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人教版（2024）八年级下册 第二十一章 四边形 单元测试
一、选择题
1.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角的度数为（　　）
A. B. C. D.
2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A.20° B.25° C.30° D.35°
3.下列图形具有稳定性的是（　　）
A. B. C. D.
4.李明同学在学完用正多边形拼地板这节课之后，建议爸爸为他家房屋地面进行装修．爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，他告诉爸爸，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，你认为要使地面铺满，李明应建议爸爸选择另一种地砖的形状为（ ）
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
5.如图，在平面直角坐标系中，以A(－1,0)，B(2,0)，C(0,1)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　)
A.(3,1) B.(－4,1) C.(1，－1) D.(－3,1)
6.一个多边形的内角和与它的外角和的和为1800°，则这个多边形的边数为（　　）
A.11 B.10 C.9 D.8
7.下列选项中不可能是多边形内角和的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（　　）
A.10 B.12 C.13 D.14
9.如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，作EF⊥AD于点F，连接DE，若DF＝2．则DE的长为（　　）
A. B. C.4 D.2.5
11.如图，在Rt△ABC中，BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，连接BE，F为BE的中点，若DF＝2，则AE的长为（　　）
A.5 B. C.4 D.3
12.在平面上给出七点，，，，，，，联结这些点形成七个角．在图（a）中，这七点固定，且令，在图（b），（c）中，，，，四点固定，，，变动，此时，令，则下述结论中正确的是（　　）
A. B. C. D.α比β有时大有时小
二、填空题
13.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
14.“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，如图图A中外面正方形的面积是16平方分米，将图B放进图A组成一个新的图C，图C中小正方形的面积是 平方分米．
15.如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点E，且DF＝DC，连接PC，则∠DCF的度数为__________度．
16.如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ．
17.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连接PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于 　 ．
三、解答题
18.综合与实践
问题情境：平行四边形是中心对称图形，在研究其部分性质时围绕其中心对称性展开，如图：平行四边形中，点是对角线的中点，过点的直线交边，所在的直线于点，．已知，．
猜想验证：
（1）如图1，旋转直线，当时，连接，求证：四边形为矩形．
（2）如图2，当时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由．
深入探究：
（3）当点，在，延长线上时，交，于点，，连接，，此时四边形为正方形．请直接写出的长度．
19.已知一个多边形的边数为m，它的内角和是外角和的3倍；另一个多边形的边数为n，经过它的一个顶点可作4条对角线．求的值．
20.阅读材料，解决问题
在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”．
(1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由．
(3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长．
21.和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题．
(1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由；
(2)设的边数为
①若，求的值；
②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．
22.如图，矩形ABCD中，点E,F分别在边AB与CD上，点G,H在对角线AC上,且AG＝CH，BE＝DF．若EG＝EH，AB＝8，BC＝4，AC＝4AG.
求证：四边形EGFH是正方形．
人教版（2024）八年级下册 第二十一章 四边形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角的度数为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意列方程：
解得，
，
故选：A．
2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A.20° B.25° C.30° D.35°
【答案】A
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD
∴∠OBC＝∠1＝70°，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠OBC＝20°．
3.下列图形具有稳定性的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：
4.李明同学在学完用正多边形拼地板这节课之后，建议爸爸为他家房屋地面进行装修．爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，他告诉爸爸，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，你认为要使地面铺满，李明应建议爸爸选择另一种地砖的形状为（ ）
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
【答案】B
【解析】
解：A项，正八边形、正三角形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意；
B项，正方形、正八边形的每个内角度数分别为，，由于，所以能铺满，符合题意
C项，正六边形和正八边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满；
D项，正八边形、正五边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意．
故选：B．
5.如图，在平面直角坐标系中，以A(－1,0)，B(2,0)，C(0,1)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　)
A.(3,1) B.(－4,1) C.(1，－1) D.(－3,1)
【答案】B
【解析】
解：如图所示：
①以AC为对角线，可以画出 AFCB，F(－3,1)；
②以AB为对角线，可以画出 ACBE，E(1，－1)；
③以BC为对角线，可以画出 ACDB，D(3,1)；
故选B.
6.一个多边形的内角和与它的外角和的和为1800°，则这个多边形的边数为（　　）
A.11 B.10 C.9 D.8
【答案】B
【解析】
解：设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和与外角和的性质，有：
内角和＝（n﹣2）×180°外角和＝360°，由题可知，内角和与外角和的和为1800°，
即：（n﹣2）×180°+360°＝1800°，
解得：n＝10，
因此，这个多边形的边数为10．
故选：B．
7.下列选项中不可能是多边形内角和的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：、，是的倍数，故可能是多边形的内角和；
、，是的倍数，故可能是多边形的内角和；
、，不是的倍数，故不可能是多边形的内角和；
、，是的倍数，故可能是多边形的内角和；
故选：．
8.如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（　　）
A.10 B.12 C.13 D.14
【答案】B
【解析】
解：如图：连接EF，DF，
∵F是BC的中点，BD⊥AC，CE⊥AB，
∴，
∵G是DE的中点，
∴FG⊥ED，，
在Rt△DGF中，．
9.如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】
解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD=AC=2，
∴BD的最小值为2．
故选：A．
10.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，作EF⊥AD于点F，连接DE，若DF＝2．则DE的长为（　　）
A. B. C.4 D.2.5
【答案】B
【解析】
解：∵四边形ABCD边长为6的正方形，
∴AD＝6，∠EAF＝45°，
∵DF＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝6﹣2=4，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝∠DFE＝90°，
∴∠AEF＝∠EAF＝45°，
∴EF＝AF＝4，
由勾股定理得．
11.如图，在Rt△ABC中，BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，连接BE，F为BE的中点，若DF＝2，则AE的长为（　　）
A.5 B. C.4 D.3
【答案】C
【解析】
解：∵BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，
∴BD＝CD，BE＝CE，
∵F为BE的中点，
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE＝2DF＝4＝BE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，
∵BE＝CE，
∴∠C＝∠CBE，
∴∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE＝4，
故选：C．
12.在平面上给出七点，，，，，，，联结这些点形成七个角．在图（a）中，这七点固定，且令，在图（b），（c）中，，，，四点固定，，，变动，此时，令，则下述结论中正确的是（　　）
A. B. C. D.α比β有时大有时小
【答案】B
【解析】
解：如图，连接、，
四边形的内角和为，
，
又，而，
，
即，
如图，连接，
五边形的内角和为，
，
又，
，
即，
如图，连接，
由图可得，，
即，
，
故选：B．
．
二、填空题
13.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
【答案】
①③④
【解析】
解：①∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C＝∠BAD＝120°，∴∠B＝180°－∠C＝60°，故①正确；
②∵∠D＝∠B＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°－60°＝30°，∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，但是AE不一定等于AF，故②错误；
③若AE＝AF，则BC·AE＝CD·AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；④若平行四边形ABCD是菱形，则BC＝CD，∴BC·AE＝CD·AF，∴AE＝AF，故④正确；故答案为①③④.
14.“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，如图图A中外面正方形的面积是16平方分米，将图B放进图A组成一个新的图C，图C中小正方形的面积是 平方分米．
【答案】
8
【解析】
解：（平方分米），
答：图C中小正方形的面积是8平方分米．
故答案为：8．
15.如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点E，且DF＝DC，连接PC，则∠DCF的度数为__________度．
【答案】
45
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC，AB∥DC，∵∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝BD，∵DF⊥AB，∴∠ADF＝∠BDF＝30°，∴∠FDC＝30°＋60°＝90°，∵DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC＝45°，
16.如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
解：∵，，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴当最短时也最短，
∴过作的垂线，如图所示：
∴的最小值为，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
17.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连接PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于 　 ．
【答案】
7.8
【解析】
解：如图，连接AC交BD于点O，连接PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD＝×8＝4，AB＝BC＝CD＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得OA＝＝＝3，
∴OC＝OA＝3，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，S△BCP+S△CDP＝S△BCD，
∴BC PE+CD PF＝BD OC，
∴5PE+5PF＝8×3，
解得PE+PF＝4.8，
即PE+PF的值为定值4.8，
当PA最小时，PE+PA+PF有最小值，
∵当PA⊥BD时，PA的最小值＝OA＝3，
∴PE+PA+PF的最小值＝4.8+3＝7.8．
三、解答题
18.综合与实践
问题情境：平行四边形是中心对称图形，在研究其部分性质时围绕其中心对称性展开，如图：平行四边形中，点是对角线的中点，过点的直线交边，所在的直线于点，．已知，．
猜想验证：
（1）如图1，旋转直线，当时，连接，求证：四边形为矩形．
（2）如图2，当时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由．
深入探究：
（3）当点，在，延长线上时，交，于点，，连接，，此时四边形为正方形．请直接写出的长度．
【答案】
（1）证明： ∵在平行四边形中，为中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形为矩形．
（2）
∵在平行四边形中，为的中点，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
∴，
∴，
即，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
即；
（3）如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴(负值舍去)，
又四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴(负值舍去)，
∴．
19.已知一个多边形的边数为m，它的内角和是外角和的3倍；另一个多边形的边数为n，经过它的一个顶点可作4条对角线．求的值．
【答案】
解：由题意，得：，
∴；
∴．
20.阅读材料，解决问题
在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”．
(1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由．
(3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长．
【答案】
（1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补，
∴平行四边形不是“等补四边形”；
∵矩形的邻边不一定相等，
∴矩形不是“等补四边形”；
∵菱形的对角相等，但对角不一定互补，
∴菱形不是“等补四边形”；
∵正方形的每个内角都是，四条边都相等，
∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补，
∴正方形是“等补四边形”；
故选：D．
（2）解：平分；理由如下：
延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：∵在“等补四边形”中，，，，
∴根据解析（2）可知：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，负值舍去，
即的长为．
21.和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题．
(1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由；
(2)设的边数为
①若，求的值；
②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．
【答案】
解：（1）嘉嘉的说法不正确；
理由：多边形的外角和始终为，与多边形的边数无关；
（2）①，
解得，
即的值为；
②，
整理得，
解得．
∴无论取何值，的值始终不变．
22.如图，矩形ABCD中，点E,F分别在边AB与CD上，点G,H在对角线AC上,且AG＝CH，BE＝DF．若EG＝EH，AB＝8，BC＝4，AC＝4AG.
求证：四边形EGFH是正方形．
【答案】
证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FCH＝∠EAG，
又∵CD＝AB，BE＝DF，
∴CF＝AE，
又∵CH＝AG，
在△AEG和△CFH中，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，
∴∠FHG＝∠EGH，
∴FH∥GE，
∴四边形EGFH是平行四边形.
如图，连接AF,EF,EF交GH于点O，
∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形GFHE为菱形，
∵AB＝8，BC＝4，
∴AC＝＝4，
∵四边形GFHE为菱形，
∴EF垂直平分GH，
∴AF=CF=AE,OG＝OH，
设AE=x,则FC=AF=AE=x，DF=8-x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2,
∴42+(8-x)2=x2,
解得x=5,
∴AE=5,
∵AG＝CH，AC＝4AG，
∴OG＝OH＝AG＝CH＝AC＝，
∴GH＝2，
∵OE＝OF＝＝＝，
∴EF＝2，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是正方形．

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