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2025-2026学年九年级下学期第二次阶段性质量检测数学试题
一．选择题（共10小题，每题4分）
1．在3.14159，，0，π，这4个数中，无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500m2．将35500用科学记数法表示应为（　　）
A．35.5×104 B．3.55×104 C．3.55×105 D．0.355×105
3．若一元二次方程x2﹣kx﹣1＝0的一个根为x＝﹣2，则k的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．下列式子计算正确的是（　　）
A．3a﹣4a＝﹣a B．（ab﹣1）＝a2b2﹣1
C．（3a）2＝6a2 D．a6÷a2＝a3
5．点P（3﹣m，m）不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．数据10，10，x，8的众数与平均数相同，则这组数的中位数是（　　）
A．10 B．8 C．14 D．12
7．下列说法中正确的是（　　）
A．经过线段中点的直线是该线段的对称轴
B．到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点
C．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
D．有一个角是60°的三角形是等边三角形
8．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：OA′＝1：3，△ABC的周长为5，则△A′B′C′的周长为（　　）
A．5 B．8 C．13 D．15
9．如图，折扇的骨柄长为3dm，折扇张开的角度为120°，图中的长为（　　）
A．π dm B．2π dm C．3π dm D．6π dm
10．已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
二．填空题（共6小题，每题4分）
11．已知a，b是有理数，a＞0，b＜0，则　 　 ．
12．把y＝x2向右平移2个单位向上平移2个单位，则平移后的解析式为 　 　 ．
13．如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为 　 　 ．
14．某河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡度为1：，则AB的长为 　 　 米．
15．若方程2有增根，则增根为x＝　 　 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，AC平分∠EAB，AD与BC的延长线交于点E，AE＝5，BE＝6，则CD的长为　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（10分）计算：．
18．（10分）先化简，再求值：，其中．
19．（10分）解不等式组，并用数轴表示其解集．
20．（10分）某种新产品进价120元．试销阶段发现产品日销售量y（件）与每件的销售价x（元）之间的关系满足如下表所示的一次函数关系：
每件售价（元） 130 150 165 …
日销售量y（件） 70 50 35 …
（1）求日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式；
（2）不改变上述关系的情况下，请帮助经理策划每件的销售价应定为多少元时，每日销售的利润可达到1500元？
21．（10分）如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表．
自由转动转盘n次 100 300 500 1500 3000 …
指针落在黑色区域的频数m 23 78 125 375 750 …
指针落在黑色区域的频率p 0.23 0.26 0.25 0.25 0.25
（1）观察上表，求黑色扇形圆心角的度数．
（2）如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率．
22．（10分）如图，A、B为⊙O上的两点，且∠AOB＝60°，延长OA至点C，使AC＝OA，连接BC．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）用无刻度的直尺和圆规在BC上求作一点D，使BD＝CD．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）
23．（10分）综合与实践：生物生长规律的模型研究．
如图1，砗磲（chē qú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：μm/天）的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25
y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5
【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过（0，26.0）的抛物线，设解析式为y＝ax2+bx+26．
（1）选取两个点（10，14.0），（20，7.0），求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄．
【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为k1＝140，k2＝142.5，k3＝140，k4＝137.5，猜想当x≥10时y与x符合反比例关系，设解析式为．
（2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式．
【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低．
（3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算．
24．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．
（1）直接写出b，c的值；
（2）如图，过A点的直线y＝x+1与y轴相交于点E，与抛物线相交于点D，过A点的另一条直线y与抛物线相交于点F，求证：∠ACE+∠BAF＝∠DAB；
（3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
25．（10分）点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于点O．
（1）如图1，延长AE交CD于点G，若，求CG的长．
（2）如图2，AB≠BE．
①证明：AE＝EF；
②证明：OB2+DE2＝OE2．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A C A B D B B
二．填空题
11．0．
12．y＝（x﹣2）2+2．
13．．
14．12．
15．5．
16．．
三．解答题
17．解：原式
＝7．
18．解：原式
，
当时，原式．
19．解：解不等式2x+3≥5，得x≥1，
解不等式3（x﹣1）＜2x，得x＜3，
将不等式组的解集画在数轴上：
故不等式组的解集为1≤x＜3．
20．解：（1）设日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（130，70），（150，50）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式y＝﹣x+200；
（2）根据题意得：（x﹣120）（﹣x+200）＝1500，
整理得：x2﹣320x+25500＝0，
解得：x1＝170，x2＝150，
∴每件的销售价应定为170元或150元时，每日销售的利润可达到1500元．
21．解：（1）由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为0.25，
∴360°×0.25＝90°，
答：黑色扇形圆心角为90°；
（2）由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为，
所以小明获赠小礼物的概率是，
答：小明获赠小礼物的概率是．
22．解：（1）结论：直线BC是⊙O的切线．
理由：连接AB．
∵OB＝OA，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∵AC＝OA，
∴AB＝AO＝AC，
∴∠OBC＝90°，
∴BC⊥OB，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）如图，点D即为所求．
23．解：（1）由题意，将（10，14.0），（20，7.0）代入y＝ax2+bx+26，
∴．
∴．
∴．
∴该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁．
（2）由题意，当x≥10，，
∴．
（3）由模型1可知，当x≥29时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；又由模型2可知，当x≥10时，y随x的增大而减小，符合碎碟的生长规律，
∴选择模型2．当x＝35时，．
答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4μm/天．
24．（1）解：∵抛物线 y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
故b＝2，c＝3；
（2）证明：过点E作 EG⊥AC 于点G，设AF交y轴于H，如图，
令x＝0，得y＝1，则E（0，1），
∴OA＝OE＝1，
∴∠OAE＝∠OEA＝45°，
在Rt△AOC中，OA＝1，OC＝3，
∴AC，
∵S△ACEAC EGCE OA，
∴EG．
在Rt△CEG中，CG，
∴AG＝AC﹣CG，
∴在Rt△AGE 中，tan∠CAE，
把（﹣1，0）代入y 中，得n，
∴H（0，），
在Rt△AOH 中，tan∠OAH，
∴tan∠CAE＝tan∠OAH，
∴∠CAE＝∠OAH＝∠BAF，
∵∠CAE+∠ACE＝∠AEO，
∴∠BAF+∠ACE＝∠DAB；
（3）解：①抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+3，
x＝0时，y＝3，即C（0，3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当y＝﹣m2+2m+3时，x＝m2﹣2m，
∴Q（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），
当﹣1＜m＜0时，点P在点Q的左侧，d＝PQ＝m2﹣2m﹣m＝m2﹣3m，
当0＜m＜3时，点P在点Q的右侧，d＝PQ＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，
∴d；
②绘制d的函数图象如图所示：画出﹣1＜m≤3时，d与m的关系图象如图，
∵d＝﹣m2+3m＝﹣（m）2，
∴顶点坐标为（，），
∴当时，对于d的每一个确定值，点p有且只有一个不同的位置；
当d时，点p有两个不同的位置；
当 时，点p有三个不同的位置；
当d≥4或d＝0时，没有符合要求的点p．
25．（1）解：如图1，过点E作EP⊥BC于点P，作EQ⊥CD于点Q，
∴∠EPC＝∠EQC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠CDB＝∠DBC＝45°，
∴四边形EPCQ是矩形，△DEQ，△EPB是等腰直角三角形，
∴EQ＝PC，EP＝BP＝CQ，
设EQ＝a，则DQ＝a，EDa，
∴BP＝2﹣a，
∴BEBP（2﹣a），
∵BEDE，
∴（2﹣a）a，
∴a＝22，
∵EQ∥AD，
∴△EQG∽△ADG，
∴，
设GD＝b，则GQ＝b﹣a＝b﹣22，
∴，
∴b，
∴GD，
∴CG＝CD﹣DG＝2；
（2）证明：①如图2，过点E作HP⊥BC于点P，交AD于H，连接CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠HDE＝45°，AD＝CD，
∴HP⊥AD，
∴∠AHE＝∠FPE＝∠DHE＝∠CPE＝90°，
∵△HED是等腰直角三角形，
∴DH＝EH＝PC，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，∠DAE＝∠DCE，
∵EP∥DC，
∴∠PEC＝∠DCE，
∴∠DAE＝∠PEC，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEH+∠FEP＝90°，
∵∠EAH+∠AEH＝90°，
∴∠FEP＝∠EAH＝∠PEC，
∵∠FPE＝∠CPE，
∴∠EFP＝∠ECP，
∴EF＝CE，
∴AE＝EF；
②如图3，∵AB＝AD，
∴将△AED绕点A顺时針旋转90°得△ABE'，连接OE'，
∴∠DAE＝∠BAE'，DE＝BE'，∠ABE'＝∠ADE＝45°，AE＝AE'，
∵∠ABO＝45°，
∴∠E'BO＝90°，
∴BE2+OB2＝OE'2，
∴DE2+OB2＝OE'2，
∵AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝45°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAF＝45°，
∴∠E'AB+∠BAF＝45°，
即∠E'AO＝∠EAO＝45°，
∵AO＝AO，
∴△AOE≌△AOE'（SAS），
∴OE＝OE'，
∴OB2+DE2＝OE2．
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