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山东枣庄市2026届高三第二次调研考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A. B. C. 37 D. 65
3.已知向量，若，则（ ）
A. B. 1 C. D. 6
4.在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（ ）
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
5.已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. 1 C. D.
6.已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，以正四面体的四个顶点为球心，以棱长为半径分别作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”．若正四面体的棱长为4，则（ ）
A. 此“勒洛四面体”外接球的体积是
B. 此“勒洛四面体”的内切球的半径是
C. 此“勒洛四面体”表面上交线弧的长度为
D. 过三点的截面面积是
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的是（）
A. 若同等容量且足够大的两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强
B. 数据的第60百分位数为6
C. 总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，总的样本方差为，则有
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此时推断犯错误的概率不大于0.001
10.已知函数，则（ ）
A. 是的极小值点 B. 有三个不同零点
C. 当时， D. 当时，
11.在锐角中，角的对边分别为，且．则（ ）
A. 的面积为 B.
C. 若，则 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过抛物线的焦点，且斜率为1的直线交于两点，则 ．
13.在中，已知，，，边上的两条中线相交于点，则 ．
14.已知，．则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设数列的前项和为，若．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，数列的前项和记为，求．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，为的中点，点为线段上的动点．
(1)求证：平面平面；
(2)记平面与平面的夹角为，求的取值范围．
17.(本小题15分)
某人工智能实验室要对一款新型学习智能体进行轮测试（每轮测试的结果相互独立），每轮测试中智能体会随机接受类与类任务中的一个．已知该智能体每轮成功完成类任务的概率均为，每轮成功完成类任务的概率均为．成功完成一次类任务得1分，成功完成一次类任务得2分，不成功均得0分．记智能体在第1轮测试后的得分为．
(1)求的分布列；
(2)记智能体经过2轮测试后的总得分为，求；
(3)每轮测试中智能体成功完成类或类任务就称为“过关”．记轮测试中智能体过关的次数为，求和．
18.(本小题17分)
已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，并且上的点到的最大距离是最小距离的3倍．
(1)求的方程；
(2)若点是上异于的任意一点，直线与分别交直线于两点．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若直线交于另一点，设点的纵坐标分别为，求证：．
19.(本小题17分)
已知．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个实数根，证明：；
(3)若方程有实根，设的最大值为，证明：．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】 /
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，
所以当时，，解得，
当时，，
所以，即.
所以，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，.
所以，
则，①
，②
①减去②，得：
所以.

16.【答案】解：（1）因为，为的中点，所以，
又平面平面，是交线，平面，
所以平面，因为平面，所以,
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
则，
设平面的法向量，则，
令，可得，
设平面的法向量，则，
令，可得，
则，
所以，当时，，即
当时，，由可得，
所以，
综上，可知，即的取值范围为.

17.【答案】解：（1）的可能取值为，
，
，，
所以分布列为：
0 1 2
（2）由（1），，,
所以.
（3）由题意，，
所以，
所以，,

18.【答案】解：（1）上的点到的最大距离为，最短距离为，又，则，
则，解得，故，
故的方程为；
（2）（ⅰ）设，则，又、，
则，，
分别令，可得，，
又，则，，
故；
（ⅱ）设，，
联立，消去得，
则，，则，
由（ⅰ）知，，
则，
故.

19.【答案】解：（1）因为，
所以，
切线方程为：，
即.
（2），即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，要证，即证，
因，在上单调递增，
故只需证，又，即证，
令，，
则，
当时，，所以，
所以在上单调递减，又，故，即，
得证.
（3）有实根，即有实根，的最大值为，
令，
当时，，
在上单调递减，当时，，，
所以，使得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以的极大值为；
当时，，，
令，则，
所以在上单调递减，，
即，在上单调递减；
综上，在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
因为在上单调递减，，，
所以，所以，
故.

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