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江苏省苏北七市（徐、连、淮、宿、通、扬、泰）2026届高三第二次调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量与均为非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的所有极值的和为( )
A. B. C. D.
5.已知锐角满足，则( )
A. B. C. D.
6.随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中为产品工时递减速率现有一条工时递减速率为的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为( )
A. B. C. D.
7.已知，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知二面角的大小为，，，且，为内异于的任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据，，，，，的百分位数是，则( )
A. 该组数据的极差为
B. 该组数据的中位数为
C. 剔除该组数据中的后，剩下样本数据的平均数变小
D. 剔除该组数据中的后，剩下样本数据的方差变小
10.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为过的直线与交于，两点，过作的垂线，垂足为，与轴交于点，则( )
A. B.
C. 可能为锐角 D. ，，三点共线
11.已知函数则下列说法正确的是( )
A. 若为正数，，则
B. 若为正数，，则
C. 若，则函数有唯一零点
D. 若，则函数的零点个数为奇数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列中，，，求前项和的最小值为 ．
13.已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值 ．
14.已知双曲线的右焦点为，是右支上一点，关于原点和轴对称的点分别为，，，，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，已知，，．
求的值
证明：．
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
若曲线经过点，且在处的切线为证明：除切点外，曲线在直线的下方．
17.本小题分
某学校田径队有甲、乙等名运动员，现将这人平均分成，两组进行集训每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长．
求甲、乙两人同在组的概率
求甲在三天内至少担任一次组长的概率
记为连续两天至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望．
18.本小题分
一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面如图，在椭圆柱中，椭圆的长轴长为，短轴长为，，是椭圆上关于对称的两点，，是椭圆上关于对称的两点，且．
证明：平面
若，求直线与底面所成角的正弦值
求四面体的内切球半径的最小值．
19.本小题分
已知有穷等比数列的项数为，，公比将的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列，使得时，．
若，写出所有满足条件的
是否存在，使得对任意，都成立，并说明理由
从满足条件的所有数列中随机抽取一个，求抽到的为等比数列的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一，形如皆可
14.
15.解：，
，
则，所以，又由余弦定理得，，
所以，即，
则，所以，又，
则，所以由正弦定理得，
，
．
由，
，
．
又，故B．
16.解：，，
当时，，，
在上单调递增．
当时，，
，，
在上单调递减，在上单调递增．
，，
，，，
切线．
设，
，
，，
在上单调递增，在上单调递减，且，
且时，，即，
，
故除切点外，曲线在直线的下方．
17.解：总的分组方法为从人中选人组成组，共种
甲、乙同在组的情况：从剩下人中选人与甲、乙组成组，共种
因此，甲、乙同在组的概率为：
甲所在组有人，每天从本组选人当组长，故甲一天内当组长的概率为，
三天内“至少担任一次组长”的对立事件是“三天都没担任组长”，其概率为：
因此，甲三天内至少担任一次组长的概率为：
对组来说，连续两天担任队长的人数为，可取或
当时，表示连续两天由同一人担任队长，故概率为
故．
同理，对组来说，连续两天担任队长的人数为，可取或
故，．
而，可取，，
故分布列为
而．
18.证明：因为椭圆所在平面，
椭圆所在平面，所以，
而，、平面，，
因此平面．
解：分别过、作垂直于椭圆所在平面的直线，
交椭圆所在平面分别为、，
连接、、、和，
因此由椭圆所在平面椭圆所在平面知：
，所以．
在椭圆所在平面内，以为坐标原点，
椭圆的长轴、短轴所在直线分别为、轴，建立平面直角坐标系如下图：
因为椭圆的长轴长为，短轴长为，
所以椭圆的方程为．
因为当直线的斜率为时，，，不符合．
设直线的方程为，
由解得：或
因此．
因为，所以直线的方程为，
同理可得：．
因为，
所以，
结合，解得，
因此．
因为椭圆所在平面，椭圆所在平面，
所以且直线与底面所成角．
因为，，
因此，
所以在中，，
即直线与底面所成角的正弦值为．
解：由四面体的对称性知：
当四面体的体积最小时，四面体的内切球半径最小．
由知：当直线的方程为时，
，．
由知：平面，
因此四面体的体积
，
所以当，
即时，取得最大值，最大值为，
因此当时，取得最小值，．
当直线的斜率为时，，，
因此四面体的体积．
综上所述，当时，四面体的体积最小，．
当时，由知：，，
因此．
设四面体的内切球半径最小值为，
则由得：．
19.解：设，其中，，，为，，，的一个排列．
，
，且时，
，
．
当时，满足的排列有：，，，．
满足条件的共有个，分别为：，，，，，，，，．
存在理由如下：
，
即，排列中相邻两项的差不相等．
当为偶数时，令．
，，
恒成立．
相邻两差交替为，，，，，无相邻两差相等，满足条件．
当为奇数时，令．
，，，
恒成立．
相邻两差依次为，，，，，，无相邻两差相等，满足条件．
存在满足条件的
记满足的项排列的个数为．
设，
当时，，．
又排在第位，．
同理，，．
排列的后项固定为，，，．
前项为，，，的一个满足条件的排列，
排法有种规定．
，．
两式相减．
，．
若为等比数列，设公比为，
则，
为常数．
为，，，的排列，
或．
当时，，满足
当时，，满足．
满足条件的等比数列共有个．
．
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