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2026届江苏省南京市、盐城市高三一模数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集U={1,2,3,4},集合A={1,a-2},A={3,4},则a=( )
A. 4 B. 5 C. 7 D. 9
2.已知向量=(0,1),=(2,x),若(-4),则x=( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3.已知a,bR,则“a+b>2”是“a>1且b>1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=x,且实轴长为2,则焦距为( )
A. B. 2 C. 2 D. 4
5.已知圆锥的轴截面是直角三角形,且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球O的球面上,则该圆锥与球O的体积之比为( )
A. B. C. D.
6.若等差数列{}的前n项和为,且=,则=( )
A. -2 B. - C. D. 2
7.设和表示坐标平面内的几何变换,表示将几何对象绕原点O逆时针旋转,表示将几何对象关于y轴对称,(k)表示连续k次变换.已知角的终边经过点(-2,1),若对角的终边先进行变换,再进行变换,得到角的终边,则=( )
A. -3 B. - C. D. 3
8.已知函数f(x)=(-kx+k-2)+(k-2),若存在<2,对于任意x(,2)都有f(x)<0,则实数k的取值范围是( )
A. (-,3) B. (-3,0) C. (0,3) D. (-3,+)
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z=a+bi,a,bR,且b0,下列说法正确的是( )
A. z-是纯虚数 B. 是实数
C. zi是虚数 D. 若|z|=1,则z+是实数
10.已知函数f(x)=(x)-|x|,则( )
A. f(x)的定义域为{x|-+2k< x<+2k,kZ}
B. f(x)是偶函数
C. f(x)在(0,)上单调递增
D. y=f(x)+有且仅有2个零点
11.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2A,三角形的面积为2,下列说法正确的是( )
A. abc=8 B. +
C. 当a最小时,A+AA=1 D. 当a=b时,A+B=C
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在直三棱柱ABC-中,已知AB=AC=3,BC==2,则异面直线AB与C所成角的余弦值为 .
13.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A,B,右焦点为F,线段BF的延长线与C交于点P,若PA=PO,则C的离心率为 .
14.设正整数n=++++,其中{0,1},i=0,1,2,,k.记(n)=+++.从集合{x|x2000}中随机抽取一个数n,则(n)3的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
为研究昼夜温差(单位:℃)与某植物种子当日的百粒发芽数(单位:粒)之间的关系,实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数,如下表所示:
日期编号i 1 2 3 4 5 6
温差 9 13 11 15 10 14
百粒发芽数 23 28 26 31 25 29
(1)根据表中的数据,计算样本相关系数(精确到);
(2)求百粒发芽数y关于温差x的经验回归方程,并估计昼夜温差为17℃时,这种植物种子当日的百粒发芽数.
参考公式:相关系数r=,=,=-.
参考数据:(-)(-)=34,=28,=42,.
16.(本小题12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PAD是等边三角形,底面ABCD是菱形,平面PAD平面ABCD,ADPB,O是AD的中点.
(1)证明:OB平面PAD;
(2)若AB=4,求点O到平面PBC的距离.
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=x(x-a),直线y=x-e与曲线y=f(x)相切.
(1)求实数a的值;
(2)若x=1是函数g(x)=f()-bf(x)的极大值点,求实数b的取值范围.
18.(本小题12分)
已知抛物线C:=2px(p>0)的焦点为F,C上的点P(4,t)(t>0)到F的距离为5.
(1)求p和t的值;
(2)A,B为C上两点,PAB的重心在直线y=-上.
证明:直线AB的斜率为定值;
设直线AB与x轴交于点Q,线段AB的中点为T,线段PQ的中点为R,过点P向直线TR作垂线,垂足为H.证明:点H在定圆上运动.
19.(本小题12分)
已知圆C:+=1,点(1,1),对于圆C上的点(,)(n),按照如下方式构造点:过点作直线垂直于y轴,垂足为,点满足=(为常数,),直线交C于点,其中O为坐标原点,点异于点O.
(1)若=3,求的坐标;
(2)证明:数列{-}为等比数列;
(3)已知P(2,0),设及的面积分别为,,若存在正整数m,n(m< n),使得(-)=(-),求所有可能的值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解:(1)相关系数r===.
(2)由题意得==12,==27,
所以== ,
=27-12=,
所以所求的经验回归方程是=x+,
x=17时, =17+=33,
故当昼夜温差为17时,这种植物种子当日百粒发芽数为33.
16.【答案】（1）证明：连接PO,
因为PAD是等边三角形,O 是AD中点,所以ADPO.
又因为ADPB,PO,PB平面POB, POPB=P, 所以AD平面POB.
因为OB平面POB,所以ADOB.
因为平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD,
OBAD,OB平面ABCD，所以 OB平面PAD.
（2）因为OB平面PAD,OP平面PAD,所以OBOP.
由(1)得OP、OB、AD两两垂直,故以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则P(0,0,2),B(0,2,0),C(-4,2,0),
=(0,2,-2),=(-4,0,0),=(0,0,2).
设平面PBC的法向量为=(x,y,z),
所以所以
所以 =(0,1,1)是平面PBC的一个法向量.
所以点O到平面PBC的距离d===.
17.【答案】解:(1)设直线y=x-e与曲线y=f(x)相切于(,(-a)),
因为f'(x)=1-a+x,所以切线斜率为f'()=1-a+,
所以1-a+=1,则=,所以切点为(,0),
又因为切点(,0)在直线y=x-e上,所以-e=0,
所以a=1.
(2)g(x)=f()-bf(x),则g'(x)=(4x-b)x.
当b0时,0< x<1,g'(x)<0,x>1,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,
所以x=1是g(x)的极小值点,不满足题意;
当0< b<4时,0< x<,g'(x)>0,< x<1,g'(x)<0,x>1,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,
所以x=1是g(x)的极小值点,不满足题意;
b=4时,x>0,g'(x)0,
所以g(x)在(0,+)上单调递增,
所以x=1不是g(x)的极值点,不满足题意;
当b>4时,0< x<1,g'(x)>0,1< x<,g'(x)<0,x>,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,在(,+)上单调递增,
所以x=1是g(x)的极大值点,满足题意,
综上,b的取值范围是(4,+).
18.【答案】(1)解：抛物线C:=2px的准线方程为x=-.
根据抛物线定义,|PF|=5=4+,所以p=2.
因此,抛物线C的方程为=4x.
将P(4,t)代入抛物线方程，可得=16,又t>0,
故t=4.
(2)证明：设A(,),B(,),
则PAB的重心为(,),
由题意知,=-，则+=-8，
所以直线AB的斜率为====-,为定值.
解：结合，不妨设直线AB方程为x=-2y+n，
与抛物线方程联立，消去x可得，则，
设T(，)为AB的中点，
则====n+8，==-4，
即T(n+8，-4).
直线AB与x轴交点Q(n，0)，P(4,4)，
则PQ中点R(，2).
由于Δ=64+16n>0，所以n>-4，所以n+120，
直线TR的斜率===，
直线TR的方程为y+4=(x-n-8)，
整理得：12x+(n+12)y-8n-48=0，
令x=-4，代入方程，解得y=8，
因此，直线TR经过定点N(-4，8).
因为P(4，4)，PHTR于H，
所以H在以PN为直径的定圆上.
19.【答案】(1)解：因为(1,1)，(0,1)，=3，
所以(3,1)，：y=x，
由或,
因此(,).
(2)证明：因为(,)，(0，)，=，
所以(，)，：y=x，
由，得或,
因此=，=，
因为+=1，即=-，
所以==,
因此-=(-)，
又-=0，所以-0,
因此=，
即数列{-}为等比数列.
(3)由(2)得-=，即=,
于是=-=,
注意到>0，因此=，
由(1，1)，(,)，
得：(-1)x-(-1)y+-=0，
因此===,
因为(-)=(-),
所以(-1)=(-1)，
即=,
设f(n)=，n3，nN*,
则f(n+1)-f(n)=,
因为，n3,
所以->-=-22>0,
所以f(n+1)>f(n)，即f(n)单调递增，
又f(m)=f(n)，m< n，所以m=1或2，
若m=1，则-1==f(n)，n2，
当n4时，f(n)=>-1,
因此n=2或3，
当n=2时，-1=，解得=3,
当n=3时，-1=，解得=，
若m=2，则==f(n)，n3，
当n4时，f(n)=>,
因此n=3，所以=，解得=(舍),
综上,=3或.
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