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4.1《多边形》同步练习
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1．下列图形不是凸多边形的是（　　）
A． B． C． D．
2．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
3．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
5．下列关于四边形内角和与外角和的表述，错误的是（ ）
A．四边形的内角和与外角和相等
B．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补
C．四边形的外角和是
D．如果一个四边形的每个内角是，那么它的每个外角也是
6．如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为：
其中能证明其内角和的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，作平分线的反向延长线，现要分别以，，为内角作正多边形，且边长均为，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以为内角，可作出一个边长为的正方形，此时，而是（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图所示．图中的图案外轮廓周长是．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则________°.
12．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______．
13．从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°．
14．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加_____度．
15．若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______．
16．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为________米．
17．三个正方形连成如图图形，则_______°．
18．四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图的形状，点落在点处，点落在点D/处，若，，___________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）求下列图形中的值．
20．（8分）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少．
(1)求这个多边形的边数．
(2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和．
21．（10分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，是 ABC的三个外角．
求证：．
证法1：∵ ，
∴．
∴．
∵ ，
∴．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
22．（10分）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为．
(1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数；
(2)如图，分别平分，，，求的值．
23．（10分）如图，三角形是一个直角三角形．
(1)在左图中画出边上的高．
(2)三角形剪去一个直角后得到四边形（如图）．不测量，和的和是（ ）度．（填序号）
①90 ②180 ③270 ④360
(3)你是怎么想的？把你的想法写下来．
24．（12分）数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究．
(1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由；
(2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积．
参考答案
一、选择题
1．D
解：根据凸多边形的概念，可知图形不是凸多边形的是．
故选：D．
2．C
解：从边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该边形分成个三角形，
由题意可得，则．
3．A
∵边形内角和公式为，
∴五边形的内角和为，
∵五边形的每个内角都是，
∴，
解得：．
故选：A．
4．D
解：第一种情况：
当按照顶点的连线剪，此时得到的多边形的边数比原来的边数少，
，
解得：；
第二种情况：
当只过一个顶点剪，此时得到的多边形的边数和原来的边数相等，
解得：，
第三种情况：
当不经过顶点剪时，此时得到的多边形的边数比原来的边数多，
解得：，
∴原来多边形的边数为或者或者．
故选：D．
5．C
解：∵四边形内角和为，任意多边形外角和均为
∴A选项中四边形内角和与外角和相等，表述正确．
∵四边形内角和为，若一组对角互补（和为）
∴另一组对角和为，即另一组对角也互补，B选项表述正确．
∵任意四边形外角和为
∴C选项表述错误．
∵四边形内角与相邻外角互补，若每个内角是
∴每个外角为，D选项表述正确．
故选：C．
6．C
解：如图，延长交于点K，
∵多边形外角和为，对应的邻补角的和等于，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
7．A
解：在五边形中，内角和为，
∵，
，
∵、分别平分、，
，
在中，．
8．D
解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求；
对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求；
对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求；
对于，将一个四边形补全为三角形，，，，，
，符合要求；
综上所述，个图形中的辅助线均可证明．
9．C
解：∵，
∴所走的路程是：，
则所用时间是：．
10．C
解：设以为内角的正多边形的边数为，
则，
∴以为内角的正多边形的边数为，
由题意得，是整数，
∴是8的因数，
∴的值可能是3，4，6，10，
由题意得，图案外轮廓周长是，
当时，周长是；
当时，周长是；
当时，周长是；
当时，周长是；
∴当时，周长最大，此时图案定为会标，
∴会标的外轮廓周长是21．
故选：C．
二、填空题
11．18
正五边形的每个内角的度数为，正方形的每个内角等于90°，
，
故答案为：18．
12．3
解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为；
已知新多边形为五边形，即新边数为5；
因此，，解得；或；或，解得；
所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3；
故答案为：3
13．1080
解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
．
解得．
根据多边形内角和公式，得：
．
14．180
解：五边形的内角和为
将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6，
则，
∴内角和增加
故答案为：180．
15．5
解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为．
由多边形内角与相邻外角和为，得：
解得：
则外角为．
任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等，
该多边形边数为．
16．90
解：因为小明每次向右转的角度就是这个正多边形的外角，
已知每次向右转，且多边形的外角和是固定的．
设这个正多边形的边数为，可得，
即这个正多边形是九边形．
已知小明每次前进米，
可得该正多边形的周长米．
故答案为：．
17．
解：作图如右，延长正方形边长与分别交于点E、F、G，
∵∠A=60 ,∠ADE=40 ，
∴，
∴，
∵五边形内角和为，
∴∠NFE=136 ，
∴∠NFG=44 ，
∴，
∴∠CGB=29 ，
∵，
∴．
故答案为．
18．
解：如图所示，延长交于点，
，
，
由折叠性质可得，，
，
，
，
由折叠性质可得，，
，
，
故答案为：．
三、解答题
19．解：∵四边形的内角和为，
∴，解得．
20．（1）解：设这个多边形的边数是，
由题意得：，
解得，
答：这个多边形的边数是；
（2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了．
截完后所形成的新多边形的边数可能是或或，
①当多边形为四边形时，其内角和为；
②当多边形为五边形时，其内角和为；
③当多边形为六边形时，其内角和为；
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或．
21．证法一∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：，；
证法2：如图，过点 A 作射线，使．
∵，
∴．
∵，
∴．
22．（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，，
解得，
这个多边形的边数为5．
（2）解：四边形的内角和为，
，
，
又分别平分，，
∴，
，
．
23．（1）解：如图，即为边上的高
（2）解：③，理由如下
（3）解：根据三角形内角和定理可得，
因为，
所以，
因为四边形内角和为，
所以，
故选：③．
24．（1）连接，过点作于点
在中
∵
∴三角形为等腰三角形．
又∵
∴
∴在中
∴四边形四边为整数，面积为整数，是整数四边形．
（2）如图①：面积为72．
面积求解如下：
易证：
如图②：面积为54．
面积求解如下：
连接，过点作于，
设

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