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湘教版（2024）七年级下册 1.2 乘法公式 题型专练
【题型1】平方差公式的结构特征
【典例】下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　）
A.（x+a）（x﹣a） B.（a+b）（﹣a﹣b） C.（﹣x﹣b）（x﹣b） D.（b+m）（m﹣b）
【强化训练1】下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（　　）
A.（﹣x﹣y）（x+y） B.（3x﹣y）（3x+y） C.（﹣x+y）（x﹣y） D.（3x﹣y）（y﹣3x）
【强化训练2】下列各式，能用平方差公式计算的是（　　）
A.（x+2y）（2x﹣y） B.（x+y）（x﹣2y） C.（x+2y）（2y﹣x） D.（x﹣2y）（2y﹣x）
【强化训练3】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A.（2x﹣y）（2x+y） B.（x﹣y）（﹣y﹣x） C.（b﹣a）（b+a） D.（﹣x+y）（x﹣y）
【强化训练4】下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　）
A.（x+a）（x﹣a） B.（a+b）（﹣a﹣b） C.（﹣x﹣b）（x﹣b） D.（b+m）（m﹣b）
【强化训练5】下列式子中：①（﹣x﹣y）（﹣x+y）；②（﹣x+y）（x﹣y）；③（x+y+z）（x+y﹣z）；④（x2+y2）（y2﹣x2），能用平方差公式运算的是 　 　．
【强化训练6】（﹣5x﹣3y）（ 　 ）＝9y2﹣25x2．
【强化训练7】（a+b）（ ）＝b2﹣a2．
【强化训练8】下列式子中：①（﹣x﹣y）（﹣x+y）；②（﹣x+y）（x﹣y）；③（x+y+z）（x+y﹣z）；④（x2+y2）（y2﹣x2），能用平方差公式运算的是 　 　．
【题型2】用平方差公式计算
【典例】观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
……
根据上述规律计算：2+22+23+ +264+265＝（　　）
A.266+1 B.266+2 C.266﹣1 D.266﹣2
【强化训练1】运用乘法公式计算（2x+5）（2x﹣5）正确的是（　　）
A.4x2﹣25 B.2x2﹣25 C.25﹣4x2 D.4x2﹣20x+25
【强化训练2】（2﹣1）（2+1）（22+1）÷3＝　 　．
【强化训练3】（x2﹣4）（x﹣2）（x+2）
【强化训练4】计算：3（2a﹣1）（2a+1）﹣2（a+2）（a﹣3）．
【题型3】平方差公式的几何意义
【典例】如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（　　）
A.a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C.a2+b2＝（a+b）（a﹣b） D.（a+b）2＝a2+2ab+b2
【强化训练1】如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（　　）
A.（a+b）2＝a2+2ab+b2 B.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C.a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D.（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【强化训练2】利用下面图形之间的变化关系以及图形的几何意义，可以证明的数学等式是（　　）
A.（a+b）2＝a2+2ab+b2 B.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C.a2+b2＝（a+b）2﹣2ab D.a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【强化训练3】如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的有（　　）
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④
【强化训练4】如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（　　）
A.4m2+12m+9 B.3m+6 C.3m2+6m D.2m2+6m+9
【强化训练5】（材料阅读）小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算：
（1）；（2）；（3）；
但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成：
（1） ；
（2）
；
（3）；
观察上述解法，你能发现什么规律．
（1）[问题解决]
用你发现的规律直接写出______．
（2）[拓展探究]
请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______．
（3）[拓展延伸]
下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由．
【强化训练6】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是： ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；
②计算：；
【题型4】用平方差公式进行简便计算
【典例】的个位数字为（ ）
A.5 B.1 C.2 D.4
【强化训练1】计算20232﹣2026×2020的结果是（　　）
A.﹣9 B.9 C.0 D.4520
【强化训练2】已知：，，则、的大小关系是 .
【强化训练3】运用乘法公式简便计算： ．
【强化训练4】阅读下列材料，完成后面的问题．
某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式
计算：．
请借鉴该同学的经验，计算：．
【强化训练5】计算：102×98；
【题型5】用平方差公式确定某些整式的值
【典例】若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，则a+b的值为（　　）
A.9 B.﹣9 C.27 D.﹣27
【强化训练1】已知：a+b＝5，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
【强化训练2】已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（　　）
A.﹣5 B.﹣1 C.1 D.5
【强化训练3】已知a2＝b2+3，则（a+b）（a﹣b）＝　 　．
【强化训练4】先化简，再求值：，其中．
【题型6】运用完全平方公式计算
【典例】杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示（a+b）n，（此处n为自然数）的展开式中各项的系数．那么（a+b）6展开式中第四项的系数为（　　）
A.8 B.10 C.18 D.20
【强化训练1】计算（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】　 ．
【强化训练3】利用乘法公式简化运算：．
【强化训练4】运用完全平方公式计算：（4m﹣3n）2．
【题型7】完全平方公式的几何意义
【典例】如图所示的图中，将边长为的正方形面积分成四部分，能验证的乘法公式是（　　）

A. B. C. D.
【强化训练1】如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（　　）

A. B. C. D.
【强化训练2】如图是用4个完全相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形（阴影部分）的面积为4．若用x，y表示小长方形的两边长（），请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图是用4个完全相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形（阴影部分）的面积为4．若用x，y表示小长方形的两边长（），请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练4】下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）

A. B. C. D.
【强化训练5】如图 1 是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按下图 2 的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于________，观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系________．
(2)运用你所得到的公式，计算若，求的值．
【强化训练6】数形结合是一种重要的数学思想方法．数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a、b的正方形纸片A、B，以及长为b、宽为a的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题：
(1)小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片____________张，B纸片____________张，C纸片____________张（空格处填写数字）；
(2)观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；____________；
(3)现将一张A卡片放在B卡片的内部得图3，将一张A卡片和一张B卡片并列放置后构造新的正方形得图4．若图3和图4中阴影部分的面积分别为6和15，求图4的边长．
【题型8】用完全平方公式进行有理数的简便计算
【典例】利用乘法公式计算，下列方法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【强化训练1】等于（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】计算： ．
【强化训练4】利用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
【强化训练5】利用整式乘法公式计算
(1)
(2)
【题型9】用完全平方公式求字母的值
【典例】已知是完全平方式，则m的值为（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
【强化训练1】若是完全平方式，则的值是（ ）
A.或 B.7或 C.或 D.7或
【强化训练2】若多项式是关于的完全平方式，则的值为 ．
【强化训练3】如果多项式9x2＋1加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M.
【题型10】利用完全平方公式变形求值
【典例】若，则的值（ ）
A.1 B.9 C.16 D.21
【强化训练1】已知，则的值为（ ）
A.12 B.45 C.21 D.35
【强化训练2】已知，，则 ．
【强化训练3】若，则的值是 ．
【强化训练4】已知，求的值．
【强化训练5】（1）已知，，求和的值；
（2）已知 ，求的值．
【题型11】综合运用乘法公式进行计算
【典例】的计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】等于（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
；
；
；
．
其中所有正确推断的序号是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】计算： ．
【强化训练4】计算：
【强化训练5】化简：．
【题型12】乘法公式与整式的化简求值
【典例】已知实数m，n满足，则的最小值为（ ）
A. B. C.8 D.4
【强化训练1】如果，那么代数式的值为（ ）
A. B.1 C. D.2
【强化训练2】若m与n互为倒数，则的值为 ．
【强化训练3】先化简，再求值：，其中．
【强化训练4】先化简，再求值：，其中，．
【题型13】平方差公式的实际应用
【典例】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】从前，一位庄园主把一块边长为的正方形土地租给租户李老汉．第二年，他对李老汉说：“我把这块地的一边增加，相邻的另一边减少，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得李老汉的租地面积会（ ）
A.减少 B.减少 C.增加 D.保持不变
【强化训练2】如图，这是某校劳动实践基地的两块边长分别为的正方形用地，，其中种菜，种花，不能使用的部分（阴影部分）为，面积为．
（1）种菜和花的总面积为 （用含的代数式表示）．
（2）经测量，与之和为8米，种菜的面积比种花的面积多了16平方米，则比长 米．
【强化训练3】古希腊一位庄园主把一边长为a米（）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了 平方米．
【强化训练4】某校为举办30周年校庆，对校内的甲、乙两块绿地（甲为正方形，乙为长方形）进行改造，在改造过程中产生以下两个问题，请你给予解答：
(1)在改造甲绿地时，将相邻的两边，一边增加2米，一边减少2米，得到一块新的长方形绿地，那么面积是否不变？请说明理由；
(2)在改造乙绿地时，发现若将它的长增加4米，宽减少1米，则面积保持不变；若将它的长减少2米，宽增加1米，则面积仍保持不变；求原乙绿地的面积．
【强化训练5】小红家有一块L形菜地，要把L形菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是米．
(1)请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？
(2)当时，面积是多少平方米？
【题型14】完全平方公式的实际应用
【典例】如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（ ）

A. B. C. D.
【强化训练1】如图，这是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为米，米，其面积之和比剩余面积（阴影部分）多4平方米．则主卧与客卧的周长差为（ ）
A.4米 B.6米 C.8米 D.10米
【强化训练2】为增加学生课外活动空间，某校打算将图一块边长为（a﹣1）米（a＞1）的正方形操场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长3米，则扩建后操场面积增大了（　　）
A.（2a2+a）平方米 B.（3a+3）平方米 C.（6a+3）平方米 D.（2a+1）平方米
【强化训练3】如图，长方形ABCD的周长为24，以它的四条边为边长向外作正方形，如果这四个正方形的面积和为160，则长方形ABCD的面积为 ．
【强化训练4】已知长方形两边之差为4，面积为，求以长方形的长与宽的和为边长的正方形的面积．
【强化训练5】如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长（不含直径）之和为，面积之和为．
(1)求长方形的周长？
(2)求长方形的面积？湘教版（2024）七年级下册 1.2 乘法公式 题型专练（参考答案）
【题型1】平方差公式的结构特征
【典例】下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　）
A.（x+a）（x﹣a） B.（a+b）（﹣a﹣b） C.（﹣x﹣b）（x﹣b） D.（b+m）（m﹣b）
【答案】B
【解析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．
A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选：B．
【强化训练1】下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（　　）
A.（﹣x﹣y）（x+y） B.（3x﹣y）（3x+y） C.（﹣x+y）（x﹣y） D.（3x﹣y）（y﹣3x）
【答案】B
【解析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构特征判断即可．
A、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）（x+y），不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（3x﹣y）（3x+y），符合平方差公式的结构特征，能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C、（﹣x+y）（x﹣y），不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、（3x﹣y）（y﹣3x），不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
故选：B．
【强化训练2】下列各式，能用平方差公式计算的是（　　）
A.（x+2y）（2x﹣y） B.（x+y）（x﹣2y） C.（x+2y）（2y﹣x） D.（x﹣2y）（2y﹣x）
【答案】C
【解析】可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
A、（x+2y）（2x﹣y）不符合平方差公式的形式，故本选项错误；
B、（x+y）（x﹣2y）不符合平方差公式的形式，故本选项错误；
C、（x+2y）（2y﹣x）＝﹣（x+2y）（x﹣2y）＝﹣x2+4y2，正确；
D、（x﹣2y）（2y﹣x）＝﹣（x﹣2y）2，故本选项错误．
故选：C．
【强化训练3】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A.（2x﹣y）（2x+y） B.（x﹣y）（﹣y﹣x） C.（b﹣a）（b+a） D.（﹣x+y）（x﹣y）
【答案】D
【解析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
A、（2x﹣y）（2x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、（x﹣y）（﹣y﹣x）＝（﹣y+x）（﹣y﹣x），符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、（b﹣a）（b+a）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、（﹣x+y）（x﹣y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确．
故选：D．
【强化训练4】下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　）
A.（x+a）（x﹣a） B.（a+b）（﹣a﹣b） C.（﹣x﹣b）（x﹣b） D.（b+m）（m﹣b）
【答案】B
【解析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．
A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选：B．
【强化训练5】下列式子中：①（﹣x﹣y）（﹣x+y）；②（﹣x+y）（x﹣y）；③（x+y+z）（x+y﹣z）；④（x2+y2）（y2﹣x2），能用平方差公式运算的是 　 　．
【答案】①③④．
【解析】根据平方差公式结构特征，逐一判断即可解答．
①（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2，能用平方差公式运算；
②（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不能用平方差公式计算；
③（x+y+z）（x+y﹣z）＝（x+y）2﹣z2＝x2+2xy+y2﹣z2，能用平方差公式运算；
④（x2+y2）（y2﹣x2）＝y4﹣x4，能用平方差公式运算；
所以，上列式子中能用平方差公式运算的是①③④，
故答案为：①③④．
【强化训练6】（﹣5x﹣3y）（ 　 ）＝9y2﹣25x2．
【答案】5x﹣3y．
【解析】利用平方差公式进行计算即可．
（﹣5x﹣3y）（5x﹣3y）＝9y2﹣25x2．
故答案为：5x﹣3y．
【强化训练7】（a+b）（ ）＝b2﹣a2．
【答案】b﹣a．
【解析】直接利用平方差公式进行分解得出即可．
∵b2﹣a2＝（a+b）（b﹣a）．
故答案为：b﹣a．
【强化训练8】下列式子中：①（﹣x﹣y）（﹣x+y）；②（﹣x+y）（x﹣y）；③（x+y+z）（x+y﹣z）；④（x2+y2）（y2﹣x2），能用平方差公式运算的是 　 　．
【答案】①③④．
【解析】根据平方差公式结构特征，逐一判断即可解答．
①（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2，能用平方差公式运算；
②（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不能用平方差公式计算；
③（x+y+z）（x+y﹣z）＝（x+y）2﹣z2＝x2+2xy+y2﹣z2，能用平方差公式运算；
④（x2+y2）（y2﹣x2）＝y4﹣x4，能用平方差公式运算；
所以，上列式子中能用平方差公式运算的是①③④，
故答案为：①③④．
【题型2】用平方差公式计算
【典例】观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
……
根据上述规律计算：2+22+23+ +264+265＝（　　）
A.266+1 B.266+2 C.266﹣1 D.266﹣2
【答案】D
【解析】先由规律，得到（x66﹣1）÷（x﹣1）的结果，令x＝2得结论．
有上述规律可知：（x66﹣1）÷（x﹣1）
＝x65+x64+…+x2+x+1
当x＝2时，
即（266﹣1）÷（2﹣1）
＝1+2+22+…+264+265
∴2+22+23+…+264+265＝266﹣2．
故选：D．
【强化训练1】运用乘法公式计算（2x+5）（2x﹣5）正确的是（　　）
A.4x2﹣25 B.2x2﹣25 C.25﹣4x2 D.4x2﹣20x+25
【答案】A
【解析】运用平方差公式计算时，找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
（2x+5）（2x﹣5）＝4x2﹣25，
故选：A．
【强化训练2】（2﹣1）（2+1）（22+1）÷3＝　 　．
【答案】5．
【解析】根据平方差公式计算即可．
（2﹣1）（2+1）（22+1）÷3
＝（22﹣1）（22+1）÷3
＝（24﹣1）÷3
＝（16﹣1）÷3
＝15÷3
＝5，
故答案为：5．
【强化训练3】（x2﹣4）（x﹣2）（x+2）
【答案】解：原式＝（x2﹣4）（x2﹣4）＝x4﹣8x2+16．
【强化训练4】计算：3（2a﹣1）（2a+1）﹣2（a+2）（a﹣3）．
【答案】解：原式＝3（4a2﹣1）﹣2（a2﹣a﹣6）
＝12a2﹣3﹣2a2+2a+12
＝10a2+2a+9．
【题型3】平方差公式的几何意义
【典例】如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（　　）
A.a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C.a2+b2＝（a+b）（a﹣b） D.（a+b）2＝a2+2ab+b2
【答案】A
【解析】用代数式分别表示各个部分的面积，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．
图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2是由（1）（2）两部分拼成的底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
【强化训练1】如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（　　）
A.（a+b）2＝a2+2ab+b2 B.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C.a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D.（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【答案】C
【解析】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．
图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【强化训练2】利用下面图形之间的变化关系以及图形的几何意义，可以证明的数学等式是（　　）
A.（a+b）2＝a2+2ab+b2 B.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C.a2+b2＝（a+b）2﹣2ab D.a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【解析】根据面积的两种表示方法求解即可得出结论．
由图可知：
原图的面积为：a2﹣b2，
变化后图形的面积为：（a+b）（a﹣b），
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
【强化训练3】如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的有（　　）
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④
【答案】C
【解析】分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果．
对图①，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是平行四边形，其中底为a+b，底边上高为a﹣b，则阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；
对图②，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为a+b，宽为a﹣b，阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；
对图③，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为a+b，底边上高为a﹣b，阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；
对图④，原图阴影部分面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为2a，宽为2b，阴影部分面积为4ab，则有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；即可以验证的有①②③；
故选：C．
【强化训练4】如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（　　）
A.4m2+12m+9 B.3m+6 C.3m2+6m D.2m2+6m+9
【答案】C
【解析】根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可．
根据题意，得：
（2m+3）2﹣（m+3）2
＝[（2m+3）+（m+3）][（2m+3）﹣（m+3）]
＝（3m+6）m
＝3m2+6m
故选：C．
【强化训练5】（材料阅读）小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算：
（1）；（2）；（3）；
但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成：
（1） ；
（2）
；
（3）；
观察上述解法，你能发现什么规律．
（1）[问题解决]
用你发现的规律直接写出______．
（2）[拓展探究]
请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______．
（3）[拓展延伸]
下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意得，
，
故答案为：6396；
（2）由题意得，，
故答案为：；
（3）规律正确，
∵，
又∵，
∴规律正确．
【强化训练6】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是： ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；
②计算：；
【答案】解：（1）第一个图形面积为a2﹣b2，第二个图形的面积为（a+b）（a﹣b），
∴可以验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵a+b＝7，a2﹣b2＝28，
∴（a+b）（a﹣b）＝28，即7（a﹣b）＝28，
∴a﹣b＝4；
②原式＝（1）×（1）×（1）×（1）×（1）×（1）×...×（1）×（1）
...
．
【题型4】用平方差公式进行简便计算
【典例】的个位数字为（ ）
A.5 B.1 C.2 D.4
【答案】B
【解析】解：
，
∵，，，，……
∴可知这一列数的个位数字每4个数为一个循环，3，9，7，1依次出现，
∴的个位数为1，
∴的个位数字为1，
故选B．
【强化训练1】计算20232﹣2026×2020的结果是（　　）
A.﹣9 B.9 C.0 D.4520
【答案】B
【解析】将已知式子进行变形，再利用平方差公式计算即可．
原式＝20232﹣（2023+3）×（2023﹣3）
＝20232﹣20232+9
＝9．
故选：B．
【强化训练2】已知：，，则、的大小关系是 .
【答案】
【解析】利用平方差公式对M，N进行变形，然后计算出，可得答案．
∵
；
；
∴
，
∴，
故答案为：．
【强化训练3】运用乘法公式简便计算： ．
【答案】1
【解析】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
．
故答案为：．
【强化训练4】阅读下列材料，完成后面的问题．
某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式
计算：．
请借鉴该同学的经验，计算：．
【答案】解：
．
【强化训练5】计算：102×98；
【答案】解：102×98
＝（100+2）×（100﹣2）
＝10000﹣4
＝9996；
【题型5】用平方差公式确定某些整式的值
【典例】若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，则a+b的值为（　　）
A.9 B.﹣9 C.27 D.﹣27
【答案】A
【解析】第二个等式左边利用平方差公式分解，将第一个等式代入计算即可求出a+b的值．
∵a﹣b＝8，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝72，
∴a+b＝9，
故选：A．
【强化训练1】已知：a+b＝5，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【解析】把所求式子变形为（a+b）（a﹣b），再整体代入即可．
∵a+b＝5，a﹣b＝1，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝5×1＝5，
故选：A．
【强化训练2】已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（　　）
A.﹣5 B.﹣1 C.1 D.5
【答案】C
【解析】根据平方差公式进行计算，从而可得：a＝3，b＝﹣2，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答．
∵（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴a+b＝3+（﹣2）＝1，
故选：C．
【强化训练3】已知a2＝b2+3，则（a+b）（a﹣b）＝　 　．
【答案】3．
【解析】已知等式移项后，利用平方差公式分解，计算即可求出所求式子的值．
∵a2＝b2+3，
∴a2﹣b2＝3，
则（a+b）（a﹣b）＝3．
故答案为：3．
【强化训练4】先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【题型6】运用完全平方公式计算
【典例】杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示（a+b）n，（此处n为自然数）的展开式中各项的系数．那么（a+b）6展开式中第四项的系数为（　　）
A.8 B.10 C.18 D.20
【答案】D
【解析】根据杨辉三角中的系数规律确定出（a+b）6展开式中各项系数，即可求出第四项系数．
根据杨辉三角中的系数规律可得：
（a+b）4的各项系数为1，4，6，4，1，
（a+b）5的各项系数为1，5，10，10，5，1，
（a+b）6的各项系数为1，6，15，20，15，6，1，
则（a+b）6展开式中的第四项系数为20．
故选：D．
【强化训练1】计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了完全平方公式，根据进行求解即可．
，
故选：D．
【强化训练2】　 ．
【答案】1﹣mm2．
【解析】利用完全平方公式进行计算，即可解答．
＝（1m）2
＝1﹣2×1mm2
＝1﹣mm2，
故答案为：1﹣mm2．
【强化训练3】利用乘法公式简化运算：．
【答案】解：
．
【强化训练4】运用完全平方公式计算：（4m﹣3n）2．
【答案】解：（4m﹣3n）2
＝（4m）2﹣2 （4m） （3n）+（3n）2
＝16m2﹣24mn+9n2．
【题型7】完全平方公式的几何意义
【典例】如图所示的图中，将边长为的正方形面积分成四部分，能验证的乘法公式是（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据大正方形面积等于分成的四部分面积之和，即可得到答案．
由图形可知，大正方形面积为：，分成的四部分面积分别为：、、、，
，
能验证的乘法公式是，
故选：A．
【强化训练1】如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据4个长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积即可求解．
图1阴影的面积为：，
图2阴影的面积为：，
，
故选：D．
【强化训练2】如图是用4个完全相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形（阴影部分）的面积为4．若用x，y表示小长方形的两边长（），请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】此题考查了完全平方公式与几何图形的关系应用，根据图形的面积及完全平方公式变形分别判断各选项即可得到答案．
A.∵该图案的面积为49，∴，故该选项正确；
B.∵该图案的面积为49，小正方形（阴影部分）的面积为4．∴，
∴，
∴，故该项错误，符合题意；
C.∵该图案的面积为49，小正方形（阴影部分）的面积为4．∴，故该项正确；
D.∵小正方形（阴影部分）的面积为4，∴小正方形的边长为2，即，故该项正确；
故选：B．
【强化训练3】如图是用4个完全相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形（阴影部分）的面积为4．若用x，y表示小长方形的两边长（），请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】此题考查了完全平方公式与几何图形的关系应用，根据图形的面积及完全平方公式变形分别判断各选项即可得到答案．
A.∵该图案的面积为49，∴，故该选项正确；
B.∵该图案的面积为49，小正方形（阴影部分）的面积为4．∴，
∴，
∴，故该项错误，符合题意；
C.∵该图案的面积为49，小正方形（阴影部分）的面积为4．∴，故该项正确；
D.∵小正方形（阴影部分）的面积为4，∴小正方形的边长为2，即，故该项正确；
故选：B．
【强化训练4】下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】利用图形面积直接得出等式，从而可选择．
等式是由边长为的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意；
等式是由长为，宽为的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意；
等式是由边长为的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意；
等式，图中找不到有关于的面积，故D不可验证，符合题意．
故选D．
【强化训练5】如图 1 是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按下图 2 的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于________，观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系________．
(2)运用你所得到的公式，计算若，求的值．
【答案】解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；
根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，即；
方法2，阴影部分小正方形的边长为，则面积为；
∴；
（2）由（1）知：，
∵，
．
【强化训练6】数形结合是一种重要的数学思想方法．数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a、b的正方形纸片A、B，以及长为b、宽为a的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题：
(1)小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片____________张，B纸片____________张，C纸片____________张（空格处填写数字）；
(2)观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；____________；
(3)现将一张A卡片放在B卡片的内部得图3，将一张A卡片和一张B卡片并列放置后构造新的正方形得图4．若图3和图4中阴影部分的面积分别为6和15，求图4的边长．
【答案】解：（1）∵
，
∴需要纸片3张，纸片4张，纸片1张，
故答案为：3，4，1；
（2）∵大正方形的面积为，小正方形的面积，每个矩形的面积为，
∴．
故答案为：；
（3）图3中阴影部分的面积是，
图4中阴影部分得的面积是，
图4的面积为
，
图4的边长为．
【题型8】用完全平方公式进行有理数的简便计算
【典例】利用乘法公式计算，下列方法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为，然后利用完全平方公式求解即可．
．
故选：B．
【强化训练1】等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行展开，即可得到答案．
；
故选：A．
【强化训练2】利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了完全平方公式，选择最简单的计算方式是解题的关键．
选择最简单的计算方式即可．
，
故选：A．
【强化训练3】计算： ．
【答案】
【解析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式原式可变形为，即可求解．
故答案为：
【强化训练4】利用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
【答案】（1）解：
；
（2）
．
【强化训练5】利用整式乘法公式计算
(1)
(2)
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【题型9】用完全平方公式求字母的值
【典例】已知是完全平方式，则m的值为（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】D
【解析】本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是求解的关键．根据完全平方公式的结构特点求出4的平方即可．
∵是完全平方式，
∴．
故选：D．
【强化训练1】若是完全平方式，则的值是（ ）
A.或 B.7或 C.或 D.7或
【答案】D
【解析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
∵是完全平方式，
∴，
即或，
解得，或，
故选：D．
【强化训练2】若多项式是关于的完全平方式，则的值为 ．
【答案】13或
【解析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征建立方程即可确定出的值．
∵是关于x的完全平方式，
∴，
解得：或，
故答案为：13或．
【强化训练3】如果多项式9x2＋1加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M.
【答案】解：①当这个完全平方式是一个单项式的平方时，
则9x2＋1＋M是一个单项式，所以M＝－1或M＝－9x2.
②当这个完全平方式是一个二项式的平方时,
a. 当这个完全平方式形如M＋9x2＋1时，即9x2为两数乘积为2倍，因为9x2＝2·x2·1，所以M＝＝x4,
b. 当这个完全平方式形如9x2＋M＋1时，即M为两数乘积的2倍，因为9x2＝(3x)2，所以M＝±2·3x·1＝±6x,
c. 当这个完全平方式形如9x2＋1＋M时，即1为两数乘积的2倍，此时M不是一个整式，所以这种情况不存在．
综上所述，M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4.
【题型10】利用完全平方公式变形求值
【典例】若，则的值（ ）
A.1 B.9 C.16 D.21
【答案】D
【解析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．根据完全平方公式变形求解即可．
∵，
∴
，
故选：D．
【强化训练1】已知，则的值为（ ）
A.12 B.45 C.21 D.35
【答案】C
【解析】本题考查利用完全平方公式的变形式进行计算，将转化为，整体代入求值即可．
∵，
∴
；
故选C．
【强化训练2】已知，，则 ．
【答案】10
【解析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解题的关键．
先对完全平方公式进行变形，再代入计算即可求解．
∵，
∴，即，
∴，且，
∴，
故答案为：10．
【强化训练3】若，则的值是 ．
【答案】7
【解析】本题考查了完全平方公式的应用，变形代入计算即可．
，
故，
故答案为：7．
【强化训练4】已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴，．
【强化训练5】（1）已知，，求和的值；
（2）已知 ，求的值．
【答案】解：（1）；
，
．
（2）
【题型11】综合运用乘法公式进行计算
【典例】的计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式．
．
故选：D．
【强化训练1】等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】此题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行整式求值的能力，将原式变形为，再运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
＝
＝
＝
＝，
故选：C．
【强化训练2】设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
；
；
；
．
其中所有正确推断的序号是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案．
∵，
则，故正确；
则，
；故错误；
则，
，故正确；
则，
，故错误，
故正确的为．
故选：D．
【强化训练3】计算： ．
【答案】
【解析】先用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可解决问题．
故答案为：·
【强化训练4】计算：
【答案】解：原式=
．
【强化训练5】化简：．
【答案】解：
；
【题型12】乘法公式与整式的化简求值
【典例】已知实数m，n满足，则的最小值为（ ）
A. B. C.8 D.4
【答案】A
【解析】本题考查了整式的混合运算和完全平方的非负性，及不等式的基本性质．先将整理成，然后将已知条件所给的式子整体代入得结果为．根据和，求出的取值范围，即可求出的最小值，即的最小值．熟练掌握完全平方的非负性，求出mn的取值范围是解题的关键．
∵，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：A．
【强化训练1】如果，那么代数式的值为（ ）
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】本题考查了完全平方公式．掌握整体思想是解题关键．先对代数式进行化简，再整体代入即可求值．
，
∵，
∴原式，
故选：A．
【强化训练2】若m与n互为倒数，则的值为 ．
【答案】4
【解析】本题考查完全平方公式，代数式求值．根据m与n互为倒数，得到，将代数式化简后，将，整体代入求值即可．
∵m与n互为倒数，
∴，
∴
；
故答案为：4．
【强化训练3】先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【强化训练4】先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
当，时，
原式．
【题型13】平方差公式的实际应用
【典例】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据长方形的面积=长×宽，计算即可．
根据题意，得，
故选：B．
【强化训练1】从前，一位庄园主把一块边长为的正方形土地租给租户李老汉．第二年，他对李老汉说：“我把这块地的一边增加，相邻的另一边减少，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得李老汉的租地面积会（ ）
A.减少 B.减少 C.增加 D.保持不变
【答案】B
【解析】本题主要考查平方差公式的应用，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．分别求出变化之后长方形土地的面积与原来正方形土地的面积的差即可解题．
，
∴李老汉的租地面积会减少，
故选B．
【强化训练2】如图，这是某校劳动实践基地的两块边长分别为的正方形用地，，其中种菜，种花，不能使用的部分（阴影部分）为，面积为．
（1）种菜和花的总面积为 （用含的代数式表示）．
（2）经测量，与之和为8米，种菜的面积比种花的面积多了16平方米，则比长 米．
【答案】；2
【解析】（1）用两个正方形的面积分别减去阴影部分的面积，再求和即可；
由题意，得：种菜的面积为：，种花的面积为，
∴种菜和花的总面积为；
故答案为：；
（2）利用种菜的面积比种花的面积多了16平方米，结合平方差公式进行计算即可．
由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴比长2米；
故答案为：2．
【强化训练3】古希腊一位庄园主把一边长为a米（）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了 平方米．
【答案】16
【解析】本题主要平方差公式与几何图形的知识，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．
分别求出变化前后2次的面积，作差即可．
原来的土地面积为平方米，第二年的面积为，
∵，
∴减少了16平方米，
故答案为：16．
【强化训练4】某校为举办30周年校庆，对校内的甲、乙两块绿地（甲为正方形，乙为长方形）进行改造，在改造过程中产生以下两个问题，请你给予解答：
(1)在改造甲绿地时，将相邻的两边，一边增加2米，一边减少2米，得到一块新的长方形绿地，那么面积是否不变？请说明理由；
(2)在改造乙绿地时，发现若将它的长增加4米，宽减少1米，则面积保持不变；若将它的长减少2米，宽增加1米，则面积仍保持不变；求原乙绿地的面积．
【答案】（1）解：面积减少了4平方米，理由如下：
设甲正方形的边长为x米，改造前的面积为，
改造后的面积为，
依题意有：，
答：改造后的面积比改造前减少了4平方米．
（2）设改造前乙长方形的长为a米，宽为b米，依题意有：
，
解得：，
∴原绿地的面积（平方米）．
【强化训练5】小红家有一块L形菜地，要把L形菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是米．
(1)请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？
(2)当时，面积是多少平方米？
【答案】解：（1）菜地面积共有： 平方米
（2）当时，
（平方米）
【题型14】完全平方公式的实际应用
【典例】如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】用长方形的长和宽分别表示长方形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
设，
∵长方形的周长是，长方形的面积是，
∴，，
∴，
故选C．
【强化训练1】如图，这是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为米，米，其面积之和比剩余面积（阴影部分）多4平方米．则主卧与客卧的周长差为（ ）
A.4米 B.6米 C.8米 D.10米
【答案】C
【解析】此题主要是考查了完全平方公式的运用，根据面积之差，利用完全平方公式可得的值，然后再利用正方形周长公式可得结果．
由题可得：，
∴
整理得，
∴或（舍去），
∴主卧与客卧的周长差为：（米）
故选：C．
【强化训练2】为增加学生课外活动空间，某校打算将图一块边长为（a﹣1）米（a＞1）的正方形操场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长3米，则扩建后操场面积增大了（　　）
A.（2a2+a）平方米 B.（3a+3）平方米 C.（6a+3）平方米 D.（2a+1）平方米
【答案】C
【解析】根据正方形的面积的计算方法分别用代数式表示扩建前、扩建后正方形的面积，再求差即可．
扩建前，正方形的边长为（a﹣1）米，因此面积为（a﹣1）2平方米，
扩建后，正方形的边长为（a﹣1+3）＝（a+2）米，因此面积为（a+2）2平方米，
所以扩建后面积比扩建前增加（a+2）2﹣（a﹣1）2＝（6a+3）平方米．
故选：C．
【强化训练3】如图，长方形ABCD的周长为24，以它的四条边为边长向外作正方形，如果这四个正方形的面积和为160，则长方形ABCD的面积为 ．
【答案】32
【解析】根据题意易得，，然后根据完全平方公式可进行求解．
由长方形周长及正方形面积公式可得：，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴长方形ABCD的面积为32；
故答案为32．
【强化训练4】已知长方形两边之差为4，面积为，求以长方形的长与宽的和为边长的正方形的面积．
【答案】解：由题意可得，设长方形的长为a，宽为b，
则，，
∴．
【强化训练5】如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长（不含直径）之和为，面积之和为．
(1)求长方形的周长？
(2)求长方形的面积？
【答案】（1）解：设长方形的长为a，宽为b，由题意得，
，即：，
∴长方形的周长为，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
∴长方形的面积为60．

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