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3.3《离差平方和与方差》同步练习
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,)
1．数据的平均数和离差平方和分别为（ ）．
A．和 B．和 C．和 D．和
2．若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别是，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
4．已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（ ）
A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12
5．设数据，，，的平均数为，方差为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（ ）
A．49 B．144 C． D．
7．为了杜绝孩子溺水事件的发生，很多学校为此开设了与游泳相关的课程，下表记录了某校4名同学蛙泳成绩的平均数（单位：秒）和方差，根据表中数据，要选一名成绩好又发挥稳定的运动员参加校内比赛，应选择（ ）
队员1 队员2 队员3 队员4
/秒 51 48 51 49
3.5 3.5 7.5 8.5
A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4
8．在八年级体育素质测试中，某小组5名同学（用数字1～5表示）的成绩（单位：分）如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
1 2 3 4 5 方差 平均成绩
得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37
A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，5
9．现有数据：6，9，12，15，18，21．若将其分为2组，根据组内离差平方和最小的原则，下列选项中，最优的分组方法是（ ）
A．第一组，第二组 B．第一组，第二组
C．第一组，第二组 D．第一组，第二组
10．已知一组数：的平均数为M，方差为N，那么数组：的平均数及方差分别是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为__________．
12．甲、乙两学生在军训10次打靶训练中，所中环数的平均数相等，但方差分别为，，那么两人成绩比较稳定的是__________．（填“甲”或“乙”）
13．已知一组不全等的数据：，平均数是2026，方差是2027．则新数据：的平均数是_______，方差_____2027（填“、或”）．
14．若一组数据的方差为，则这组数据的众数为_________．
15．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由______到______排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成______种情况．
16．湖南省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加2025年11月举办的第十五届全国运动会，教练把他们的10次训练成绩做了统计：平均成绩都是9.6环，方差分别是，，，根据统计结果，你建议选运动员_____参加全运会．
17．刚刚喜迁新居的小明为估计十二月份（31天）的家庭用电量，在十二月份上旬连续8天同一时刻观察电表显示的千瓦时数并记录如下：
日期 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号
电表显示数 23 28 31 36 43 48 53 58
估计小明家当月用电总量约为________．
18．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：
161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175
该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于．其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）为了推动中华传统文化进校园，某中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”为主题的传统文化知识竞赛，八年级名参赛选手的得分如下（单位：分）：，求这组数据的离差平方和．
20．（8分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，现对他们进行了次测试，已知甲次测试的平均成绩是环，甲测试成绩的方差为，乙次的测试成绩（单位：环）统计如下：如果要选出一个成绩较为稳定的人参加集训，请你判断选谁参加集训更合适，并说明理由．
21．（10分）国家安全，人人有责．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日．当天，某校组织七、八年级全体学生开展了国家安全知识竞赛活动．为了解竞赛情况，该校从七、八两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分100分），并收集整理数据如下：
七年级：85，90，85，100，80，90，90，95，90，75．
八年级：90，80，90，85，95，90，80，95，100，85．
分析数据：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 88 90 46
八年级 89 90 39
根据相关信息，解答下列问题．
(1)填空：______，______．
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）．
22．（10分）九年级一班学生制作粽子送给敬老院的老人们，统计全班学生制作粽子的个数，将数量相同的学生分为一组，全班学生可分为A，B，C，D四个组，各组每人制作的粽子个数分别为4个，5个，6个，7个，将统计结果整理后绘制成如图所示的两幅统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)求出这个班级的人数；
(2)请通过计算补全两个统计图；
(3)若该校九年级共有300名学生，请你估计九年级全体学生共制作了多少个粽子．
23．（10分）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：82，83，85，86，87，88．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 90 100.8
九年级 88 94 110.0
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的___________，___________，___________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
24．（12分）在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下：
【收集数据】七年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：69，72，72，73，74，74，74，74，76，76，78，89，96，97，97，98，98，99，99，99．
八年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：65，68，70，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99．
【整理、描述数据】将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：．绘制出如下统计图．
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84.2 a 74 12.1
八年级 86 88.5 b 10.3
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；
(2)补全频数分布统计图；
(3)七年级有300人参加测试，八年级有320人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计七、八年级测试成绩优秀的共有多少人；
(4)请从平均数、中位数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵这组数据为，共个数据，
∴平均数为，
∴离差平方和为：
，
，
，
，
∴这组数据的平均数和离差平方和分别为和．
故选：．
2．B
解：∵离差平方和，数据个数，
∴方差，
故选：．
3．A
解：∵，，
∴，
∴甲的成绩波动最小，成绩最稳定，
故选：A．
4．C
解：∵原数据的平均数，
方差
∴新数据的平均数
新数据的方差
∴新数据的平均数和方差分别为9和9，
故选：C．
5．D
解：∵，
∴，
∴，
故选：．
6．C
解：小明的成绩比较稳定，则小明的方差较小，为7，
因此小明成绩的标准差为，
故选：C．
7．B
解：∵游泳比赛中，完成时间越短，成绩越好，
∴对比4名队员的平均数：，可知队员2的成绩最优，
又∵方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，
队员2的方差为3.5，是成绩较好的队员中方差最小的，
∴应选择队员2．
故选：B．
8．B
解：∵平均成绩为分，共有名同学，
∴总分为分
已知名同学成绩之和为分，
∴缺失成绩为分，
各数据与平均数的差分别为，
差的平方和为，
∴方差为：，
因此被遮盖数据依次为和．
故选：B．
9．A
解：A、∵第一组均值，离差平方和；
第二组均值，离差平方和；
∴总和．
B、∵第一组均值，离差平方和；
第二组均值，离差平方和；
∴总和．
C、∵第一组均值，离差平方和；
第二组均值，离差平方和；
∴总和．
D、∵第一组均值，离差平方和；
第二组均值，离差平方和；
∴总和．
∵选项A的总离差平方和最小，
∴最优分组为A．
故选：A．
10．C
解：设的平均数为，则的平均数为，
解得；
设的方差为，则的方差为，
解得，
故选：C．
二、填空题
11．4
解：组的平均数为，
则组的离差平方和为，
组的平均数为，
则组的离差平方和为，
∴这种分组情况的组内离差平方和为，
故答案为：4．
12．甲
方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，波动越小，成绩越稳定．
甲的方差为 0.96，乙的方差为 1.01，
∵ 0.96 < 1.01，
∴甲的成绩更稳定．
故答案为：甲．
13 2026
解：∵的平均数是2026，方差是2027，
∴，
，
由此可得
，
则新数据的平均数为：
，
新数据的方差为：
，
∵，
∴，即．
故答案为：2026；．
14．
解：由方差可知，
数据点出现次，出现次，出现次，出现次，
因此原数据为：，，，，，，，
其中出现次，次数最多，则众数为，
故答案为：．
15． 小 大 7
解：按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由小到大排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成种情况．
故答案为：小，大，7．
16．乙
甲、乙、丙三名运动员的平均成绩均为9.6环，方差分别为，，，
方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，成绩越稳定，
∵乙的方差最小，为0.45，
∴建议选运动员乙参加全运会，
故答案为：乙．
17．
解：由表格知：2号至8号这七天的平均用电量为：，
∴，
答：估计小明家当月用电总量约为，
故答案为：．
18． 170 172
解：已确定三名学生身高为168，168，172，
平均数为（），
为使平均数尽可能大，优先选择与三名学生身高值接近的两个较大值170和172，
此时平均数为（），
方差为
，
，满足条件，其他组合平均数更小或方差更大；
故答案为：170；172．
三、解答题
19．解：∵平均数为，
∴离差平方和为．
20．解：选甲参加集训更合适．
理由：乙的平均成绩（环）
乙成绩的方差．
因为，两人的平均数相同，
所以甲比乙更稳定，
所以选甲参加集训更合适．
21．（1）解：七年级：85，90，85，100，80，90，90，95，90，75中，出现次，出现次数最多，即；
八年级数据从小到大排列的：80，80，85，85，90，90，90，95，95，100，即；
故答案为：，；
（2）解：八年级竞赛成绩较好．
理由：七、八年级竞赛成绩众数和中位数相同，但八年级平均数高，方差小．
22．（1）解：（人）．
答：这个班级的人数为40人．
（2）解：D组的人数：（人）．
扇形统计图中“C”占的百分比为．
补全统计图如下所示：
（3）解：（个）．
答：估计九年级全体学生共制作了1800个粽子．
23．（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多，
所以众数，
由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个，
所以占，则，
根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生，
又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值，
所以中位数，
故答案为：93；87.5；30．
（2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好，
因为两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级，
故八年级的学生成绩更好．
（3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人．
24．（1）解：七年级成绩从小到大排列，中间的两个数为76，78，故中位数，
八年级学生成绩89出现次，次数最多，故众数；
（2）解：八年级C组的人数为：，
补图如图所示：
（3）解：估计七、八年级测试成绩优秀的为：人；
（4）解：从平均数来看，估计八年级学生平均分比七年级学生平均分高；
从中位数来看，估计七年级至少有一半的学生成绩不低于77，八年级至少有一半的学生成绩不低于88；
从方差来看，估计八年级成绩比七年级成绩更集中．

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