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第2章《一元二次方程》单元测试卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．下列四个方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
3．若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．且
7．若是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．9
8．若，是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．2 D．4
9．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．“这么近，那么美，周末到河北！”河北省某市文旅计划在本市打造一个仿古美食街区域，布局如图所示，该区域长为米，宽为米，美食店铺的总面积为平方米，步行街道的宽相同．设步行街道的宽为米，可得方程，则下列说法正确的是（ ）
A．表示其中一排店铺的宽
B．“”处的内容为
C．“”处的内容为
D．的值为
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．当 时，关于的方程是一元二次方程．
12．方程的根是 ．
13．代数式的最小值为 ．
14．一元二次方程的根的判别式的值是 ．
15．已知是方程的一个根，则的值为 ．
16．已知，则 ．
17．如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程 ．
18．在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了 行．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解方程：
(1)； (2)．
20．（8分）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
(1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由．
(2)已知是关于的凤凰方程，求的值．
21．（10分）已知一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求的范围；
(2)若方程的两个实数根为，且，求的值．
22．（10分）如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面．
(1)若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？
(2)为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由．
23．（10分）我市“幸福之城”大型楼盘陆续交付，家装灯具销售商纷纷推出各类优惠政策．某灯具销售商通过大数据分析：成本为每个30元的台灯，当售价为70元时，平均每天售出20个．若售价每下降1元，每日销售量就增加2个．
(1)设售价下降元，请填空：
售价 70 65
利润 40 ___________
销售量 20 30 ___________
(2)为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在每台台灯盈利不少于25元的前提下，若预计日销售获利恰好为1200元，求每个台灯的售价．
24．（12分）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方：
；
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)【直接应用】，将代数式配方：______；
(2)【类比应用】已知，求的值；
(3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程．
B、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义．
C、分母含有未知数，是分式方程，不是一元二次方程．
D、整理后为，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程．
故选：B．
2．B
解：∵
∴
∴
∴或
解得，
故选：B．
3．B
解：∵ m是方程 的根，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
4．B
解：∵，
移项，得，
方程两边同时加，得，即．
故选：B．
5．C
与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程．
解：∵一元二次方程求根公式为 ，
给定根为，
∴，故，
，故，
又，
∴，代入，得，即，故，
因此方程为，
即，
故选：C．
6．D
解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
即，
解得：，
的取值范围是且．
故选：D．
7．C
解：∵是方程的两个根，
∴，
∴；
故选：C．
8．D
解：∵是一元二次方程的实数根，
∴，即，且
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
，
∴原式，
故选：D．
9．B
解：∵设增长率为x，第一周票房为8.98亿元，
∴第二周票房为亿元，
∴第三周票房为亿元，
又∵第三周票房收入达12.93亿元，
∴可列方程为，
故选：B．
10．D
解：A选项：美食街区域长为米，步行街道的宽为米，
表示一排店铺的长，
故选项错误；
B选项：“”应是步行街的宽，
“”处的内容为，
故B选项错误；
C选项：“”应是步行街的宽，
“”处的内容为，
故C选项错误；
D选项：设步行街道的宽为米，
根据题意可得方程：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
的值为，
故D选项正确．
故选：D．
二、填空题
11．
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
12．
解：∵，
∴，
即或，
解，得，，
解，得，，
∴方程的根是，
故答案为：．
13．1
解：，
∵，
∴，
∴当时，的最小值为1，
即代数式的最小值为1．
故答案为：1．
14．29
解：，
将系数代入判别式公式：．
故答案为：29．
15．
解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：．
16．5
解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：5．
17．
根据勾股定理列出方程．
解：设斜边长为，则两条直角边长分别为和．
由勾股定理，得．
故答案为：．
18．3
解：设增加了行，因为增加的行数．列数相同，所以增加后方阵为行列．
原方阵人数为人，加入30人后总人数为人，
因此列方程：，
解得或（行数不能为负，舍去），
故增加了3行．
故答案为：3．
三、解答题
19．
（1）解：
，
∴
（2）解：
或
∴．
20．
（1）解：是凤凰方程，理由如下：
由方程可得，，，，
∴，
∴一元二次方程是凤凰方程；
（2）解：由方程得，，，，
∵是关于的凤凰方程，
∴，
∴．
21．
（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴符合题意．
∴．
22．
（1）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
答：和分别为与．
（2）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解，所以想法不能实现．
23．
（1）解：当售价为65元时，每台台灯的利润为：（元），
售价下降元，每日能售出个；
（2）解：设每个台灯售价y元，根据题意得：
，
即，
，
每台台灯盈利不少于25元，
，解得。
不合题意，舍去。
，
答：每个台灯售价60元．
24．
（1）解：依题意，，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴配方得：，
即，
，，
故．
（3）解：依题意，
，
，
，时，
即当，时，则，
即取得最小值，最小值为16．

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