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江西省吉安市2026届高三下学期3月模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.某市连续天的空气质量指数分别为，则这组数据的上四分位数为( )
A. B. C. D.
4.已知圆台的上下底面半径分别为和，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知过原点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知数列的各项均不为，其前项积为，且，记数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点不在轴上，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，函数和它的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 是函数的一条对称轴 D. 若，则
10.如图，在菱形网格图最小的菱形边长为，且有一个内角为中有两个格点，，若图中有且只有个不同的格点不与，重合使得成立，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则( )
A. B. 为偶函数
C. 当时， D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为 ．
14.春节期间，家家户户都会挂起寓意吉祥的装饰挂件，现有“福字挂饰”、“中国结挂饰”、“红灯笼挂饰”三种类型的挂件各个其中福字挂饰分别为刺绣款、剪纸款；中国结挂饰分别为桃木款、红绳款；红灯笼挂饰分别为宫灯款、纱灯款，将这个挂件随机挂成一排，则仅有一种类型的挂件相邻的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求的值．
16.本小题分
如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，．
证明：平面平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成道题目，答对一题得分，答错一题得分，道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、．
求比赛结束后甲得分的概率；
已知在甲获胜的前提下，乙恰好得分的概率为，求的值．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为，点为圆上一动点．
求双曲线的标准方程；
若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，．
(ⅰ)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(ⅱ)设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若，求函数在处的切线方程；
若，，讨论的单调性；
若对任意的，恒成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：在中，由正弦定理为外接圆半径，
得，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以．
由题意得，
所以，
由正弦定理，
而，
所以，解得或舍去．
故．

16.解：如图，设与的交点为，连接，
在正方形中，，，由可得，
，且平面，所以平面，
平面，故平面平面．
由可知平面，所以平面平面，
过点作的垂线交于点，则平面，
在中，，
在中，由余弦定理得，故得，
所以，，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，，，，
设平面的法向量为，
则由得，令得，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：设“比赛结束后甲得分”为事件，
则；
记“比赛结束后甲获胜”为事件，记“比赛结束时乙恰好得分”为事件，
设甲的得分为，则，
，，
设乙的得分为，的可能取值为，，，，则
，，
，，

又，
所以，
解得．

18.解：双曲线的右焦点，渐近线方程为，
由题意可得，
又因为，所以，，
故双曲线的标准方程为；
设，由题意知切线的斜率一定存在，
设过点与双曲线相切的切线方程为，代入双曲线中消去得：
，
则由得：，
化简得：，
则，为上述方程的两个根，故，
而，所以
为定值．
证明：当斜率为或者斜率不存在时，根据对称性可知，
此时，即；
当，都存在时，设，，的中点为，
由，即，
由于切点弦所在的直线方程为，所以，
因此，即，，三点共线，
又由(ⅰ)可知与均为直角三角形，故，，
则，，而，
所以，故，，
所以，即

19.解：因为，所以，
所以定义域为，，
当时，，而，所以切线方程为；
当，时，，
因为，所以，
若，即时，，此时在上单调递增，
若，即时，令，得或，
令，得，所以在和上单调递增，
在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，增区间为和，减区间为；
因为，对，恒成立，且，
故，即，
所以，对，恒成立，当时满足条件；
当时，，即；
当时，，即，所以，
，令得，，所以
当时，，，
则在上单调递增，当时，，不满足题意；
当时，，令，则，
所以在上单调递增，当时，，不满足题意；
当时，，令得，
所以在上单调递减，当时，，不满足题意；
当时，，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，
令，则，
因此，不满足题意；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故，满足题意．
综上可知，的取值范围为．

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