资源简介

第二十章 勾股定理 单元测试（提升卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
2．如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A． B． C． D．3
3．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．2
5．如图，中，的中垂线交于E，交于D，若，则的周长为（　　 ）
A．14 B．16 C．20 D．18
6．如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点之间，点在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：
①；②；③
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
评卷人得分
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．在中，，于，，，则的长为______．
8．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若于点，则的长为____________．
9．如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为________．
10．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是_________ ．
11．如图，用一条花带从高的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是，则这条花带的长度至少为___________ ．
12．在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，是轴正半轴上一个动点，若为等腰三角形，则点的坐标为______．
评卷人得分
三、解答题（第13-17题每小题6分，18-20题每小题8分，21-22题每小题9分，第23题12分，共84分）
13．如图，已知在中，，边上的高．求的长．
14．利用无刻度的直尺画图．
(1)利用图①中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线．
(2)在图②的网格中画一个三角形，满足下列条件：①是直角三角形；②任意两个顶点都不在同一条网格线上；③三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上．
15．如图，在中，，平分，交于点，过点作，交于点．若，，求的长．
16．如图，在中，，于点，，．
(1)求和的长；
(2)求的长（提示：利用三角形面积公式）．
17．如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙．
(1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？
(2)当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？
18．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)若，，求的长．
19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？
20．【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长；
【深入探究】
（2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长．
21．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．
(1)若点运动到的中点时，的值为_______；
(2)若，求的长；
(3)当为直角三角形时，求的值．
22．仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题：
，，
，，
，，
(1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律；
(2)推算出的值；
(3)求出的值．
23．【问题背景】
如图1是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
【探索求证】
（1）与按如图2所示位置放置，连接，其中，请你利用图2推导勾股定理；
【问题解决】
（2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【延伸扩展】
（3）在第（2）问中，若，，，，，设，求x的值．
第二十章 勾股定理 单元测试（提升卷）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B C C A D
1．C
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设，，，
∵，
∴，解得，
∴，，，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵，，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．
将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，
，，，
是等边三角形，
，
∵，，
，
，
与的面积之和为
．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键；
设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解；
【详解】解：设，则，
由勾股定理得：在中，，
在中，，
由题意可知：，
∴，
解得：，
∴的长是，
∴，
故选：C；
5．A
【分析】本题主要考查勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键；先根据勾股定理求出的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即，
∴的周长．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质、三角形的三边关系、完全平方公式等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，则可得，利用勾股定理可得，再根据三角形的三边关系即可得①正确；在中，利用勾股定理即可得②正确；利用直角梯形的面积公式即可得③正确．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴，结论①正确；
在中，，即，
∴，结论②正确；
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是直角梯形，
∴，
∴，结论③正确；
综上，所有正确结论的序号是①②③，
故选：D．
7．3
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，结合等面积法计算是解题的关键．
在中，由和，利用含角的直角三角形的性质求出和；再利用等面积法求出，再利用勾股定理求出即可；
【详解】解：在中，，，
，
，且是的对边，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故答案为：3．
8．//
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用网格求出的面积，利用勾股定理求出的长，再根据面积法即可求出的长，利用面积法求高是解题的关键．
【详解】解：由网格可得，，
由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．9.6
【分析】本题考查三线合一，中垂线的性质，垂线段最短，等积法求线段的长，连接，三线合一，推出，进而得到，根据垂线段最短，得到当时，最小，等积法求出的长即可．
【详解】解：连接，
∵是边上的中线，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
又∵E是边上的动点，
∴当时，最小，此时，即，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
10．/
【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，根据等角对等边得出，设，则，，根据勾股定理得出，再解方程即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质，可得，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，即，
解得，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
把圆柱沿展开三圈，B点的对应点为C点，如图，由于，则利用勾股定理可计算出，然后根据两点之间线段最短求解．
【详解】解：把圆柱沿展开三圈，B点的对应点为C点，如图，
则，
∵，
∴（）．
∴这条花带的长度至少为．
故答案为：．
12．或或
【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的定义，勾股定理等知识， 根据中点坐标公式求出点D的坐标，设，分三种情况讨论∶；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程求解即可．
【详解】解∶∵，，为的中点，
∴，即，
∵是轴正半轴上一个动点，
∴设，
当时，
，
∴点的坐标为；
当时，
，
解得，
∴点的坐标为；
当时，
，
解得或
∴点的坐标为；
综上， 点的坐标为或或，
故答案为∶ 或或．
13．21
【分析】本题主要考查勾股定理，利用勾股定理求出的长度，即可求解．
【详解】解：∵，
在中，，
∵，，
在中，，
∴．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作平行线和垂线的方法，利用直尺作图即可；
（2）根据勾股定理逆定理判断三条线段的平方分别为：，判断这三条线段能构成直角三角形即可画出图形．
【详解】（1）解：如图①，如图所示．利用直尺作：，．
则和直线即为所求．
（2）解：如图②，即为所求．
理由：由勾股定理得：
．
．
故是直角三角形．
【点睛】本题考查了平行线的作法，垂线的作法，掌握网格结构的特点并熟练应用是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握判定的方法是解题的关键．
利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质推出，进而求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
16．(1)的长为，的长为；
(2)的长为．
【分析】本题考查含角的直角三角形，勾股定理，三角形的高相关的计算．
（1）由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得；
（2）将和代入三角形的面积公式，可得，用表示，即可得．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴．
∴的长为，的长为．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得．
∴的长为．
17．(1)这架云梯的顶端到地面的距离是
(2)梯子的底端在水平方向滑动了
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键：
（1）利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，
即，
∴，
答：这架云梯的顶端到地面的距离是；
（2）解：∵梯子的顶端A下滑了4m至点，
∴，
在中，由勾股定理得，
即 ，
∴，
∴
答：梯子的底端在水平方向滑动了．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
（1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）设，，则，，首先确定的长，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
的垂直平分线分别交、于点、，
，
，
，
，
是直角三角形，且；
是直角三角形；
（2）解：∵，
设，，则，，
在中，，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴．
19．(1)海港C受台风影响，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论；
（2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案．
【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下：
如图所示，过点C作于D，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴海港C受台风影响；
（2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵台风中心移动的速度为，且，
∴台风影响海港C持续的时间有，
答：台风影响海港C持续的时间有．
20．（1）12；（2）3
【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理．
（1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长；
（2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长．
【详解】解：（1）在中，，，
∵，
∴，
由折叠性质得：，
在中，由勾股定理得：；
（2）∵四边形是长方形，，，
∴，，，
由折叠性质得：，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
21．(1)1
(2)
(3)2或
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解．
（2）由题知当时，，，
在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长．
（2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得．
本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
若点运动到的中点，则，
则．
（2）解：由题知，
如图，当时，，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
（3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即；
如图②，当为直角时，，，
在中，，
在中，，
即，
解得 ．
故或时，为直角三角形．
22．(1)，（是正整数）；
(2)；
(3)．
【分析】此题考查了勾股定理、算术平方根，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得；
（）由上述，，根据规律可知；
（）的值就是把面积的平方相加就可．
【详解】（1）解：，；
，；
，；
；
∴，（是正整数）；
（2）解：∵，
，
，
，
，
∴，
∴；
（3）解：
，
即：．
23．（1）见解析；（2）少0.16千米；（3）6
【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，理解题意是解答的关键．
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果．
【详解】解：（1），
，
∴，
即；
（2）设千米，则千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
即千米，
∴（千米），
∴新路比原路少千米；
（3）由，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
即，
解得：．

展开更多......

收起↑