资源简介

人教版（2024）八年级下册 第二十章 勾股定理 单元测试
一、选择题
1.学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（ ）
A.7 B.33 C.231 D.569
3.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE=1，则EF的长为(　　)
A.1.5 B.2.5 C.2.25 D.3
4.如图，∠AED=90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，则以DE为直径的半圆的面积为
A.4π B.8π C.16π D.32π
5.如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（ ）
A.海里 B.海里 C.2海里 D.2海里
6.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝20时，b+c的值为（　　）
A.100 B.200 C.240 D.360
7.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（　　）
A.∠A为直角 B.∠C为直角 C.∠B为直角 D.不是直角三角形
8.下列说法正确的是（　　）
A.的平方根是±4
B.无限小数是无理数
C.数轴上的点对应的数不是整数就是分数
D.若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数
9.如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为（　　）
A. B. C. D.
11.小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
12.勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连结、、，若，，则这个六边形的面积为（ ）
A.14 B.13 C.16 D.15
二、填空题
13.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为　　　　三角形.
14.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=30，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为　　　　.
15.今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽.问：索长几何？(选自《九章算术》)题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺.在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直.那么这根绳索的长度为　　　尺.
16.如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，，则DE＝　 　．
17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”．
（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 　 　；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若c+d＝9，c≠0，当为整数时，M是 　 　．
三、解答题
18.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长.
19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.求斜边AB的长.
20.如图，一轮船以（海里/小时）的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以的速度同时从港口出发向东南方向航行，它们离开港口两小时后分别位于，处，则两船相距多远？
21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．
22.如图1，在中，，，．
(1)求的长度；
(2)已知，分别是，上的动点，作直线，将沿直线折叠，点的对应点为．
①当点落在边的左侧时，如图2所示，求阴影部分的周长；
②当点在边上，且将边分成1:2的两部分时，求的长度；
③已知是的中点，连接，直接写出的最小值．
人教版（2024）八年级下册 第二十章 勾股定理 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：由勾股定理得：AC＝＝5，
∵BD⊥AC，
∴△ABC的面积＝AC×BD＝×4×4，
∴BD＝，
故选：C．
2.如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（ ）
A.7 B.33 C.231 D.569
【答案】C
【解析】
在中，由勾股定理可得，
同理可得，
所以．
故选：C．
3.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE=1，则EF的长为(　　)
A.1.5 B.2.5 C.2.25 D.3
【答案】B
【解析】
∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C=90°，BC=CD=3，
根据折叠的性质得EG=BE=1，GF=DF，
设DF=x，
则EF=EG+GF=1+x，FC=DC-DF=3-x，EC=BC-BE=3-1=2，
∵在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，即(x+1)2=22+(3-x)2，解得x=1.5，
∴GF=1.5，∴EF=1+1.5=2.5.
4.如图，∠AED=90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，则以DE为直径的半圆的面积为
A.4π B.8π C.16π D.32π
【答案】B
【解析】
∵∠AED=90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，
∴DE2=AD2-AE2=289-225=64，
∴DE=8(负值已舍去)，
∴以DE为直径的半圆的面积为
×π×=8π.
5.如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（ ）
A.海里 B.海里 C.2海里 D.2海里
【答案】D
【解析】
由题可知：，
∴海里，
故选D．
6.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝20时，b+c的值为（　　）
A.100 B.200 C.240 D.360
【答案】B
【解析】
解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24， ，即20＝2×（8+2），
b依次为8，15，24，35，48， ，即当a＝20时，b＝102﹣1＝99，
c依次为10，17，26，37，50， ，即当a＝20时，c＝102+1＝101，
所以当a＝20时，b+c＝99+101＝200．
故选：B．
7.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（　　）
A.∠A为直角 B.∠C为直角 C.∠B为直角 D.不是直角三角形
【答案】A
【解析】
解：∵（a+b）（a﹣b）＝c2，
∴a2﹣b2＝c2，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A为直角，
故选：A．
8.下列说法正确的是（　　）
A.的平方根是±4
B.无限小数是无理数
C.数轴上的点对应的数不是整数就是分数
D.若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数
【答案】D
【解析】
解：A．的平方根是±2，故选项错误，不符合题意；
B．无限不循环小数是无理数，故选项错误，不符合题意；
C．数轴上的点与实数一一对应，故选项错误，不符合题意；
D．若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数，故选项正确，符合题意．
故选：D．
9.如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：设与交于点，
∵，
∴，，，，
∴，
整理得，
故选：D．
10.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：设△ABC中边BC上的高为h，
由勾股定理得BC＝＝，
∵S△ABC＝BC h＝2×3﹣×2×2﹣×1×1﹣×3×1＝2，
∴×h＝2，
∴h＝，
即△ABC中边BC上的高为，
故选：B．
11.小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
【答案】C
【解析】
解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点，
∵AB＝12，BC＝18＝9，
∴装饰带的长度＝2AC＝2×＝30（cm），
故选：C．
12.勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连结、、，若，，则这个六边形的面积为（ ）
A.14 B.13 C.16 D.15
【答案】A
【解析】
解：∵，，，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，如图，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴六边形的面积，
故选：A．
二、填空题
13.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为　　　　三角形.
【答案】
直角
【解析】
∵a+b=10，ab=18，c=8，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab
=100-36
=64，
∵c2=64，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形.
14.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=30，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为　　　　.
【答案】
2
【解析】
由题意可知，每个直角三角形的面积为ab，则四个直角三角形的面积为2ab，大正方形的面积为a2+b2=16，
则小正方形的面积为16-2ab，
∵(a+b)2=30，
∴a2+2ab+b2=30，
∴2ab=30-16=14，
∴小正方形的面积为16-14=2.
15.今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽.问：索长几何？(选自《九章算术》)题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺.在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直.那么这根绳索的长度为　　　尺.
【答案】
【解析】
如图所示，设AB=x尺，
由题意得，AC=AB+3=尺，BC=8尺，∠ABC=90°，
由勾股定理得AC2=AB2+BC2，
∴=x2+82，
解得x=，
∴AC=+3=(尺)，
∴这根绳索的长度为尺.
16.如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，，则DE＝　 　．
【答案】
2
【解析】
解：∵BD＝1，DC＝3，BC＝，
又∵12+32＝（）2，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形且∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
又∵E点为AC的中点，
∴DE＝AC＝2．
故答案为：2．
17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”．
（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 　 　；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若c+d＝9，c≠0，当为整数时，M是 　 　．
【答案】
（1）2024 （2）8190或4536或4563
【解析】
解：（1）∵22+22＝8，8≠20，
∴2022不是“勾股和数”；
∵22+32＝13，13≠20，
∴2023不是“勾股和数”；
∵22+42＝20，
∴2024是“勾股和数”；
故答案为：2024；
（2）∵M为“勾股和数”，
∴10a+b＝c2+d2，
∴0＜c2+d2＜100，
∵c+d＝9，
∴＝为整数，
∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，
∴cd为3的倍数．
又c≠0，
∴①c＝9，d＝0，此时M＝8190；
②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．
即M的值为8190或4536或4563．
故答案为：8190或4536或4563．
三、解答题
18.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长.
【答案】
解　设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△NBD中，x2+32=(9-x)2，
解得x=4.
即BN=4.
19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.求斜边AB的长.
【答案】
解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，
设BC=x，则AB=2x，∴AB2=BC2+AC2，
∴（2x）2=x2+22，∴4x2=x2+4，
解得x=（负值舍去），
∴BC= ，AB=.
20.如图，一轮船以（海里/小时）的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以的速度同时从港口出发向东南方向航行，它们离开港口两小时后分别位于，处，则两船相距多远？
【答案】
解：如图，连接
一轮船以（海里/小时）的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以的速度同时从港口出发向东南方向航行，
，
2小时后，，．
在中， ．
21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．
【答案】
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝＝6，
连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴AE＝．
22.如图1，在中，，，．
(1)求的长度；
(2)已知，分别是，上的动点，作直线，将沿直线折叠，点的对应点为．
①当点落在边的左侧时，如图2所示，求阴影部分的周长；
②当点在边上，且将边分成1:2的两部分时，求的长度；
③已知是的中点，连接，直接写出的最小值．
【答案】
解：（1）∵，，，
∴；
（2）①根据折叠的性质可得，，
则阴影部分的周长为；
②如图，
当时，
，
，
根据轴对称可得，
在中，，
即，
解得；
如图，
当时，
，
，
在中，，
即，
解得，
综上所述，的长度为5或；
③如图，
利用勾股定理可得，
，
当点在线段上时，最小，
此时．

展开更多......

收起↑