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2026年安徽省合肥一中湖滨校区高考数学模拟试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.的解集为( )
A. B.
C. ， D.
3.记等差数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线：的焦点为，准线为，为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知钝角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是( )
A. 的一个周期为 B.
C. D.
7.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关说法正确的是( )
A. 设随机变量服从正态分布，若，则
B. 若随机变量，则
C. 直线的一个方向向量为
D. 双曲线的离心率为
10.如图，在直三棱柱中，，，点、、、分别是、、、的中点，则( )
A. 、、、四点共面
B. 线段为直三棱柱外接球的直径
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与所成角余弦值为
11.若，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期是
B. 的对称轴方程为，
C. 存在实数，使得对任意的，都存在且，满足，
D. 若函数，，是实常数，有奇数个零点，，，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 ．
13.已知，若存在使得，则的最大值为 ．
14.已知实数，满足且，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响．
求智能语音客服的回答被采纳的概率；
在某次测试中输入了个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列、数学期望和方差．
16.本小题分
记数列的前项和为，已知．
求的通项公式；
设，记数列的前项和为，若，，求的取值范围．
17.本小题分
如图，三棱台中，平面，，，，，分别是棱，的中点．
证明：平面平面；
已知三棱台的体积大于，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，点满足记的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设曲线的左顶点为，动直线与曲线交于，两点．
设直线，的斜率分别为，，且满足，证明直线恒过定点；
若直线经过点，且，关于原点对称，是否存在直线，使得四边形的面积为？若存在，求出直线的条数；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，．
若，求的单调区间；
，成立，求实数的取值范围；
若，时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，，求证：．
参考答案
1.
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14.
15.解：设表示事件“智能语音客服的回答被采纳”，表示事件“语音输入的问题表达清晰”，
由题意可知，，
所以，
即智能语音客服的回答被采纳的概率为；
在某次测试中输入了个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，
则的所有可能取值为，，，，，且，
所以，
，
，
所以的分布列为：
根据二项分布的期望和方差公式可得：
．
16.解：因为数列的前项和为，，
所以，，两式相减可得：，
所以，，
又，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以；
由可得，
所以，
因为，，
所以的取值范围为．
17.解：证明：因为平面，平面，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
在三棱台中，，，
，分别是棱，的中点，
所以且相等，
所以，，，四点共面，
由知平面，平面，
所以，所以平面，
因为，平面，
所以，，
所以为平面与平面所成角，
设，点到平面的距离为，
由，
可得：，
所以，
所以或，
又因为，
所以，所以，
所以在中，，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：，
由椭圆的定义可知的轨迹是，为焦点的椭圆，
设的方程为
根据题意，解得，
的方程为；
如图，
证明：由，设直线：，，，
直线，的斜率分别为，，且满足，
联立，得．
，
，，
，
即．
化简可得：，解得：，则直线过定点．
满足题意的直线条数有两条，
证明如下：由题意可知直线的斜率不为，
设：，，，不妨令，，
联立，可得
，
四边形的面积为，
，
，代入可得，，
代入式可得，
，
即或，
令，则，
令，恒成立，，即在单调递增，
，，
由零点存在性定理可知：在上有唯一零点，
综上所述，满足题意的直线有两条．
19.解：，，
设，，
时，，在上单调递增，
则，在上单调递增；
时，，，，则在上单调递减．
则的增区间为，减区间为；
对恒成立，
，设，
，
时，时，，，
则在上单调递增，则，
在上单调递增，则成立；
时，由于在上单调递增，且，时，
，则存在唯一，使，且当时，，
则单调递减，，不符题意，舍去．
综上所述，，即的取值范围是；
证明：，
设，则，
设，则，
设，则，
当时，，，
，则在上单调递增，
，，
则存在唯一，使，
可得在上单调递减，在上单调递增，
，，，
则存在唯一与，使与，
且在单调递增，在单调递减，在单调递增，
，，
，，
，
则存在唯一，使，
且在上单调递增，在上单调递减：
当时，，，，则在上单调递增，
则，，则存在唯一，使，
当时，，，，
且在上单调递减，在上单调递减：
综上，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则，，，
，，则，，
则，则成立．
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