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2025-2026学年四川省成都市崇州市江源中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.用配方法解方程，则配方正确的是( )
A. B. C. D.
3.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是
A. B. C. D.
5.如图，把一块含有角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果，那么的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.一元二次方程的一个根为2，则p的值为( )
A. 1 B. 2 C. D.
7.2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为x，可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在长20米，宽12米的矩形ABCD空地中，修建4条宽度相等且都与矩形的各边垂直的小路，4条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的2倍，小路的总面积是40平方米，若设小路的宽是x米，根据题意列方程，正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.已知菱形的两条对角线长分别为8cm、10cm，则它的边长为______
10.三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是______.
11.如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分．谁先累积到10分，谁就获胜．你认为______获胜的可能性更大．
12.若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______.
13.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点处，，则的度数为______.
14.一元二次方程的两个根分别是m和n，则的值为______.
15.从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为______.
16.如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E、F；
②作直线EF交BC于点G，连接AG；
若，，则AD的长为______.
17.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，，，H是AF的中点，那么CH的长为
18.如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将沿直线EF折叠，点A落在点处．在EF上任取一点G，连接GC，，，则的周长的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题12分
解下列方程：
配方法
公式法
20.本小题8分
中国共产党第二十次全国代表大会于10月16日至22日在北京举行，这是一次具有里程碑意义的大会，必将对中国和世界产生深远影响，某校积极组织学生学习二十大相关会议精神，并组织了二十大知识问答赛，将比赛结果分为A，B，C，D四个等级，根据如下不完整的统计图解答下列问题：
求该校参加知识问答赛的学生人数；
求扇形统计图中C级所对应的圆心角的度数；
现准备从结果为A级的4人两男两女中随机抽取两名同学参加二十大宣讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生参加宣讲活动的概率.
21.本小题8分
如图，在中，，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点
求证：四边形ADCE是矩形；
若，，求矩形ADCE对角线的长．
22.本小题10分
已知，是关于x的一元二次方程的两实数根．
求m的取值范围；
已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求m的值和的周长．
23.本小题10分
如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别交于点A，B， ABCD的顶点C的坐标为
求点D的坐标；
直线l经过AD的中点M，与直线交于点点N在x轴下方，且的面积为，求直线l的解析式；
在的条件下，若点Q为y轴上的动点，则在x轴上是否存在点P，使以点C，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
24.本小题8分
2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件.
若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
25.本小题10分
如图，在中，，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且
四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
当的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
26.本小题12分
在中，，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转，得线段
如图1，若，连接AE，求证：；
如图2，若，连接CE，作的中线BM，用等式表示线段BM，AC，CD之间的数量关系，并证明你的结论；
如图3，在的条件下，若，，，求BM的长.
参考答案
一、选择题
1.C
2.A
3.D
4.B
5.B
6.C
7.D
8.B
二、填空题
9.
10.24或
11.甲
12.，且
13.
14.19
15.
16.
17.
18.
三、解答题
19.解：，
，
，
，
，；
，，，
，
，
，
20.解：该校参加知识问答赛的学生人数为人；
等级人数为人，
扇形统计图中C级所对应的圆心角的度数为；
由题意可得，树状图如图所示，
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生参加宣讲活动的有8种结果，
所以恰好抽到一名男生和一名女生参加宣讲活动的概率为
21.证明：四边形ABDE是平行四边形，
，
又，
，D为BC中点，
，
又为BC中点，
，
四边形AECD是平行四边形，
又，
四边形ADCE是矩形．
解：四边形ADCE是矩形，
，
为等边三角形，
，
故
22.解：根据题意得，解得；
①当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
②当7为等腰三角形的底边时，则，所以，
方程化为，解得，则，故舍去，
综上所述，m的值是4，这个三角形的周长为
23.解：直线与y轴和x轴分别交于点A，B，则点A、B的坐标分别为：、，
则，
即点；
点M是AD的中点，则点，则，
设点，
则的面积，
解得：，
则点，
设直线l的表达式为：，
将点M的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线l的表达式为：；
存在，理由：
设点、点，
当CN为对角线时，
由中点坐标公式得：，即，
则点；
当CP或CQ为对角线时，
同理可得：或，
则，
即点或；
综上，点P的坐标为：或或
24.解：设月平均增长率是x，
根据题意得：，
解：，不合题意，舍去
答：月平均增长率是；
设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：售价应降低20元．
25.解：四边形ACEF是平行四边形；
垂直平分BC，
为BC的中点，，
又，
，
为AB中点，
是的中位线．
，
，
中，CE是斜边AB的中线，
又，
四边形ACEF是平行四边形；
当时，四边形ACEF为菱形；
理由：，，
，
由知，
又四边形ACEF为平行四边形
四边形ACEF为菱形；
四边形ACEF不可能是正方形，
，
，
即，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形．
26.证明：将BD绕点B逆时针旋转得线段
，，
又，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
证明如下：
如图，延长CB使
是的中线，
，
是的中位线，
，
将BD绕点B逆时针旋转得线段
，，
，即，
又，
，
，即，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
情况一：设AB与FE的交点为G，过B点作于H点．
，，
，
又，，
，
设则，则，解得负值舍，
，
，
，
若，
，由知≌，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
由知
情况二：当BM在BD右侧时，过点E作交CB的延长线于T，
，
则，
，
是CE中点，
是的中位线，
，
综上，或

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