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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第四章 三角形及四边形
4.2 三角形
1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性，了解三角形重心的概念。
2．探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3．证明三角形的任意两边之和大于第三边。
4．理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
5．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
6．理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
7．理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
8．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
1．三角形的定义及相关概念
（1）由不在同一条直线上的三条线段________相接所组成的图形叫作三角形。
（2）三角形按角分类可分为________三角形、________三角形和________三角形。
（3）三角形按边分类可分为________三角形、________三角形；等腰三角形分为底与腰________的三角形和________三角形。
（4）三角形的三边关系：三角形的两边之和________第三边；三角形的两边之差________第三边。
（5）三角形内角和、外角与内角关系：三角形的内角和是________；三角形的外角等于与它________的两个内角的和；三角形的外角________任何一个和它不相邻的内角；三角形外角和是________。
2．与三角形有关的线段
（1）角平分线：
①角平分线上的点到角两边的距离________；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的________上。
②三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的________，内心到三角形三边的距离________．
（2）中线：
①三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的________：每条中线平分三角形的面积。
（3）高：
①三角形的三条高线所在的直线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的垂心。
②锐角三角形的三条高相交于三角形的________；直角三角形的三条高相交于________上；钝角三角形的三条高所在的直线相交于三角形的________。
（4）三角形中位线：
(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的________。
(2)性质：三角形的中位线________第三边，并且等于第三条边的________。
3．等腰三角形
（1）线段垂直平分线的性质与判定：
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________。
判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的________上。
（2）等腰三角形的定义：有________边相等的三角形叫作等腰三角形。
（3）等腰三角形的判定：等角对________。
（4）等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两底角________；
②等腰三角形的顶角________、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；
③是轴对称图形，只有一条对称轴。
4．等边三角形
（1）等边三角形的定义：有________条边相等的三角形叫作等边三角形。
（2）等边三角形的判定：三个角________的三角形是等边三角形；有一个角是________的等腰三角形是等边三角形。
（3）等边三角形的性质：①具有一般等腰三角形的所有性质；②等边三角形的三个角相等，每一个角都等于________；③是轴对称图形，共有________条对称轴。
5．直角三角形
（1）直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角________。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的________。
③在直角三角形中，如果一个锐角等于________，那么它所对的直角边等于________的一半。
（2）直角三角形的判定：
①有一个角是直角或两个锐角互余的三角形是________三角形。
②如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为________三角形。
6．勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，那么________。
（2）勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足________，那么这个三角形是直角三角形。
■考点一 与三角形有关的线段
◇典例1：(2026·河北张家口市桥东区·一模)如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线
◆变式训练
1．(2026·河南省周口市项城市·一模)如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______．
2．(2026·江西上饶余干县沙港初级中学·一模)如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1中，作的中线；
(2)在图2中找点O，使得点O为的重心．
■考点二 与三角形有关的角
◇典例2：(2026·陕西榆林定边县城区联考·一模)如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．(2025·湖南长沙浏阳·模拟)如图，四边形中，是由绕顶点逆时针旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则________度．
2．(2025·浙江丽水缙云区·一模)如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O．
(1)若是边上的中线，，的周长为，求的周长．
(2)若于点D，，求的度数．
■考点三等腰三角形
◇典例3：(2026·山西临汾市蒲县第一中学，鸿桥中学等校·一模)如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接．若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
◆变式训练
1．(2026·河北沧州市第十四中学·一模)如图，点，在射线上，点，在射线上，满足，且，则的度数为______．
2．(2026·四川南充市仪陇县·一模)已知：如图，相交于点O，，．
求证：．
■考点四 等边三角形
◇典例4：(2026·浙江省浙里·联考)如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．(2026·福建晋江·一模)如图，在正五边形的内部作正三角形，则___________．
2．(2026·湖南长沙市华益中学·一模)如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
■考点五 直角三角形
◇典例5：(2026·陕西省西安高新第一中学·一模)如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
◆变式训练
1．(2026·黑龙江哈尔滨市南岗区·调研)在中，，，点在边上，连接，若，则的面积为______．
2．(2026·福建晋江·一模)如图，在中，，垂足为．求的长．
■考点六 勾股定理及其逆定理
◇典例6：(2026·安徽省“皖西优+”·一模)如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．(2025·广东省广州市第七中学东山学校·二模)三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______．
2．(2026·重庆大渡口区·一模)如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是．
(1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？
A 基础达标练
1．(2025·山东省潍坊市·中考)如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．(2025·西藏·中考)如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．(2026·广东佛山·一模)如图，等腰的顶角，将绕点A逆时针旋转，的对应边恰好经过点C，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．(2026·安徽·一模)如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（ ）
A．直线是线段的垂直平分线 B．
C．是等边三角形 D．
5．(2026·广西南宁市青秀区·一模)如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则______．
6．(2026·四川南充市仪陇县·一模)如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是__________．
7．(2026·上海市浦东新区·一模)如图，在中，，D是的重心，若，，则______．
8．(2025·广东·三模)如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物．
(1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长．
B 强化提升练
9．(2026·内蒙古呼和浩特市敬业学校·一模)如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)如图，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点．
①求证：；
②，；求的面积．
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2026年中考一轮复习
4.2 三角形
三角形及四边形
第4章
“—”
1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性，了解三角形重心的概念。
2．探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3．证明三角形的任意两边之和大于第三边。
4．理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
5．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
6．理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
7．理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
8．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
1．三角形的定义及相关概念
（1）由不在同一条直线上的三条线段________相接所组成的图形叫作三角形。
（2）三角形按角分类可分为________三角形、________三角形和________三角形。
（3）三角形按边分类可分为_______________三角形、____三角形；等腰三角形分为底与腰________的三角形和________三角形。
首尾顺次
锐角
直角
钝角
三边都不相等的
等腰
不相等
等边
（4）三角形的三边关系：三角形的两边之和________第三边；三角形的两边之差________第三边。
（5）三角形内角和、外角与内角关系：三角形的内角和是________；三角形的外角等于与它________的两个内角的和；三角形的外角________任何一个和它不相邻的内角；三角形外角和是________。
大于
小于
180°
不相邻
大于
360°
2．与三角形有关的线段
（1）角平分线：
①角平分线上的点到角两边的距离________；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的________上。
②三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的________，内心到三角形三边的距离________．
（2）中线：
①三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的________：每条中线平分三角形的面积。
相等
平分线
内心
相等
重心
（3）高：
①三角形的三条高线所在的直线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的垂心。
②锐角三角形的三条高相交于三角形的________；直角三角形的三条高相交于___________上；钝角三角形的三条高所在的直线相交于三角形的________。
（4）三角形中位线：
(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的________。
(2)性质：三角形的中位线________第三边，并且等于第三条边的________。
内部
直角顶点
外部
中位线
平行于
一半
3．等腰三角形
（1）线段垂直平分线的性质与判定：
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________。
判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的____________上。
（2）等腰三角形的定义：有________边相等的三角形叫作等腰三角形。
（3）等腰三角形的判定：等角对________。
相等
垂直平分线
两
等边
（4）等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两底角________；
②等腰三角形的顶角________、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；
③是轴对称图形，只有一条对称轴。
相等
平分线
4．等边三角形
（1）等边三角形的定义：有________条边相等的三角形叫作等边三角形。
（2）等边三角形的判定：三个角________的三角形是等边三角形；有一个角是________的等腰三角形是等边三角形。
（3）等边三角形的性质：①具有一般等腰三角形的所有性质；②等边三角形的三个角相等，每一个角都等于________；③是轴对称图形，共有________条对称轴。
三
相等
60°
60°
三
5．直角三角形
（1）直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角________。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的________。
③在直角三角形中，如果一个锐角等于________，那么它所对的直角边等于________的一半。
（2）直角三角形的判定：
①有一个角是直角或两个锐角互余的三角形是________三角形。
②如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为________三角形。
互余
一半
30°
斜边
直角
直角
6．勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，那么___________。
（2）勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足___________，那么这个三角形是直角三角形。
a2+b2=c2
a2+b2=c2
A
解：（1）如图，中线即为所求；
（2）如图，点O即为所求．
D
（1）解：是的中线，，
∵的周长为，
的周长，
∴，
∵，
∴，
∴的周长
；
（2）解：，，
是的角平分线，，
，
．
B
证明：在和中，
．
．
．
B
48
（1）证明：∵是的中点，∴．
∵，，∴．
在和中：
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，∴．
又∵，∴，
∴是等边三角形，∴．
∵是中点，∴．
在中，，，
∴，∴．
D
或
解：，
，
，
，
，
，
C
（1）解：由题意得：，，
设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，，
∵，
∴，
整理得，
解得，
当时，，此时轮船还没有经过，
∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
（2）解：如图，取点、，使，
当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时；
轮船从点运动到点用时（小时），
设台风中心小时从移动到，则，
∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离
刚好，此后都不再受台风影响，
∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，
，
∴轮船停止航行时间为（小时），
∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时．
A 基础达标练
D
C
B
D
解：（1）如图，点即为所求．
（2）由题意知，，，，
在中，．
答：蚂蚁爬行的最短矩离的长为．
B 强化提升练
解：（1）由旋转的性质可得，，，
，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：由旋转的性质可得，，，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
②解：如图，作于点，
在直角中，，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，，
由旋转的性质可知，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，∴，
∴．
49
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第四章 三角形及四边形
4.2 三角形
1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性，了解三角形重心的概念。
2．探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3．证明三角形的任意两边之和大于第三边。
4．理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
5．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
6．理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
7．理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
8．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
1．三角形的定义及相关概念
（1）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。
（2）三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
（3）三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形分为底与腰不相等的三角形和等边三角形。
（4）三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边。
（5）三角形内角和、外角与内角关系：三角形的内角和是180°；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形外角和是360°。
2．与三角形有关的线段
（1）角平分线：
①角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
②三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等．
（2）中线：
①三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的重心：每条中线平分三角形的面积。
（3）高：
①三角形的三条高线所在的直线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的垂心。
②锐角三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点上；钝角三角形的三条高所在的直线相交于三角形的外部。
（4）三角形中位线：
(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。
(2)性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三条边的一半。
3．等腰三角形
（1）线段垂直平分线的性质与判定：
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形。
（3）等腰三角形的判定：等角对等边。
（4）等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两底角相等；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；
③是轴对称图形，只有一条对称轴。
4．等边三角形
（1）等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫作等边三角形。
（2）等边三角形的判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（3）等边三角形的性质：①具有一般等腰三角形的所有性质；②等边三角形的三个角相等，每一个角都等于60°；③是轴对称图形，共有三条对称轴。
5．直角三角形
（1）直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（2）直角三角形的判定：
①有一个角是直角或两个锐角互余的三角形是直角三角形。
②如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
6．勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
（2）勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
■考点一 与三角形有关的线段
◇典例1：(2026·河北张家口市桥东区·一模)如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线
【答案】A
【分析】根据三角形中线的定义和线段垂直平分线作图法判断即可．
【详解】由作图的痕迹可知：点是线段的中点，
线段是的中线．
◆变式训练
1．(2026·河南省周口市项城市·一模)如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______．
【答案】
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论．
【详解】解：如图，连接，，，
根据等底等高的三角形面积相等可得：，，，，，，都相等，
∴，
同理可得，
以此类推：，
∵，
∴，
∴的面积为．
2．(2026·江西上饶余干县沙港初级中学·一模)如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1中，作的中线；
(2)在图2中找点O，使得点O为的重心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取的中点D，连接即可；
（2）取的中点E，连接交于O即可．
【详解】（1）解：如图，中线即为所求；
（2）解：如图，点O即为所求．
■考点二 与三角形有关的角
◇典例2：(2026·陕西榆林定边县城区联考·一模)如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据垂直，可得，进而可求，，再根据角平分线，可得，最后根据三角形内角和，计算即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
平分，
，
．
◆变式训练
1．(2025·湖南长沙浏阳·模拟)如图，四边形中，是由绕顶点逆时针旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则________度．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，以及等腰三角形两底角相等的性质是解题的关键．
根据旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等以及旋转角的度数，再利用等腰三角形的性质求出，最后通过三角形内角和与对顶角相等的性质求出，进而求出的度数．
【详解】解：如图，
∵是由绕顶点逆时针旋转所得，
∴，，，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
2．(2025·浙江丽水缙云区·一模)如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O．
(1)若是边上的中线，，的周长为，求的周长．
(2)若于点D，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键．
（1）由三角形中线的概念可得，由的周长为得，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案；
（2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，于是得解．
【详解】（1）解：是的中线，
，
∵的周长为，
的周长，
∴，
∵，
∴，
∴的周长
；
（2）解：，
，
是的角平分线，，
，
．
■考点三等腰三角形
◇典例3：(2026·山西临汾市蒲县第一中学，鸿桥中学等校·一模)如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接．若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】先根据勾股定理求出，由作图知：，根据等边对等角得出，然后根据正切的定义求出即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图知：，
∴，
∴．
◆变式训练
1．(2026·河北沧州市第十四中学·一模)如图，点，在射线上，点，在射线上，满足，且，则的度数为______．
【答案】
【分析】设 ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，依次推导 、、、、 的度数（用 表示），最后利用垂直定义和三角形内角和定理（或外角性质）建立方程求解即可．
【详解】解：设
在 中，
即
解得
故的度数为．
2．(2026·四川南充市仪陇县·一模)已知：如图，相交于点O，，．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意可证明，继而利用全等性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：在和中，
．
．
．
■考点四 等边三角形
◇典例4：(2026·浙江省浙里·联考)如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等边三角形的性质得，，，再结合角的转换可证明，得．结合，推出，再由内角和得，最终由三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵
∴
，
∴
．
【点睛】本题以共顶点等边三角形为模型，通过“”全等实现角度转化，将已知角与目标角建立关联，再结合三角形内角和定理完成求解，凸显了全等变换在几何角度计算中的核心作用．
◆变式训练
1．(2026·福建晋江·一模)如图，在正五边形的内部作正三角形，则___________．
【答案】
48
【分析】求出，求差即可.
【详解】解：由题意，，
∴.
2．(2026·湖南长沙市华益中学·一模)如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为2
【分析】（1）根据是的中点，可得，证明，进而即可得证；
（2）由（1）可得，则是等边三角形，再求出，最后根据含的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴．
在和中：
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴．
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵是中点，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
■考点五 直角三角形
◇典例5：(2026·陕西省西安高新第一中学·一模)如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【详解】解：∵，是斜边上的高，，
∴，，
∴，
∴图中与(除外)相等的角的个数是2．
◆变式训练
1．(2026·黑龙江哈尔滨市南岗区·调研)在中，，，点在边上，连接，若，则的面积为______．
【答案】或/或
【分析】过点作交于点，由勾股定理和等腰三角形的性质得，分类讨论：当点在点左边时，当点在点右边时，求解即可．
【详解】解：过点作交于点，
，
，
，
当点在点左边时，如图
，
，
；
当点在点右边时，如图
，
；
综上，的面积为或．
2．(2026·福建晋江·一模)如图，在中，，垂足为．求的长．
【答案】
【分析】根据含30度角性质求出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
■考点六 勾股定理及其逆定理
◇典例6：(2026·安徽省“皖西优+”·一模)如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
◆变式训练
1．(2025·广东省广州市第七中学东山学校·二模)三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5，
又∵，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5，
∴此三角形的外接圆半径是．
故答案为．
2．(2026·重庆大渡口区·一模)如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是．
(1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？
【答案】(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区
(2)
【分析】本题考查行程问题，方向角；
（1）求出当台风中心移动到距 时，轮船是否通过点即可判断；
（2）分别确定轮船停止和重新开始移动时台风中心的位置，根据台风中心移动的时间就是停止时间求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
方法一：
设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，，
∵，
∴，
整理得，
解得，
当时，，此时轮船还没有经过，
∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
方法二：当台风中心移动到距 时，移动时间小时，
此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区，
∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
（2）解：如图，取点、，使，
当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时；
轮船从点运动到点用时（小时），
设台风中心小时从移动到，则，
∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响，
∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，，
∴轮船停止航行时间为（小时），
∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时．
A 基础达标练
1．(2025·山东省潍坊市·中考)如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较．
设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出．
【详解】解：设的长度为a，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
同理可得，和是等边三角形，设的边长为m，
∴，，
∴；
如图所示，延长与，交于点I（如图），
同理可得，是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
综上所述，．
故选：D．
2．(2025·西藏·中考)如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形的外角性质，得：，
∴．
故选：C．
3．(2026·广东佛山·一模)如图，等腰的顶角，将绕点A逆时针旋转，的对应边恰好经过点C，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，再求出即可．
【详解】解：∵等腰的顶角，
∴；
由旋转得，，
∴，
∴，
∴旋转角的度数为．
4．(2026·安徽·一模)如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（ ）
A．直线是线段的垂直平分线 B．
C．是等边三角形 D．
【答案】D
【分析】由三线合一即可判断A；利用等边对等角得，，则，即可判断B；证明且，即可证得是等边三角形；从而判断C；证明，则，，即可判断D选项．
【详解】解：∵是等腰三角形，，
∴直线是线段的垂直平分线，故A正确；
如图所示，连接，
，，
，
，
，
，，
，故B正确，
，
，
，
，
，
是等边三角形．故C正确；
如图，在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，故D错误．
5．(2026·广西南宁市青秀区·一模)如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则______．
【答案】
【分析】由旋转的性质得出，，从而得到，再求出，结合求出，由三角形内角和定理求得度数，作于点F，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．
【详解】解：由旋转的性质得：、、，
，
，
，
∴，
，
，
如图，作于点F，
在中，、，
，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
6．(2026·四川南充市仪陇县·一模)如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】设，则，利用勾股定理列出与的函数关系式，进而求最值即可.
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∵矩形中，
∴，
∵，
∴开口向上，
∵，
∴当时，最小，此时最小，最小值为.
7．(2026·上海市浦东新区·一模)如图，在中，，D是的重心，若，，则______．
【答案】/
【分析】本题考查勾股定理、三角形的重心，直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
延长交于，根据勾股定理可得，根据三角形的重心可得，根据直角三角形的中线性质得到，进而得到．
【详解】解：延长交于，如图，
，，，
点是的重心，
为斜边上的中线，，
，
，
故答案为：．
8．(2025·广东·三模)如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物．
(1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长．
【答案】(1)见解析
(2)最短矩离的长为
【分析】本题考查的知识点是尺规作图—垂直平分线、勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用．
（1）点即为侧面展开图中长的垂直平分线与长的交点，作垂直平分线找到点后，连接即可；
（2）结合勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求．
（2）解：由题意知，，，，
在中，．
答：蚂蚁爬行的最短矩离的长为．
B 强化提升练
9．(2026·内蒙古呼和浩特市敬业学校·一模)如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)如图，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点．
①求证：；
②，；求的面积．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，根据等腰三角形的性质可得．结合直角三角形的性质，可计算得，因此；
（2）①由旋转的性质可得，，，，由可得，由等腰三角形的性质可得，结合等角的补角相等得．由，通过等量代换可得，从而证明；
②作于点，使用勾股定理计算出，容易证明，从而计算出，，结合等腰三角形的性质可得．由旋转的性质可得，，，从而证明，则，代入计算即可．
【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①证明：由旋转的性质可得，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
②解：如图，作于点，
在直角中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由旋转的性质可知，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
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