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第十六章一元二次方程强化训练2025-2026学年
北京版八年级下册
一、选择题
1.下列关于x的方程，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．2、﹣5 B．2、5 C．2、1 D．2x2、﹣5x
3.用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）．
A. B. 4 C. D. 8
4.方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5.下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
6.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
7.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　）
A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3）
C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3）
8.一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程x2﹣7x+10＝0，则此三角形的周长为（　　）
A．8 B．11 C．8或10 D．8或11
9.定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4．因此，max{﹣2，﹣4}＝﹣2；按照这个规定，若，则x的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣1或
C． D．1或
10.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（　　）
A．x（x﹣1）＝190 B．x（x﹣1）＝380
C．x（x﹣1）＝95 D．（x﹣1）2＝380
二、填空题
11.已知方程（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0，当m＝　 　 时，是关于x的一元二次方程．
12.已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则（a+b）2025的值为 　 　 ．
13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．
14.若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______．
15.某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是_______
16.如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为　 　m．
三、解答题
17.解下列方程．
(1)x（3x＋2）＝6（3x＋2）(2)3x2－2x－4＝0
18.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
19.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
20.如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，点P由点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以3cm/s的速度向点C移动．如果点P、Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于9cm2？
（2）经过几秒后，P、Q两点间距离是2cm？
21.为促进新旧功能转换，提高经济效益，甘井科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元/台）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式（不用体现x的取值范围）；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于28万元/台，如果该公司想获得70万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少？
【答案】
第十六章一元二次方程强化训练2025-2026学年
北京版八年级下册
一、选择题
1.下列关于x的方程，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2.将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．2、﹣5 B．2、5 C．2、1 D．2x2、﹣5x
【答案】A．
3.用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）．
A. B. 4 C. D. 8
【答案】B
4.方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
5.下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
【答案】B
6.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【答案】B
7.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　）
A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3）
C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3）
【答案】C．
8.一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程x2﹣7x+10＝0，则此三角形的周长为（　　）
A．8 B．11 C．8或10 D．8或11
【答案】B．
9.定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4．因此，max{﹣2，﹣4}＝﹣2；按照这个规定，若，则x的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣1或
C． D．1或
【答案】B．
10.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（　　）
A．x（x﹣1）＝190 B．x（x﹣1）＝380
C．x（x﹣1）＝95 D．（x﹣1）2＝380
【答案】A
二、填空题
11.已知方程（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0，当m＝　 　 时，是关于x的一元二次方程．
【答案】﹣2．
12.已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则（a+b）2025的值为 　 　 ．
【答案】﹣1．
13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．
【答案】且
14.若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______．
【答案】
15.某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是_______
【答案】20％
16.如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为　 　m．
【答案】：2．
三、解答题
17.解下列方程．
(1)x（3x＋2）＝6（3x＋2）(2)3x2－2x－4＝0
【答案】(1)
解：∵，
∴，
∴，
解得：，；
(2)
解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
18.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范围是k≤；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
19.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【答案】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
∴m≥23．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．
20.如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，点P由点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以3cm/s的速度向点C移动．如果点P、Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于9cm2？
（2）经过几秒后，P、Q两点间距离是2cm？
【答案】
解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于9cm2，则BP＝（8﹣2x）cm，BQ＝3xcm，
依题意，得：（8﹣2x）×3x＝9，
化简，得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
答：经过1秒或3秒后，△PBQ的面积等于9cm2；
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是2cm，则BP＝（8﹣2y）cm，BQ＝3ycm，
依题意，得：（8﹣2y）2+（3y）2＝（2）2，
化简，得：13y2﹣32y+12＝0，
解得：y1＝，y2＝2（不合题意，舍去）．
答：经过秒或2秒后，P，Q两点间距离是2cm．
21.为促进新旧功能转换，提高经济效益，甘井科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元/台）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式（不用体现x的取值范围）；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于28万元/台，如果该公司想获得70万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少？
【答案】解：（1）设月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（28，60），（32，40）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝﹣5x+200．
（2）依题意得：（x﹣25）（﹣5x+200）＝70，
整理得：x2﹣65x+1014＝0，
解得：x1＝26，x2＝39（不符合题意，舍去）．
答：该设备的销售单价应是26万元/台．

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