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2025-2026学年陕西省西安市临潼区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.已知是关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，已知点关于原点中心对称后得到点B，则点B的坐标是( )
A. B. C. D.
5.已知是关于x的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是( )
A. B. C. 1 D. 2
6.如图，在中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上.连接AB，AC和BC，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到，当点落在边BC上时，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是( )
A. 定价70元时，利润为6000元 B. 定价元时，利润为6105元
C. 降价3元，能使所获利润最大 D. 涨价5元，能使所获利润最大
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.关于x的一元二次方程的解为 .
10.在学习了图形的对称性后，小明用小棒摆成如图所示的一系列具有对称性的图案，其中图形①用了3根小棒，图形②用了5根小棒，图形③用了7根小棒，…，按照这样的规律摆放，图形⑥需要用 根小棒.
11.今年双十一购物节期间，某商店为了促销，决定下调某款服装的价格，已知经过两次降价后，每件服装的价格由125元降到80元，则这款服装平均每次降价的百分率为 .
12.如图，在中，直径AB与弦CD相交，连接AC，若，则 .
13.已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 m 3 …
①当时，y随x增大而增大；②抛物线的开口向上；③；④当时，x的取值范围是以上结论正确的有 个.
14.如图，在菱形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O，点E是对角线AC上的一个动点，连结BE，将BE绕点B按逆时针方向旋转，得到BF，连接OF，则OF的最小值是 .
三、解答题：本题共12小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题5分
解方程：
16.本小题5分
如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为点E，F，点E落在BA上，连接若，求的度数.
17.本小题5分
已知抛物线的图象经过点求a的值及函数图象的顶点坐标.
18.本小题5分
如图，四边形ABCD是的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，，求证：是等腰三角形．
19.本小题5分
方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为
以原点O为对称中心，画出与关于原点O对称的；
再画出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形，并写出点的坐标.
20.本小题5分
张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形.他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路.已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度.
21.本小题6分
如图，CD是的直径，延长DC至点A，连接点A与上另一点E，EA交于点B，连接EO，则有，若，求的度数.
22.本小题7分
已知关于x的一元二次方程有实数根.
求k的取值范围；
若方程有一个根为，求k的值及另一个根.
23.本小题7分
如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD向点D运动，同时点O从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向终点C运动，当点Q到达终点C时，点P、Q同时停止运动，连接当的面积为225时，求点P运动的时间.
24.本小题8分
如图，点A、B、D、C都在圆上，AB是的直径，交BC于点且
求证：；
若，，求
25.本小题8分
在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度OA为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为2米.
求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式.
若校方规定：投掷实心球的距离不小于8米时，成绩记为满分.请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由.
26.本小题12分
若和均为等边三角形，M，N分别是边BE，CD的中点.
当绕A点旋转到如图1的位置时，则有CD______ BE；在“>”“<”或“=”中选择一个填入
在中的条件下，判断是否为等边三角形，并说明理由；
如图2，当，，时，求AM的长.
参考答案
一、选择题
1.D
2.C
3.D
4.A
5.A
6.C
7.B
8.C
二、填空题
9.，
10.13
11.
12.
13.3
14.
三、解答题
15.解：，
，
或，
，
16.解：在中，，，
，，
17解：由题意，抛物线的图象经过点，
抛物线为
函数图象的顶点坐标为
18.证明：四边形ABCD是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
19.如图，即为所求；
如图，即为所求，点的坐标
20.解：设道路的宽度为x米．后院是一个长20米，宽12米的矩形，
，舍去，
答：道路的宽度为2米．
21.解：连结OB，如图，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得
22.解：关于x的一元二次方程有实数根，
则有，且，
解得且；
若方程有一个根为，
则有，解得，
即该方程为，
整理可得，
，
解得，，
该方程的另一个根为
23.解：四边形ABCD是矩形，，
，，，
设点P运动的时间为x秒，则，，
，
解得，
点Q以每秒3个单位长度的速度沿DC向终点C运动，，
，
舍去．
当的面积为225时，点P运动的时间为5秒．
24.证明：，
，
；
解：，，
，，
，，
，
又，
，
，
又，
，
25.解：由题意可设，
将代入，得，
，
小康这次的成绩不能得到满分．
理由：当时，，
小康投掷实心球的成绩小于8米，
不能得到满分．
26.解：和均为等边三角形，
，，，
，，
，
≌，
，
故答案为：=；
是等边三角形；
理由：≌，
，
、N分别是BE、CD的中点，
，，
又，
≌，
，，
，
是等边三角形；
作于点F，
在中，，，
，
是BE中点，作于点H，
，，
取AB中点P，连接MP，则，，
，，
在中，，
，
在中，

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