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第20章《勾股定理》章节复习题
一、单选题
1．如图，矩形的对角线，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
5．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　）
A．10 B．12 C． D．
6．如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
8．如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．4.8 D．
9．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
10．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（ ）
A．10 B．9 C． D．
二、填空题
11．以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________．
12．如图， ABC中，为 ABC的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______．
13．如图，在 ABC中，，是上一点，连接，若，，平分，则的长为___________．
14．如图，在 ABC中，，，，点D，E在，边上，且，连接，则的最小值是 ________________ ．
三、解答题
15．如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足．
(1)求a，b的值；
(2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，设移动的时间为t秒，连接．
①若为等腰三角形，求t的值：
②若为直角三角形，直接写出t的值．
16．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：．
(1)如图1，已知：．求证．
下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整：
证明：四个直角三角形全等，且，
正方形的边长为　　　　　，
，且（等面积法），
　　　　　+　　　　　 =a2+b2
．
(2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：．
(3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积．
17．如图，在 ABC中，，D是边上一点，记．E是线段的中点．F是线段上一点满足，G是线段上一点满足．连接．
(1)求和（用含α的式子表示）．
(2)求证：．
(3)直接写出线段的数量关系．（无需证明）
18.如图， ABC中，，，点D在上，点E为中点，于H，交直线于N，若，，，．
(1)求的度数．
(2)求的长．
19.如图1，在等边 ABC中，点E是边上点（点E不与A，C重合），连接，过点A作于点H，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若，
(1)求线段的长；
(2)如图2，延长交于点D，求证：点D是中点；
(3)如图3，连接，若，求的长．
20.【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：．
①如图，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点．
②如图，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答．
如图，在中，，，点，在边上，，连接，，点在边上，连接，且．求证：．
【学以致用】
（3）如图，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵四边形是矩形，
，
在中，∵，，
，
由平移的性质可知，图中五个小矩形的周长之和等于矩形的周长，
∴五个小矩形的周长之和．
2．D
解：过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴即：是等腰直角三角形，
∵正方形边长为，
∴，
∴，
设，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
3．C
解：由题知，，
，
，
米，
米，
米，
米．
4．C
解：连接，
∵，
∴点E是的中点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长为8，即，
∴，
∴，
∴，
∴重叠部分四边形的面积为16．
故选：C．
5．B
解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，
∵四边形是正方形，
∴，
∴垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴四边形周长，
根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值．
∵E为边长是4的正方形的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形周长的最小值为．
6．B
解：∵，，，平分交于点，
∴且点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．B
解：如图，过点作于点，
∵菱形的边长为5，且，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的面积为，
故选：B．
8．C
∵矩形中，，，
∴，，，
根据折叠的性质，得，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，，
根据勾股定理，得，
解得，
故．
9．A
解：∵四边形是矩形，，
∴，，，，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
∵为的中点，
∴．
10．C
解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示：
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，和都是直角三角形，
在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和 ABC中，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，在中，由勾股定理得：，
∴．
故选：C．
二、填空题
11．
解：如图，连接，作轴，垂足为，
∵，轴于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理可得，
∵点由点绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴、、三点共线，即点在轴负半轴上，
∴点的坐标为．
12．
解：作于交延长线于G，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ABC的面积，
∵的面积的面积的面积，
∴，
∴，
∴．
13．
解：如图，过点作，垂足为，
平分，，
，
在中，，，
，
设，
， 即，
，即，
．
14．
解：如图作，使得．作交的延长线于，连接．
∴，
，
，
，，
，
，
，
的最小值为的长，
∵，
∴，
∴，在中，，，
，，∴，
在中，，
故的最小值是．
三、解答题
15．（1）解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∴，．
（2）解：①∵，，，
∴，
由题意可得：，
∴，，
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍去）；
综上所述，或．
②当为直角三角形时，分2种情况：
当点和点重合时，，满足题意，此时；
当时，由①可知：，，，
∴，
∴，解得；
综上所述：或．
16．（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，，
∴正方形的边长为，
∵，且（等面积法），
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
，
∴，
又∵，，
∴；
（3）解：解：由题意，如下图：
∵外围轮廓的总长度为，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
将，代入可得，
，
解得，
∴小正方形的边长为，
∴风车的面积为：．
17．（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：延长，交于点H，连接，过点E作于点M，于点N，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵E是线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）解：延长，交于点H，连接，过点E作于点M，于点N，如图，
由（2）知： ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴线段的数量关系为：．
18.（1）解：如图，取的中点F，连接，
，
，
F是的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
（2）如图，设与的交点为P，
，，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
在中，，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
19.（1）解： ABC是等边三角形，
，，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，，
，，，，
；
（2）证明：过点作交的延长线于点，
由（1）可知，，，，
，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
， ，，，又，
，，
即点D是中点；
（3）如图，过、分别作，
，
，
又是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，又由（2）知点D是中点，为的中点，即为的中位线，
，．
20.解：（1）选择小辉同学的解题思路．
证明：如图2，过作交的延长线于，
，
，
，，
．
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，，，
，
，．
，
，
，
，
，
，
．
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
选择小光同学的解题思路．
证明：如图3，在上截取，连接．
，
，
．
，
，即．
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，
；
（2）证明：如图4，过作于，过作于．
，，
，
，，，
，
，．
，，，
，，
，
．
在和中，
，
，
．
，，
，
，，
，
，即，
；
（3）如图5，在边上截取，连接，过作于，
由题意得，，．
，
．
，，
∴，
，
在和中，
，，，
，
．
，，
，
，
，
．
又，
，，
．
，，
，
根据勾股定理得，，
．

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