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第二章《 一元二次方程》单元测试卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．多项式的最小值为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
4．关于x的方程(a为常数)的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为338万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
7．定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （ ）
A．或4 B． C． D．或1
8．已知关于的一元二次方程的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
9．存在一个矩形，矩形的面积与一个已知正方形面积相等，矩形的周长是已知正方形周长的2倍，则这个矩形的较长边的边长与正方形的边长之比是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，将 ABC沿边折叠得到 AB/C，交于，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．关于x的方程是一元二次方程，则m= ．
12．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
13．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ．
14．如图，在线段上找到一个点，且，满足，若，则 ．
15．已知关于x的方程有两个实数根，则的值为 ．
16．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
17．如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为 m．
18．若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解方程：
(1)； (2)
20．（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根．
21．（10分）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”．
(1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值．
22．（10分）现有三组数值：①，；②，；③，．
从①~③中任选一组，的值代入，得到方程．
(1)淇淇发现，她得到的方程没有实数根．则她选取的是____________（填序号）；
(2)除（1）所选的一组外，从另外两组数值任选一组代入，解出所得方程的解．
23．（10分）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
(2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？
24．（12分）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数m，n满足，，且，求的值．
解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以．
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则： ， ．
（2）类比探究：已知实数m，n满足，，且，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
【详解】解：A、不是一元二次方程，故选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故选项不符合题意；
C、，即，是一元二次方程，故选项符合题意；
D、不是一元二次方程，故选项不符合题意；
故选：C．
2．B
解：∵ ，
∴ 两边除以2：，
∴ 移项：，
∴ 配方：，即 ，
∴ 与 比较，得 ，，
故选：B．
3．C
解：∵
，
又∵，，
∴当, 时，多项式取最小值 3，
故选C．
4．A
解：∵，
∴，
整理得，
判别式，
展开得，
对于，二次项系数为正，且其判别式，
∴恒成立，即，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．D
是方程的实数根，
，即，
又，是方程的两个实数根，
由根与系数关系得：，
，
故选．
6．A
解：∵设平均每月的增长率为，
∴二月份的营业额为万元，
∴三月份的营业额为万元，
又∵三月份的营业额为338万元，
∴列方程为，
故选A．
7．C
解：∵特征数为，
∴方程为，
设两实数根为，，则，
，
，
∵，
∴，
化简得：，
解得或，
又∵方程有实数根，
∴，
即，
∴（舍去），
∴，
故选C．
8．B
解：观察数轴可知：，，，
∴在方程中，，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
9．C
解：设正方形的边长为，可得正方形的周长为，
矩形的周长是已知正方形周长的2倍，
矩形的周长为，
设矩形的一条边长为，可得另一条边长为，
故可得，
可得，
，
这个矩形的较长边的边长为，
所以这个矩形的较长边的边长与正方形的边长之比是，
故选：C．
10．C
解：如图，
过点作于点，于点，
．
由折叠得，，，
∵，
∴，
，
由勾股定理可得，．
设，
则，，
∵，，
同理可得，，
，
解得，
即点到的距离为．
故选：C．
二、填空题
11．3
解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴且．
解方程，得，即，
∴或．
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
12．10
解：∵，
∴，
∴，，
当时，
由于，故能围成三角形；
三角形的周长为，
当时，
由于，故不能围成三角形，
故答案为：10．
13．18
解：，
，
解得，
三角形的两边长分别为4和6，
第三边的长，
即第三边的长，
第三边的长是一元二次方程的一个根，
第三边为8，
则三角形的周长为，
故答案为：18．
14．
解：设，则，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，即，
故答案为：．
15．
解： 有两个实数根，则判别式 ．
．
由 ，得 ，即 ，所以 ．
∴原式 ．
故答案为：．
16．
因为是方程的根，
所以，即
∴
由根与系数的关系，，
所以原式，
故答案为：．
17．1
解：设所修道路的宽为．根据题意，得，
整理，得，解得（不合题意，舍去），，
即所修道路的宽为．
故答案为：1．
18．
解：∵，，
∴由根与系数的关系得：，；
，；
…
，；
∴原式
．
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：，
，即，
，
，
或，
解得：，；
（2）解：在方程两边同乘以，得：，
解得：，
检验：将代入，得：，
∴是原分式方程的解．
20．（1）证明：∵，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根分别为t，，
根据根与系数的关系得，
∴，
∴方程的两根分别为1和3，
即方程的两个根为，．
21．（1）解：，
∴，，
∵，
∴方程是“邻根方程”．
故答案为：是．
（2）解：，
，
∴，，
由题意得：，即或，
解得，，
∴m的值为0或2．
22．（1）解：由题意，，
①，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
②，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
③，：，方程没有实数根，符合题意，
她选取的是：③；
（2）解：选①，代入，得，，，，
∴，
，
解，；
选②，代入，得，，，，
，
，
即，．
23．（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意得，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为；
（2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，三月的销售量是，
当月的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得，，
又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，
∴，
答：该商品售价定为元时，商场当月获利元．
24．解：（1）∵一元二次方程两个根为，
∴，．
故答案为：5，；
（2）由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，
所以；
（3）∵要求的值，
∴，
∴等式两边同时除以，得：，即，
∴实数s和可看作方程的两根，
∴，，
∴．

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