得a2+b2=c2．
22、解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）=a2+ab+b2，
也可以表示为ab+ab+c2，
∴ab+ab+c2=a2+ab+b2，
即a2+b2=c2；
（2）设AB=AC=x千米，
∴AH=AB-BH=（x-0.6）千米，
在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2=CH2+AH2，
∴x2=0.82+（x-0.6）2，
解得x≈0.83，
即CA≈0.83千米，
∴CA-CH≈0.83-0.8≈0.03（千米），
答：新路CH比原路CA少约0.03千米；
（3）∵AH=x,
∴BH=AB-AH=21-x,
∵CH⊥AB，AC=10，BC=17，AB=21，
根据勾股定理：
在Rt△ACH中，CH2=CA2-AH2，
在Rt△BCH中，CH2=CB2-BH2，
∴CA2-AH2=CB2-BH2，
即102-x2=172-（21-x）2，
解得：x=6，
∴AH=6，
∴CH===8．

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