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2025-2026学年福建省泉州市丰泽区现代中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“翻开九年级上册数学课本，恰好翻到第10页”，这个事件是( )
A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 确定事件
2.下列式子中运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
4.已知实数a、b满足，则的值为( )
A. B. C. D.
5.下列各式与是同类二次根式的( )
A. B. C. D.
6.如图，，，，则DE的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.在中，，，，则的正切值为( )
A. B. C. D.
8.已知二次函数为常数的图象经过点，则，的大小关系是( )
A. B. C. D. 与m的值有关
9.智能汽车M9销售火爆.某4S店10月份销售100台，11月、12月份共销售264台.设该款汽车11月、12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意列出的方程是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知是一元二次方程的实数根，，设，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.当x ______时，二次根式有意义．
12.二次函数的顶点坐标为______.
13.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度为1：，则坡角的度数为 .
14.如图，在中，D，E分别是AB，AC边上的点，若，则的面积与的面积的比是 .
15.如图，所示的电器中，当随机闭合开关，，中的两个时，灯泡能发光的概率为 .
16.如图，在中，，，P为AC边上的一个动点不与A、C重合，连接BP，则的最小值是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
计算：
18.本小题8分
解方程：
19.本小题8分
已知关于x的一元二次方程
求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根.
若此方程的两实数根，满足，求实数m的值.
20.本小题8分
如图，，，，求AC的长度.
21.本小题8分
今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映.小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：A《南京照相馆》、B《东极岛》、C《731》.现将这3张卡片卡片的形状、大小、质地都相同放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率：
第一次抽取的卡片不是《731》的概率为______；
求抽取的两次结果都不是《731》的概率？请用树状图或列表等方法说明理由
22.本小题10分
已知，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度．
画出向左平移4个单位长度得到的，点的坐标是______；
以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为2：1，点的坐标是______；画出图形
的面积是______平方单位．
23.本小题10分
为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为BC，遮阳篷AB长为5m，与水平面的夹角为结果精确到，参考数据：，，
求点A到墙面BC的距离.
当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，测得影长CD为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度
24.本小题12分
在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”.函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”.例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，函数的“最优纵横值”为根据定义，解答下列问题：
点的“纵横值”为______；
若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求b、c的值；
若二次函数的顶点在，当时，求该二次函数的纵横值的范围.
25.本小题14分
在正方形ABCD中，点F是对角线BD的中点，点G为BC边上一点，连接在DG上取一点E，连接CE，若
①求的大小；
②求证：
若，且，，，求CE的长.
参考答案
一、选择题
1.B
2.C
3.B
4.A
5.A
6.C
7.A
8.A
9.B
10.C
二、填空题
11.
12.
13.
14.4：9
15.
16.
三、解答题
17.解：
18.解：，
，
，
则或，
所以，
19.证明：关于x的一元二次方程，
，
，
，
对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
解：，
，
，
，
，
，
实数m的值为
20.解：，，
∽，
，
，，，
，
的长是
21由题意可得：第一次抽取的卡片不是《731》的概率为：，
故答案为：；
从3张卡片中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，作树状图如下：
由上可得，共有6种等可能的结果，两次结果都不是《731》的有2种，
抽取的两次结果都不是《731》的概率为
22.解：如图，即为所求，点的坐标是，
故答案为：；
如图所示，即为所求，点的坐标是，
故答案为：；
的面积，
故答案为：10；
23.解：如图②，遮阳篷AB长为5m，与水平面的夹角为过点A作于点F，
，
在中，，
点A到墙面BC的距离约为；
如图③，，过点A作，垂足为G，
由题意，得，
在中，，
，
在中，，
，
遮阳篷靠墙端距离地面的高度BC约为
24.解：根据定义可知点的“纵横值”为，
故答案为：8；
由题可知对称轴为直线，
，
，
，
当时，其最大值为，
故，
解得，
综上，，；
二次函数的顶点为，
，
解得，
，
，
，
当时，为最大值，
当时，为最小值，
，
故二次函数的纵横值的范围为
25.解：①解：四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
；
②证明：，
，
如图，过点B作DH的垂线交AD延长线于点H，连接HF，CF，
，
为等腰直角三角形，
，
在等腰直角三角形DBC中，点F为AB中点，
为等腰直角三角形，
，
为直角三角形，点F为DB中点，
，
，，
又，
，
，
∽，
，
即；
如图，过点B作GD的平行线交EF的延长线于I，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
点F为BD中点，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
即，

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