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第4章 平行四边形 单元测试（基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4．用反证法证明：中，，则，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
5．“俄罗斯方块”是一种早期的电子游戏，核心玩法是在方格场地中，操控7种积木（每个占四个格子）通过平移、旋转并堆叠（积木与积木之间不能重合，没有缝隙），填满整行即可消除该行从而得分，积木堆到顶端则游戏结束．例如：下图①中，将上方“长方形”积木，向下平移4个格子，就可以消除“第1行”从而得分．那么当如图②中最上方积木通过怎样的运动可以同时消除“第1行和第2行”（ ）
A．向下平移3格
B．以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
C．以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格
D．以格子为旋转中心，按顺时针方向旋转90°，再向下平移2格
6．如图，小张想估测被池塘隔开的两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出的中点，并步测出的长约为，由此估测之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，已知，将绕点顺时针旋转到的位置，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（ ）
A．9 B．6 C．10 D．7
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____．
12．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为______．
13．用反证法证明“若，则不是直角三角形”第一步应假设___________．
14．E、F为边上的点，与相交于点P，、相交于点Q，若，则阴影部分的面积为___________．
15．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为________米．
16．如图，在中，对角线与相交于点，且．若点是边的中点，，则的长为___________
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)画出关于原点O的中心对称图形；
(2)将绕点顺时针旋转得到，画出；
18．如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转恰好得到，其中，是对应点，若，求的度数．
19．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：．
20．如图，在四边形中，，．
(1)当时，求的度数．
(2)的平分线交于点E，当时，求的度数．
21．将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形．
(1)在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有__________，是中心对称图形有________
(2)设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是_______，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是_________，则花瓣图形仅是轴对称图形
(3)根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么对称图形：
①九瓣图形是_______________ ②十二瓣图形是_______________
22．如图，四边形的对角线和的长分别为4和6，，，，分别是，，，的中点．求四边形的周长．
23．（1）如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P．
①求证：．
②连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（2）将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
24．如图
(1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ．
(2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________．
(3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证：
(4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______．
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《第4章 平行四边形 单元测试（基础卷）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B C C B B B B A
1．C
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】根据求解即可．
【详解】解：根据题意，得，，
故．
3．B
【分析】本题考查了对角线分成的三角形个数问题，利用n边形从一个顶点出发的所有对角线可将多边形分成个三角形的规律，列方程求解多边形的边数即可．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
∵该多边形被分成4个三角形
∴，
解得，
∴这个多边形是六边形，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查反证法：反证法的第一步是假设结论的否定．
【详解】解：∵结论是，
∴反证法第一步应假设．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查图形的旋转和平移，读懂题意，根据旋转和平移的知识即可解答．
【详解】解：根据题意需以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格，可以同时消除“第1行和第2行”，
故选C．
6．B
【分析】本题考查了三角形中位线定理．
证明是的中位线，进而作答即可．
【详解】分别是的中点，
是的中位线，
．
故选B．
7．B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，将绕点A顺时针旋转得到的位置，依据旋转的性质即可得解．
【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴旋转角，
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查中位线的性质，平移的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．由中位线的性质可得，，进一步可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵M是边的中点，P是边的中点，
∴是的中位线
∴，，
故选：B
9．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征知识点，掌握平行四边形对角线互相平分和关于原点对称的点的坐标变化规律是解题的关键．
根据平行四边形对角线互相平分的性质，利用关于原点对称的点的坐标特征求出的坐标，再判断选项是否符合题意．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，且其对角线相交于原点
∴点与点关于原点对称
∵点的坐标是
∴点的坐标是 ．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理，证明四边形是菱形是解题的关键．
连接、，设交于点，根据题意证明四边形是菱形，从而得出的长，再根据勾股定理即可得出结果．
【详解】解：如图，连接、，设交于点，
由题意可知，是的角平分线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
以为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，
又∵，
四边形是菱形，
，，，
，
，
．
故选：A．
11．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到的度数，再由角的和差关系可得答案．
【详解】解：由旋转的性质可得，
∴，
故答案为：．
12．12
【分析】此题考查了多边形的外角和，由每个外角都是，三角形外角和为即可求出多边形的边数．
【详解】解：∵一个正多边形的每个外角都是，外角和为，
∴多边形的边数为，
故答案为：12．
13．是直角三角形
【分析】本题考查了反证法，正确理解反证法的意义及步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可．
【详解】解：用反证法证明“若，则不是直角三角形”第一步应假设“是直角三角形”．
故答案为：是直角三角形．
14．
【分析】本题综合性较强，考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，构造同底等高的三角形．作出辅助线，因为与同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．
【详解】解：如图：连接，
与同底等高，
，
即，
即，
同理可得，
阴影部分的面积为
故答案为：
15．84
【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键．利用三角形中位线定理即可求得．
【详解】解：∵M、N是、的中点，
∴，
又米，
∴米，
即A、B间的距离约为84米，
故答案为：84．
16．
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．利用勾股定理求出再利用三角形中位线定理求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，．
，
．
，
．
故答案为：．
17．(1)作图见详解
(2)作图见详解
【分析】本题主要考查了作图旋转变换，中心对称的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质即可画出；
（2）根据旋转的性质即可画出；
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
18．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的三要素．
由旋转得到旋转角，再由角度和差计算求解．
【详解】解：∵把绕点A逆时针旋转恰好得到，
∴，
∵，
∴．
19．见解析
【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据四边形的内角和是，可得，再由即可求出结果；
（2）根据可得，，再利用平分，可求，最后根据三角形的内角和即可求出结果．
【详解】（1）解：，，
，
∵四边形的内角和是，
，
又，
，
．
（2）解：平分，
，
又，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、四边形和三角形的内角和及角平分线的定义，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解决问题的关键．
21．(1)A、B、C、D、E；A、C、E
(2)偶数；奇数
(3)轴对称图形，轴对称图形和中心对称图形
【分析】本题主要属于轴对称图形与中心对称的图形的问题，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键；
（1）轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可回答第一问；
（2）通过第一问所填的轴对称图形和中心对称图形，便可发现“花瓣”的个数与其是什么图形的关系；
（3）根据（2）发现的规律回答第三问．
【详解】（1）A，B，C，D，E的图形具有沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合的特点；A，C，E的图形具有绕某一点旋转度后的图形，能和原图形完全重合的特点，
∴A，B，C，D，E的图形是轴对称图形，A，C，E的图形是中心对称图形．
（2）轴对称图形A，B，C，D，E中，花瓣的个数分别为，，，，；中心对称图形A，C，E中，花瓣的个数分别为，，，“花瓣”在圆中均匀分布时，“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律：当花瓣是偶数个，则是中心对称图形也是轴对称图形；若花瓣是奇数个，则是轴对称图形．
（3）九瓣图形是轴对称图形；十二瓣图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
22．
【分析】本题考查了三角形中位线定理，中点四边形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
利用三角形中位线定理，推导中点四边形各边与原四边形对角线的数量关系，再计算周长．
【详解】解：，，，分别是，，，的中点，
，，
四边形的周长是．
23．（1）①见详解；②，证明见详解（2），证明见详解
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
（1）①由与都是等腰直角三角形，证明，可得，再利用三角形的内角和定理证明即可；
②在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论；
（2）在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论．
【详解】（1）①证明：∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
②解：结论：，
理由：在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（2）解：结论：
理由：在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
24．(1)2
(2)12
(3)见解析
(4)1
【分析】（1）根据平行四边形的性质求出长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出长，即可解答；
（2）由（1）得出，然后根据平行四边形的性质求出长，根据线段间的和差关系求出和的长度之和，从而求出的周长；
（3）根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出结合，则可得出；
（4）由（3）求出和的长，结合，利用线段间的和差关系即可解答．
本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分交边于点E，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分交边于点E，
∴，
∴
同理，
∴，
∴的周长．
故答案为：12．
（3）证明：∵在中，，
．
又∵是的平分线
∴，
同理可得
∵
；
（4）解：由（3）可得，．
∵
故答案为1．
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