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2026年陕西省西安八十五中高考数学一模试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={3，8，10}，，则A∩B的真子集个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知复数，若z（2-i）是纯虚数，则实数a=（　　）
A. -1 B. 0 C. 2 D. 1
3.已知向量，若，则=（　　）
A. B. C. D.
4.已知，则cos（2α+2β）=（　　）
A. B. C. D.
5.随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为a和b,则直线y=ax+b与圆x2+y2=1有2个公共点的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{an}本身不是等差数列，但从数列{an}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{bn}（则称数列{an}为一阶等差数列），或者{bn}仍旧不是等差数列，但从数列{bn}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{cn}（则称数列{an}为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.根据以上定义，解决如下问题.已知数列{an}为二阶等差数列，a1=1，a2=2且，则a6=（　　）
A. 35 B. 36 C. 37 D. 38
7.已知奇函数f（x）对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x），且f（1）=2，则（　　）
A. f（2025）=-2 B. f（2026）=0
C. f（2024）=f（2025） D. f（2025）=f（2027）
8.已知实数m,n满足，则m-n的值为（　　）
A. -2 B. -1 C. 2 D. 1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知等比数列{an}的首项为4，公比为q,前n项和为Sn.若，则（　　）
A. B. S3=7 C. an+Sn=8 D. log2an=n-3
10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1，E为CC1的中点，F为线段A1B1上的动点，下列结论正确的是（　　）
A. AB1∥BE B. AC1⊥平面A1BC
C. 平面BFC⊥平面ACC1A1 D. 存在点F，使得C1F∥平面A1BE
11.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2B=1+cos2C，，△ABC的面积为1，则（　　）
A. bc=2 B.
C. cosC=cos（A-B） D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是偶函数，则a= .
13.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，，则C的离心率为 .
14.学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为；若他前1天选择了B套餐，则第2天选择了A套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择A套餐的概率为，在该同学第3天选择了A套餐的条件下，他第2天选择A套餐的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}中，a1=1，满足.
（1）证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式：
（2）设bn=log3（2an+1），Tn为数列的前n项和，求T2026.
16.(本小题15分)
随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据（xi，yi）（i=1，2， ，18），其中xi和yi分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得，.
（1）求样本（xi，yi）（i=1，2， ，18）的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额y（单位：万元）和月份编号x是否线性相关（当|r|≥0.75时，即可认为线性相关）；
（2）已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥E-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，AB∥DC，为正三角形，且平面BCE⊥平面ABCD.
（1）求证：BC⊥AE；
（2）求直线AB和平面ADE所成角的正弦值；
（3）设点P是三棱锥E-ABC外接球上一点，求点P到平面ADE距离的最大值.
18.(本小题17分)
已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，点P是C上的一个动点，当△PF1F2面积取得最大值时，∠PF1F2=60°.
（1）求C的方程；
（2）过点E（3，0）的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A1（A1与B不重合）.
（ⅰ）求证：直线A1B过定点；
（ⅱ）求△EA1B面积的最大值.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）求f（x）在（0，π）上的最大值；
（2）求证：恒成立；
（3）若都有f（x）＞ax3cosx恒成立，求a的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】BCD
11.【答案】AC
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】由数列{an}中，a1=1，满足，
可得an+1=3an+1，
则，
所以是以为首项，3为公比的等比数列．

16.【答案】0.96，具有很强的正相关性
X 0 1 2
P

17.【答案】证明：设O为BC的中点，连接AC，OA，OE，
由题得，
所以△ABC为正三角形，则OA⊥BC，OE⊥BC，OA∩OE=O，
所以BC⊥平面EOA，因为AE 平面EOA，
所以BC⊥AE
18.【答案】 （ⅰ）证明如下，
当过点E（3，0）的直线l不与x轴重合时，
设直线l为x=my+3（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l和椭圆方程可得，那么可得3（my+3）2+4y2=48，
整理得（3m2+4）y2+18my-21=0，
那么可得，
因为A1为点A关于x轴的对称点，因此A1（x1，-y1），因此，
因此直线A1B的方程为，
根据对称性，直线A1B所过定点一定在x轴上，
令y=0，那么可得
=
=，
因此直线A1B过定点；当过点E（3，0）的直线与x轴重合时，显然过点；综上所述：直线A1B过定点；（ⅱ）
19.【答案】 证明： x∈[0，+∞），sinx≤x，
令q（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），
则q′（x）=1-cosx≥0，
所以函数q（x）在[0，+∞）上单调递增，
故q（x）≥q（0）=0，即sinx≤x在[0，+∞）上恒成立．
又，
由sinx≤x（x≥0）知，，
所以，
即，得证
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