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河南周口市部分学校2025-2026学年高三下学期3月份联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.已知命题，；命题，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.直线是曲线的一条切线，则( )
A. B. C. D.
4.某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据卫星每次过顶时，会发送个独立的数据包由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有的概率丢失收不到，有的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立随机变量表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则( )
A. B. C. D.
5.已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的偶函数，当且时，不等式恒成立，设，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，数表中的每一行从左至右均是等差数列，每一列从上至下也均是等差数列，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线，直线交于，两点，为上另一点，满足，为平面直角坐标系的原点若线段、、的中点分别为，，，则直线，，斜率的乘积为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知正方体的棱长为，则( )
A. 直线与所成夹角的余弦值为
B. 直线与所成夹角的余弦值为
C. 三棱锥的表面积为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
10.已知动点到点的距离与点到直线的距离相等，记动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，若，则( )
A. 曲线为抛物线 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.定义复数数列满足，其中为的共轭复数，且，则( )
A.
B.
C. 在复平面内对应的点随着的增大，将会越来越靠近一个定点
D. 在复平面内对应的点随着的增大，将不会越来越靠近一个定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平行四边形中，为的中点，若，则 ．
13.已知满足，则的最大值为 ．
14.随机抛一枚质地均匀的硬币次，定义数列满足：，记事件：对于任意，均有，且． ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩分成，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图．
估计样本成绩的平均数及方差；同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表
已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差．
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，、分别是、的中点．
证明：平面．
若，，求平面与平面所成二面角的正弦值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
证明：．
若，，，是边上的两个点，且，求的面积的最小值．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若关于的方程在上只有一个解，求的取值范围；
若和是的两个零点，证明：．
19.本小题分
已知椭圆，过椭圆上一点作曲线的切线，交轴于点，，分别是椭圆的左、右焦点，，分别为其左、右顶点．
证明：切线的方程为．
证明：为的外角平分线．
过点，分别作，，垂足分别为证明：，，，四点共圆．
参考答案
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15.解：由频率分布直方图得，
平均数，
方差
．
第一组的样本容量，，
第二组的样本容量，，
所以合并后的平均数，
则．

16.解：连接，如图所示，
因为四边形为正方形，所以，
因为底面，底面，所以，
因为、分别为、的中点，所以，则，，
因为，、平面，所以平面．
因为底面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
因为，所以，
故平面与平面所成二面角的正弦值为．

17.解：因为，
所以，即，
由正弦定理可得，
因为，即，所以，
所以，化简可得，
则，即，
所以或舍去
故成立；
若，则，，
因为，所以，，
设，则，
在中，，由正弦定理可得：
，即，
在中，，由正弦定理可得：
，即，
所以的面积为，
令，
则
因为，所以，
由余弦函数性质可知，
当，即时，有最大值为，
此时的面积有最小值为．

18.解：函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
方程，令，
依题意，函数在上只有一个零点，而，则函数在上无零点，
又当趋近于正无穷大时，，于是当时，恒成立，
当时，，令，
求导得，，，
函数在上单调递增，，因此；
当时，，求导得，
当时，，函数在上单调递增，，因此；
当时，，而函数的图象在上连续不断，
则存在，使得当时，，函数在上单调递减，
于是当时，与在时，恒成立矛盾，
所以的取值范围是．
方程在上有两个不等实根和，不妨设，
则，即，于是，
令，则，，即，因此，
，要证，即证，需证，
即证，令函数，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
，即，函数在上单调递增，，
因此恒成立，所以．

19.解：因为，则切线的斜率存在，且设为，
则切线方程为，
联立，则，
因为为切线，所以判别式，
整理得，
则切线方程为，又，
整理得切线的方程为．
由题意得，
当轴时，即时，不妨设点在第一象限，则，
所以直线的斜率，直线的斜率，
则直线与直线的夹角的正切值为，
又直线的斜率为，
所以直线与直线的夹角的正切值为，
所以为的外角平分线；
同理当轴时，即时，也为的外角平分线；
当时，直线的斜率，直线的斜率，
设的外角平分线的斜率为，则，
所以，整理得，
又，所以，解得或，
因为为的外角平分线的斜率，所以，
即的外角平分线的斜率与切线斜率相等，所以为的外角平分线，
综上，为的外角平分线．
由得直线的斜率，又，，
所以，又，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，即，
同理，联立，得，
则，
又，所以，
同理可得，
又，所以，
所以，，，四点共圆．

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