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2026年上海市长宁区华东师大附属天山学校高考3月模拟
数学试卷
一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。
1.已知直线：，：则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中真命题是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
3.有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 甲与乙相互独立 B. 乙与丙相互独立 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立
4.对于无穷数列，给出如下三个性质：；对于任意正整数，，都有；对于任意正整数，存在正整数，使得；定义：同时满足性质和的数列为“数列”：同时满足性质和的数列为“数列”，则下列说法正确的是( )
A. 若为“数列”，则为“数列”
B. 若，则是“数列”
C. 若，则为“数列”
D. 若等比数列为“数列”，则为“数列”
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.不等式的解集是 ．
6.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则 ．
7.若复数是的一个根，则 ．
8.在二项式的展开式中，的系数为 用数字作答．
9.将个数据按照从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，，若该组数据的分位数为，则 ．
10.公差为的等差数列，，如果，，成等比数列，求数列的通项 ．
11.已知函数的图像在处的切线与直线平行，则 ．
12.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种
13.若向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量夹角大小为 ．
14.已知在上是严格增函数，且该函数在上有最小值，那么的取值范围是 ．
15.在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
16.定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数设，且是的倍伸缩周期函数若对于任意的，都有，则实数的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知向量，，设函数．
当时，求函数的值域；
已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，且，求面积的最大值．
19.本小题分
垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取名学生作为样本，按照了解程度分为等级和等级，得到如下列联表：
男生 女生 总计
等级
等级
总计
根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关规定：显著性水平？
附：，其中，．
为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛每局比赛由二人参加，主持人和轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛甲，乙两人参加比赛，已知主持人提问甲赢的概率为，主持人提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢现抽签决定第一局由主持人提问．
求比赛只进行局就结束的概率；
设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望．
20.本小题分
已知椭圆：的焦距为，且过点．
求椭圆的方程；
设与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点异于椭圆顶点，点为线段的中点，为坐标原点．
若点在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标；
求证：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．
21.本小题分
已知函数，．
求函数在点处的切线方程；
对任意的时，恒成立，求实数的取值范围；
记，若，且，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.，或
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：Ⅰ证明：在四棱锥中，
取的中点，连接、，
因为 是的中点，
所以 ，且．
又因为 底面是正方形，是的中点，
所以 ，且．
所以 ．
所以 四边形是平行四边形．
所以 ．
由于 平面，平面，
所以 平面．
因为 底面是正方形，所以 ．
又因为 平面．
所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，
如图建立空间直角坐标系．，，，，，．，，
设平面的法向量为．
有：即令，则，
所以．．
设直线与平面所成角为．
有：．
所以 直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：根据题意得，
当时，，可得，函数的值域为；
由的结论，可知，
根据，可得，结合，得，
因为，且，所以，结合基本不等式，得，
所以，当且仅当等号成立．
因此，，当且仅当时，面积最大值为．
19.解：提出原假设：学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，
根据表中数据可得，
由，且，
所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关．
比赛只进行局就结束，甲赢得比赛的概率为
比赛只进行局就结束，乙赢得比赛的概率为，
故比赛只进行局就结束的概率为；
的可能取值为，，，，
，即进行了场比赛，且乙赢得比赛，故，
，即进行了场比赛，且乙赢得比赛，前场中，甲赢得场比赛，乙第场赢，
故，
，即进行了场比赛，且乙赢得比赛，前场中，甲赢得场比赛，乙第场赢，
故
，
，即最后甲赢得比赛，由概率性质得，
所以的分布列为：
故数学期望为．
20.解：由已知可得，，又，
，，
椭圆的方程为．
证明：由题意知，直线斜率存在，设直线方程为，设，，
由，消去整理得，
，
．
点为线段的中点，点在直线上，
，即，
．
线段的垂直平分线方程为，即，即，
故线段的垂直平分线恒过定点．
由弦长公式得，
坐标原点到直线的距离为，
的面积为
．
当且仅当，即时等号成立．
．
直线与的斜率之积为定值．
21.；
；
证明：由题意得，，
所以，
由可得，
所以，
又，两边同时除以，得，
因此，
所以，
令，得，
因此，
令，，则，
所以在上为减函数，故 ，
即时，，
因为，，
所以，所以，
又因为，所以，
故，即
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