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数学学科诊断性评价
一、单选题
1. 下列关于等式变形的说法中，正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C 若，则 D. 若，则
2. 根据下面表格中的信息，判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （ ）
A. B. C. D.
4. 关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围（ ）
A. B. 且 C. 且 D.
5. 市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重为8 吨的卡车5辆、10吨的卡车7辆，该工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备再购买这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则购买方案有（　）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
6. 不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，曲线表示一只风筝离地面的高度随飞行时间变化而变化的情况，则下列说法错误的是（ ）
A. 风筝最初的高度为
B. 时风筝的高度和时风筝的高度相同
C. 时风筝的高度最高，为
D. 到之间，风筝的高度持续上升
8. 如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
9. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ）
A. B. 2 C. D.
二、填空题
11. 函数中自变量x的取值范围是___________．
12. 已知方程有一个根是，则代数的值为_____．
13. 对于两个不相等的实数，，规定表示，中较大的数，例如．则方程的解为__________________．
14. 如图，将一个边长分别为4，8的矩形纸片折叠，使点与点重合（，），则折痕的长度为______．
15. 如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点P、N分别在边上，点Q、M在上，那么矩形的周长为________．
16. 已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论：
①该函数图象经过点；
②若，则当时，随的增大而减小；
③该函数图象与轴有两个不同的公共点；
④若，则关于方程有一个根大于0且小于1；
⑤若，则关于的方程的正数根只有一个．
其中正确的是_____（填写序号）
三、解答题
17. 先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数作为a的值代入求值．
18. 已知：用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出，的值；
（3）若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若满足，求a的值．
20. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知．
（1）求的度数；
（2）求景点C与景点D之间距离．（结果保留根号）
21. 如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
22. 如图，双曲线与直线交于，，直线交轴于点，交轴于点．
（1）求双曲线与直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线保留作图痕迹，不写作法，交直线于点，交双曲线于点．求出线段的长．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，经过、两点的抛物线与轴的正半轴相交于点．
（1）求、值；
（2）求的面积；
（3）若点为直线上一动点，将点向右平移个单位长度，得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
24. 如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点．
（1）求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明）
（2）求证：．
（3）若，直接写出的值（用含的式子表示）．
数学学科诊断性评价（3）
一、单选题
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】B
二、填空题
【11题答案】
【答案】且
【12题答案】
【答案】2024
【13题答案】
【答案】，
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】20
【16题答案】
【答案】①②④⑤
三、解答题
【17题答案】
【答案】，1
【18题答案】
【答案】（1）辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨；
（2）有3种租车方案：方案一：型车9辆，型车1辆；方案二：型车5辆，型车4辆；方案三：型车1辆，型车7辆；
（3）租型车1辆，型车7辆，最少租车费为元．
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【21题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【22题答案】
【答案】（1）双曲线的解析式为；直线的解析式为
（2）不等式的解集为或
（3）线段的长为
【23题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）或.
【24题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）

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