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河南省焦作市2026届高三第一次模拟测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，则的非空真子集的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知在中，，则的外接圆半径为( )
A. B. C. D.
4.设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知圆的半径为，直线与圆相交于两点，若，则( )
A. B. C. D.
6.( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若方程恰有个实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于直线对称
C. 当时，的取值范围是
D. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，则下列说法正确的是( )
A. 的离心率为 B. 面积的最大值为
C. 存在点，使得 D. 的最小值为
11.某同学用块全等的三角形薄板不计厚度，通过拼接得到一个封闭的几何体薄板均在几何体的表面，且没有剩余，则( )
A. 该几何体可能是三棱锥
B. 该几何体可能是四棱柱
C. 用块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱
D. 用块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是定义域为的奇函数，且以为周期，则在区间内至少有 个零点．
13.已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为 ．
14.有个小朋友进行换座位游戏，他们分别坐在编号为的个座位上，每一轮游戏开始后，个小朋友重新选座位，要求第号座位上的小朋友坐到第号座位上，其中是定义域和值域均为的函数，且每轮游戏中每个小朋友只选一次座位．若经过轮游戏后，每个小朋友的座位与最初一样，则满足条件的函数有 个．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中有个红球、个黄球，乙袋中有个红球、个黄球．
若从甲袋中随机一次性取出个球，其中红球的个数为，求的分布列与数学期望；
先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出个球，若已知取出的个球都是红球，求这个球来自乙袋的概率．
16.本小题分
已知数列和的各项均为正数，且满足：．
若，求；
设，数列的前项和为，对任意两个正整数，试比较与的大小．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，．
求证：平面平面；
若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置．
18.本小题分
过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为．
证明：直线与相切；
若，记直线与的切点为，求面积的最小值．
19.本小题分
已知函数．
证明：仅有一个极值点；
若有两个极值点，求的取值范围；
记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：．
参考答案
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14.
15.解：由题意，的所有取值为，
则，，，
所以的分布列为：
则．
设事件为“选中乙袋”，事件为“从袋子中随机一次性取出的个球都是红球”，
由题意得，，
则，
所以．

16.解：因为和的各项均为正数，， 所以，，
代入可得，
两边同除以可得，所以数列为等差数列，
令得，，，把代入方程组解得，
所以其公差为，所以．
由可知数列为等差数列，设其公差为，
则，
，
所以．

17.解：底面，底面，
，
又，且，平面，
平面，又平面，
平面平面；
由知平面，又平面，
，，，
又底面，
故以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，，
则，
设，
则，
设平面的法向量为，，
则，令，则，
设平面的法向量为，，
则，令，则，
平面与平面夹角的余弦值为，
，
整理得：，
解得或舍去，
因此，点为靠近的三等分点．

18.解：由题意，得，显然直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，令，得，即，
因此直线的方程为，
联立，得，
则，又，则直线与相切．
当时，抛物线，
直线的方程为，直线的方程为，，
联立，解得，则，
联立，得，设，
则，
所以，
点到直线的距离即为
则，
令，则，设，
则，
令，得，令，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，则的最小值为．

19.解：由，得，
因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又，，
则存在，使得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则仅有一个极值点．
由，，得，
设，则，
当时，，则函数在上单调递减，
则最多只有个根，不符合题意；
当时，令，得，令，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，时，，
要使有两个极值点，需使，
又，则得，即．
综上所述，的取值范围为．
由题意，对任意的恒成立，
即，设，则，
因为，由知，函数在上单调递减，
则函数在上单调递减，
又，时，，
则存在，使得，即，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
即，所以，
设，则，即，，
所以，设，
则，
令，得，
由知该方程当且仅当，即时等号成立，即，
则有唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则．

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