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基础知识必备
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第
7
章 相交线与平行线
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第 7 章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.1 两条直线相交
1. 在同一平面内，两条直线的位置关系有 相交 和 平行 两种．
2. 相交线的定义：两条不同的直线只有一个 公共点 叫做两直线相交，这个 公共点 叫做它们的交点．
3. 相交线的表示方法：如图所示，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O．
4. 邻补角与对顶角
名称 概念 性质 示意图
邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做 邻补角 ．如图， ∠1 与 ∠2 是邻补角 互为邻补角的两个角的和是 180° , 如图， ∠1+ ∠2 或∠4 ＝180°
对顶角 如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是 对顶角 ．如图，∠1 与 ∠3 是对顶角 对顶角相等， 如图， ∠1 = ∠3
7.1.2 两条直线垂直
1. 垂线的概念及表示
(1) 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 ．通常用符号“ ⊥”表示这两条直线互相垂直；
(2) 如图所示，直线 AB 与直线 CD 垂直，记作 AB⊥CD ．如果用l ，m 表示两条直线，直线l 与直线 m 垂直，记作 l⊥m ，点 O 是垂足．
2. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(基本事实)．
3. 垂线段：如下图，P 为直线 l 外一点，PM⊥l ，垂足为 M，则线段 PM 就是点 P 到直线 l 的垂线段．
4. 垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．如上图，连接直线l外一点 P 与直线 l 上各点的所有线段中，线段 PM 最短．
5. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
6. 垂线的画法
(1) 利用三角尺的两条直角边的垂直关系画垂线，它的基本步骤是：“一落、二过、三画” ，即落在已知直线上，过已知点（通常又叫定点），沿三角尺的一边或过刻度尺的边缘画线.如图所示：
(2) 利用量角器画，主要是画一个 90。的角来得到垂线.如图所示：
7.1.3 两条直线被第三条直线所截
1. 三线八角：如图，两条直线AB ，CD 被第三条直线 EF 所截，构成八个角.
(1) 同位角：两个角分别在两条被截线AB ，CD 的同一方，并且都分布在截线 EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．如下图： ∠1 与 ∠5 ， ∠2 与 ∠6 ， ∠3 与 ∠7 ， ∠4与 ∠8．
(2) 内错角：两个角都在两条被截线AB ，CD 之间，并且交错分布在截线 EF两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．如下图： ∠3 与 ∠5 ， ∠4 与∠6．
(3) 同旁内角：两个角都在两条被截线AB ，CD 之间，并且分布在截线 EF 的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．如下图： ∠4 与∠5 ， ∠3 与 ∠6．
2. 常见基本图形结构
角的名称 位置特征 示意图 图形结构特征
同位角 ①在截线同侧； ②在两条被截线同一方 形如字母“ F ” (或倒置、反置、旋转)
内错角 ①在截线两侧(交错)； ②在两条被截线之间 形如字母“ Z ” (或倒置、反置、旋转)
同旁内角 ①在截线同一旁； ②在两条被截线之间 形如字母“ U ” (或倒置、反置、旋转)
7.2 平行线
7.2.1 平行线的概念
1. 平行线的基本事实(平行公理)：在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ．如图所示，如果b∥a ，c ∥a ，那么b∥c ，即平行具有传递性，简记为“平行于同一条直线的两条直线平行 ”．
7.2.2 平行线的判定
平行线的判定方法
判定方法 文字语言 符号语言 示意图
判定方法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说 成：同位角相等，两直线平行 如果∠1 = ∠2，那么 l1 ∥l2
判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说 成：内错角相等，两直线平行 如果∠2 = ∠3，那么 l1 ∥l2
判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说 成：同旁内角互补，两直线平行 如果∠2+∠4 = 180o ，那么 l1 ∥l2
7.2.3 平行线的性质
平行线的性质
性质 文字语言 符号语言 示意图
性质 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等 如果 l1 ∥l2 ，那么∠1= ∠2
性质 2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等 如果 l1 ∥l2 ，那么 ∠2= ∠3
性质 3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补 如果 l1 ∥l2 ，那么 ∠2+∠4 = 180。
7.3 定义、命题、定理
7.3.1 定义、命题、定义
1. 命题
(1) 定义：表示判断的语句叫做命题．
(2) 命题的两层含义：
1 命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句；
2 命题必须是做出肯定或否定判断的语句.
(3) 命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……那么……”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．
2. 真命题和假命题
(1) 真命题：有些命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；
(2) 假命题：有些命题，题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
3. 定理和证明
(1) 定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的依据；
证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
7.4 平移
7.4.1 图形的平移
1. 平移：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动，叫做平移．
2. 对应点，对应线段，对应角
平移前后两个图形中能够互相重合的点称为对应点（如点A 与点 A9）；能够互相重合的线段称为对应线段（如线段 AB 与线段 A 9B 9）;能够互相重合的角称为对应角（如∠ABC 与∠A 9B 9C 9）．
3. 平移的性质
(1) 平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同，即平移前后的两个图形的对应边平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；
(2) 连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等．

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