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第8章 整式乘法
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列不能用平方差公式运算的是（　　）
A．（﹣x+2）（﹣x﹣2） B．（y﹣x+z）（﹣x+y﹣z）
C．（﹣2a+b）（2a+b） D．（﹣n﹣2m）（﹣2m﹣n）
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a5＝a10
B．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
D．5y2 3y3＝15y5
3．（3分）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+3b的长方形，需要B类卡片（　　）
A．5张 B．6张 C．7张 D．8张
4．（3分）下列等式中，成立的是（　　）
A．982＝902+82
B．982＝（90+8）（90﹣8）
C．982＝902+90×8+82
D．982＝1002﹣2×100×2+22
5．（3分）下列运算结果等于2a3b2的是（　　）
A．2a3+b2 B．a3b2+a3b2 C．2a5b3﹣a2b D．a3b2 a3b2
6．（3分）若（x2+ax+2）（x﹣1）展开后不含x的一次项，则a的值是（　　）
A． B．2 C．1 D．﹣2
7．（3分）若x2﹣y2＝8，则（x+y）2（x﹣y）2的值为（　　）
A．42 B．16 C．49 D．64
8．（3分）如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为acm的大正方形，其正中央正好是一个边长为bcm的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（　　）
A．
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）若（x﹣k）（x2﹣2x+3）展开后不含x的二次项，则常数k的值为　 　 ．
2．（3分）已知m﹣n＝2，mn＝﹣1，则（1﹣2m）（1+2n）的值为　 　 ．
3．（3分）若（x2﹣3x﹣2）（ax+1）的结果中不含有x的一次项，则a的值为　 　 ．
4．（3分）已知多项式（2x﹣1）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　 　 ．
5．（3分）一个长方形的长减少4cm，宽增加2cm后，面积保持不变．已知这个长方形原来的长是12cm，则它原来的宽为　 　 ．
6．（3分）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为3a+2b，宽为a+b的长方形，则A，B，C类卡片一共需要 　 　 张．
7．（3分）若（x﹣1）（x+3）＝x2+2x+m，则m＝　 　 ．
8．（3分）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 　 　 ．
三．解答题（共6小题，满分52分）
1．（6分）已知x+y＝3，xy＝﹣10，求：
（1）（3﹣x）（3﹣y）的值．
（2）求x2+3xy+y2的值．
2．（6分）小华和小明同时计算一道整式乘法题（4x﹣a）（5x+b）．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把﹣a抄成了+a，得到结果为20x2﹣2x﹣6；小明把第二个多项式中的5x抄成了x，得到结果为4x2﹣14x+6．
（1）求a，b的值；
（2）请计算出这道题的正确结果．
3．（8分）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为（3a﹣5b）cm，宽为（a﹣b）cm，小长方形的长为acm，宽为（a﹣2b）cm．
（1）求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简）
（2）零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？
4．（8分）综合与实践
图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn三个代数式之间的等量关系．
（2）①已知x+y＝8，xy＝15，求（x﹣y）2的值．
②已知，求的值．
（3）将两个正方形ABCD，EFGA如图3摆放，若两个正方形面积之和为65，BE＝3，直接写出图中阴影部分的面积之和．
5．（12分）定义：L（A）是多项式A化简后的项数，例如多项式A＝x2+2x﹣3，则L（A）＝3．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即C＝A×B），如果L（A）≤L（C）≤L（A）+1，则称B是A的“好多项式”，如果L（A）＝L（C），则称B是A的“极好多项式”．
（1）若A＝x﹣2，B＝x+3均是关于x的多项式，则B　 　 选填“是”或“不是”）A的“好多项式”；
（2）若A＝x﹣2，B＝x2+ax+4均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则a＝　 　 ；
（3）若A＝x2﹣x+3m，B＝x2+x+m均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值．
6．（12分）观察图形，解决问题：
（1）如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：
方法一：　 　 ；
方法二：　 　 ；
结合以上两种方法可以得到数学公式 　 　 ；
（2）当（y﹣2025）2+（y﹣2026）2＝7时，求（y﹣2025）（y﹣2026）的值；
（3）如图②所示，两个正方形ABCD，AEFG的边长分别为m，n．若m2+n2＝34，BE＝2，请直接写出图中阴影部分的面积．
第8章 整式乘法
一．选择题
1．【答案】D
【解答】解：A：相同项为﹣x，相反项为2和﹣2，能用平方差公式，故A不符合题意；
B、相同项为y﹣x，相反项为z和﹣z，能用平方差公式，故B不符合题意；
C、相同项为b，相反项为﹣2a和2a，能用平方差公式，故C不符合题意；
D、两项完全相同，均为﹣2m﹣n，无相反项，不能用平方差公式，故D符合题意；
故选：D．
2．【答案】D
【解答】解：A、a2 a5＝a7，选项计算错误，不符合题意；
B、（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，选项计算错误，不符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，选项计算错误，不符合题意；
D、5y2 3y3＝15y5，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
3．【答案】C
【解答】解：长方形的面积为：
（2a+b）（a+3b）
＝2a2+7ab+3b2，
∴需要B类卡片的张数为7ab÷（ab）＝7（张）．
故选：C．
4．【答案】D
【解答】解：将982整理为（90+8）2或（100﹣2）2，然后利用完全平方公式可得：
982＝（90+8）2＝902+2×90×8+82或982＝（100﹣2）2＝1002﹣2×100×2+22．
故选：D．
5．【答案】B
【解答】解：A、2a3与b2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、a3b2+a3b2＝2a3b2，故此选项符合题意；
C、2a5b3与﹣a2b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
D、a3b2 a3b2＝a6b4，故此选项不符合题意．
故选：B．
6．【答案】B．
【解答】解：∵多项式（x2+ax+2）（x﹣1）＝x3+（a﹣1）x2+（2﹣a）x﹣2不含x的一次项，
∴2﹣a＝0，
解得a＝2．
故选：B．
7．【答案】D
【解答】解：∵x2﹣y2＝8，
∴（x+y）2（x﹣y）2
＝[（x+y）（x﹣y）]2
＝（x2﹣y2）2
＝82
＝64，
故选：D．
8．【答案】D
【解答】解：∵图1中平行四边形的底边长为（a+b）cm，
又∵图2中大正方形的边长为acm，小正方形的边长为bcm，图2是由图1拼成，
∴图1中平行四边形的高为（a﹣b） cm，
∴图1中平行四边形的面积为：（a+b）（a﹣b）（cm2），
又∵图2中阴影部分的面积为：（a2﹣b2）（cm2），
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∴可以验证成立的等式为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
故选：D．
二．填空题
1．【答案】﹣2．
【解答】解：∵多项式（x﹣k）（x2﹣2x+3）＝x3+（﹣k﹣2）x2+（2k+3）x﹣3k不含x的二次项，
∴﹣k﹣2＝0，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
2．【答案】1
【解答】解：∵m﹣n＝2，mn＝﹣1，
∴（1﹣2m）（1+2n）
＝1﹣2（m﹣n）﹣4mn
＝1﹣2×2﹣4×（﹣1）
＝1．
故答案为：1．
3．【答案】．
【解答】解：∵多项式（x2﹣3x﹣2）（ax+1）＝ax3+（1﹣3a）x2+（﹣2a﹣3）x﹣2不含x的一次项，
∴﹣2a﹣3＝0，
解得a．
故答案为：．
4．【答案】1．
【解答】解：（2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1，
∵（2x﹣1）2＝ax2+bx+c，
∴a＝4，b＝﹣4，c＝1，
∴a+b+c＝4+（﹣4）+1＝1，
故答案为：1．
5．【答案】4．
【解答】解：设它原来的宽是xcm，
由题意得，12x＝（12﹣4）（x+2），
解得x＝4，
答：它的宽是4cm．
故答案为：4．
6．【答案】10．
【解答】解：由题可知：A，B，C类卡片的面积分别为a2，ab，b2，
∵长方形的长为3a+2b，宽为a+b，
∴长方形的面积：S＝（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，
∴A，B，C类卡片一共需要3+5+2＝10张，
故答案为：10．
7．【答案】﹣3．
【解答】解：（x﹣1）（x+3）
＝x2+3x﹣x﹣3
＝x2+2x﹣3，
∵（x﹣1）（x+3）＝x2+2x+m，
∴x2+2x﹣3＝x2+2x+m，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
8．【答案】20
【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
根据题意得a2﹣b2＝40，
∴（a+b）（a﹣b）＝40；
∵S阴＝S△ACD﹣S△CDE，
∴S阴CD×ABCD×BE
（a+b）a（a+b）b
（a+b）（a﹣b）
∵（a+b）（a﹣b）＝40，
∴S阴40
＝20．
故答案为：20．
三．解答题
1．【答案】（1）﹣10；
（2）﹣1．
【解答】解：（1）∵x+y＝3，xy＝﹣10，
∴（3﹣x）（3﹣y）
＝9﹣3y﹣3x+xy
＝9﹣3（x+y）+xy
＝9﹣3×3+（﹣10）
＝9﹣9+（﹣10）
＝﹣10；
（2）∵x+y＝3，xy＝﹣10，
∴x2+3xy+y2
＝x2+2xy+y2+xy
＝（x+y）2+xy
＝32+（﹣10）
＝9+（﹣10）
＝﹣1．
2．【答案】（1）a＝2，b＝﹣3；
（2）20x2﹣22x+6．
【解答】解：（1）由题意得，
（4x+a）（5x+b）
＝20x2+4bx+5ax+ab
＝20x2+（5a+4b）x+ab
＝20x2﹣2x﹣6；
（4x﹣a）（x+b）
＝4x2+4bx﹣ax﹣ab
＝x2+（﹣a+4b）x﹣ab
＝4x2﹣14x+6，
∴5a+4b＝﹣2且﹣a+4b＝﹣14，
解得a＝2，b＝﹣3；
（2）将a＝2，b＝﹣3代入原式得，
（4x﹣a）（5x+b）
＝（4x﹣2）（5x﹣3）
＝20x2﹣12x﹣10x+6
＝20x2﹣22x+6．
3．【答案】（1）（2a2﹣6ab+5b2）cm2；（2）（a2﹣4ab+5b2）cm2．
【解答】解：（1）根据题意可知，零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为：
（3a﹣5b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b）
＝3a2﹣5ab﹣3ab+5b2﹣a2+2ab
＝（2a2﹣6ab+5b2）cm2，
答：零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为（2a2﹣6ab+5b2）cm2；
（2）（2a2﹣6ab+5b2）﹣a（a﹣2b）
＝2a2﹣6ab+5b2﹣a2+2ab
＝（a2﹣4ab+5b2）cm2，
答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大（a2﹣4ab+5b2）cm2．
4．【答案】（1）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（2）①4；②9；
（3）．
【解答】解：（1）根据题意可得图2中阴影部分面积＝（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
∴（m+n）2，（m﹣n）2，mn三个代数式之间的等量关系：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（2）①∵x+y＝8，xy＝15，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝82﹣4×15＝4．
②∵，，，
∴，
解得：．
（3）设正方形ABCD和正方形EFGA的边长分别为p，q，
∵两个正方形面积之和为65，BE＝3，
∴p﹣q＝3，p2+q2＝65，
∵（p﹣q）2＝p2+q2﹣2pq，
∴32＝65﹣2pq，
∴pq＝28，
∵（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq，
∴32＝（p+q）2﹣4×28，
∴p+q＝11（负值已舍去），
∴图中阴影部分的面积之和＝S△BCF+S△DFG
．
5．【答案】（1）是；
（2）2；
（3）m＝0或．
【解答】解：（1）B是A的“好多项式”，理由如下：
C＝A B
＝（x﹣2）（x+3）
＝x2﹣2x+3x﹣6
＝x2+x﹣6，
∵L（A）＝2，L（C）＝3，
∴L（C）＝L（A）+1，
∴B是A的“好多项式”．
故答案为：是．
（2）C＝A B
＝（x﹣2）（x2+ax+4）
＝x3﹣2x2+ax2﹣2ax+4x﹣8
＝x3+（a﹣2）x2+（4﹣2a）x﹣8，
∵L（A）＝2，B是A的“极好多项式”，
∴L（C）＝L（A）＝2，
∴，
∴a＝2．
故答案为：2．
（3）C＝A B
＝（x2﹣x+3m）（x2+x+m）
＝x4﹣x3+3mx2+x3﹣x2+3mx+mx2﹣mx+3m2
＝x4+（4m﹣1）x2+2mx+3m2，
当m＝0时，则L（A）＝2，L（C）＝2，此时B是A的“极好多项式”，符合题意；
当m≠0时，L（A）＝3，
∵B是A的“极好多项式”，
∴L（C）＝L（A）＝3，
∴4m﹣1＝0，
∴，
综上所述，m＝0或．
6．【答案】（1）（a﹣b）2；a2﹣2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）3；
（3）8．
【解答】解：（1）方法一：∵图①中阴影部分是正方形，其边长为（a﹣b），
∴图①中阴影部分的面积为：（a﹣b）2，
方法二：∵图①中大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，两个长方形的长分别为（a﹣b），宽为b，
又∵图①中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积﹣2×长方形的面积，
∴a2﹣b2﹣2b（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2，
∴结合以上两种方法可以得到数学公为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案为：（a﹣b）2；a2﹣2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）设y﹣2025＝a，y﹣2026＝b，
∵（y﹣2025）2+（y﹣2026）2＝7，
∴a2+b2＝7，a﹣b＝（y﹣2025）﹣（y﹣2026）＝1，
∴（a﹣b）2＝1，
∴a2﹣2ab+b2＝1，
∴7﹣2ab＝1，
∴ab＝3，
∴（y﹣2025）（y﹣2026）＝3；
∴（y﹣2025）（y﹣2026）的值为3；
（3）∵AB＝AD＝CD＝m，AE＝AG＝EF＝GF＝n，
∴DG＝AD﹣AG＝m﹣n，BE＝AB﹣AE＝m﹣n，
∵BE＝2，
∴DG＝BE＝m﹣n＝2，
∴S△DGFGF DG2n＝n，S△BFCBC BE2m＝m，
∴S△DGF+S△BFC＝m+n，
∵m﹣n＝2，
∴（m﹣n）2＝4，
∴m2+n2﹣2mn＝4，
又∵m2+n2＝34，
∴34﹣2mn＝4，
∴2mn＝30，
∴m2+n2+2mn＝34+30＝64，
∴（m+n）2＝64，
∴m+n＝8，m+n＝﹣8（不合题意，舍去），
∴S△DGF+S△BFC＝m+n＝8，
即图中阴影部分的面积为8．

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