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2025-2026学年九年级下学期第一次调研数学试题
一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作（　　）
A．﹣2m B．0m C．﹣4m D．+2m
2．如图是一个立体图形的表面展开图，则这个立体图形是（　　）
A．六棱柱 B．六棱锥 C．五棱柱 D．六面体
3．某企业正在研制5nm芯片（5nm＝0.0000000005m）．用科学记数法表示0.000000005是（　　）
A．5×10﹣1 B．0.5×10﹣10 C．0.5×10﹣9 D．5×10﹣9
4．如图，点A在点B的北偏东40°方向，点C在点B的北偏东85°方向，A点在C处的北偏西55°方向，则∠ACB的度数是（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．一元二次方程2x2﹣x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF，若EF，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（　　）
A． B． C．4 D．28
7．若，则A的值是（　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣2
8．中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择2种购买，购买的邮票图案恰好是勾股定理和圆周率的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点OA＝3，OB＝4，则点B201的坐标为（　　）
A．（1204，4） B．（1204，0） C．（1208，0） D．（1208，4）
10．如图1，小亮家、报亭、羽毛球在一条直线上，小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图之所示，给出以下结论：
①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟；
②小亮打羽毛球的时间是30分钟；
③报亭到小亮家的距离是400米；
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．如果一次函数y＝（m﹣1）x﹣2的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是　 　 ．
12．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是　 　 ．
13．已知数据x1，x2，…，xn的平均数是2，方差是6，若一组新数据x1+8，x2+8，…，xn+8的平均数是m，方差是n，则m﹣n＝　 　 ．
14．如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为 　 　 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝6，将Rt△ABC绕点B逆时针旋转60°至△EBD，连接AD，则线段AD＝　 　 ．
三．计算题：本大题共1小题，共8分．
16．（8分）计算：
（1）；
（2）（﹣2a3）2+（a2）3﹣2a a5；
四．解答题：本题共7小题，共67分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（9分）读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了30户家庭进行问卷调查，将调查结果分为4个等级：A、B、C、D．整理如下：
下面是家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据：1，1.2，1.3，1.5，1.2，1，1.5，1.4，1.7，1.2，1.2，1，1.8，1.6，1.5．
家庭成年人阅读时间统计表：
等级 阅读时间（小时） 频数
A 0≤x＜1 12
B 1≤x＜1.5 a
C 1.5≤x＜2 b
D x≥2 3
合计 30
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）B组数据的众数是 　 　 ，中位数是 　 　 ；
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为 　 　 度，m＝　 　 ；
（4）该社区宣传管理人员有1男2女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长CE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）当BD＝6，sin时，求EF的长．
19．（9分）五峰山长江大桥是连镇高铁跨越长江的公铁两用悬索桥．已知塔旁边有一个坡角为60°的山坡BC，长80米，坡顶有一个水平平台CM，CM∥BN，小明在平台上距离C点21米的D点处测得塔顶端A的仰角为65.5°，求主塔AB的高度（结果精确到1米）．
参考数据：，sin65.5°≈0.90，cos65.5°≈0.41，tan65.5°≈2.19．
20．（9分）2025年为大力响应广饶县乡村振兴政策，梨果村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元．
（1）请确定苹果、桃李的单价；
（2）该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降0.1元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降0.1元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村决定把苹果和桃李的零售单价同时下降a（0＜a＜4）元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元？
21．（9分）如图，反比例函数的图象经过线段OA的端点A（2，4），把线段OA沿x轴正方向平移3个单位得到线段CB，CB与上述反比例函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4．
（1）求k的值和直线OA的解析式；
（2）若P为函数的图象上一动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与四边形OABC在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为m，且0＜m＜3，当，求出m的值．
（3）已知点Q是反比例函数上的一个动点，设点Q的横坐标为n，2＜n＜4，当n为何值时，△ADQ面积最大，并求出最大面积．
22．（9分）2025赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速安检+电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球迷数y（人）随时间x（分钟）变化的图象（图象ABC段为抛物线，CD段与x轴重合，x＝0对应15：00）．请根据图象回答：
（1）15：30时，等待安检的球迷有多少人；
（2）当0≤x≤30时，求等待人数y与x的函数关系式；
（3）从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？
23．（13分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，长度为2cm线段PQ在射线BC上，点P与点C重合，如图2，线段PQ从图1所示起始位置出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时点M从点B出发，沿B→A→D方向以2cm/s速度运动，当M点到达D时运动结束，PQ运动同时结束．连接AQ，DP，相交于点E．设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）当t为何值时四边形APQM是平行四边形？
（2）当点M在AD上运动时，求t为何值时点M在AQ的垂直平分线上？
（3）求△EPM的面积S与t的关系式；
（4）运动过程中，将△DCP绕点D顺时针旋转90°得到△DC′P′，是否存在某一时刻t，使C′，P′，E三点在同一条直线上？若存在请求出t的值，若不存在请说明理由．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D． A A A B C C D
二．填空题
11．m＜1．
12．x．
13．4．
14．．
15．2．
三．计算题
16．解：（1）原式＝﹣1+4﹣1
＝3﹣1
＝2；
（2）原式＝4a6+a6﹣2a6
＝3a6．
四．解答题
17．解：（1）由家庭成年人阅读时间在1≤x＜2小时内的数据可知，a＝9，b＝6．
故答案为：9；6．
（2）∵1≤x＜1.5小时内的数据中，1.2出现的次数最多，
∴B组数据的众数是1.2．
将1≤x＜1.5小时内的数据按从小到大排列，排在第5个的是1.2，
∴B组数据的中位数是1.2．
故答案为：1.2；1.2．
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为360°72°．
m%100%＝30%，
∴m＝30．
故答案为：72；30．
（4）设1名男生记为A，2名女生记为B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有：AB，AC，BA，CA，共4种，
∴恰好选中“1男1女”的概率为．
18．（1）证明：如图，连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠1+∠2，
∴∠3＝2∠1，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝∠3，
∴OC∥BD，
∵CE⊥DE，
∴OC⊥CF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥CF，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sin∠F，
∴ABBD＝10，
∵OCAB＝5，
∵OC⊥CF，OC＝5，sin∠F，
∴sin∠F，
解得BF，
∴sin∠F，
∴BEBF＝2，
在Rt△BEF中，由勾股定理看得：EF．
19．解：延长MC交AB于点E，
由题意得：CD＝21米，ME⊥AB，
∵CM∥BN，
∴∠BCE＝∠CBM＝60°，
在Rt△BCE中，BC＝80m，
∴BE＝BC sin60°＝8040（m），
CE＝BC cos60°＝8040（m），
∴ED＝EC+DC＝40+21＝61（m），
在Rt△AED中，∠ADE＝65.5°，
∴AE＝DE tan65.5°≈61×2.19＝133.59（m），
∴AB＝AE+BE＝133.59+40203（m），
∴主塔AB的高度约为203m．
20．解：（1）设苹果的单价为x元，桃李的单价为y元；
∵销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元．
∴，
∴，
∴苹果的单价为8元，桃李的单价为10元，
答：苹果的单价为8元，桃李的单价为10元；
（2）依题意，
，
整理得，5a2﹣36a+31＝0，
即（5a﹣31）（a﹣1）＝0，
则（故舍去），
∴当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元，
答：当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元．
21．解：（1）反比例函数的图象经过线段OA的端点A（2，4），将点A的坐标代入得：
4，
解得：k＝8，
∴反比例函数解析式为，
设直线OA的解析式为y＝ax，将点A的坐标代入得：
4＝2a，
解得：a＝2，
∴直线OA的解析式为y＝2x；
（2）①当N在P的上方时，如图1，
∴，N（m，4），
∴，，
∴，
解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）；
②当P在N的上方时，如图2，
∴，N（m，2m），
∴，，
∴，
解得：（经检验，是分式方程的解，负值已舍去），
综上所述：或．
（3）如图3，D的横坐标为4，过点Q作QE⊥x轴交AD于点E，
∵OA沿x轴正方向平移3个单位得到线段CB，
∴直线CB的解析式为y＝2x﹣6，将x＝4代入得：y＝2，
即D（4，2），
设DA的表达式为y＝k1x+b1，将点A，点D的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴DA的表达式为y＝﹣x+6，
设E（n，﹣n+6），则，2＜n＜4，
∴，
∵A（2，4），D（4，2），
∴|xD﹣xA|＝2，
∵，
∴，
∴，
∴当时，即（负值舍去），
∴当时，△ADQ面积最大，最大面积为．
22．解：（1）观察图象得，15：30时等待检票的居民有65人；
（2）∵抛物线的顶点坐标为（30，245），
∴设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣30）2+245，
把（0，65）代入得，a（0﹣30）2+245＝65，
解得a，
∴y与x的函数关系式为y（x﹣30）2+245，
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y（x﹣30）2+245，
当y＝0时，即0（x﹣30）2+245，
解得：x1＝65，x2＝﹣5（不合题意舍去），
∴15：30开始65分钟后，即从16：35时，游客可以随到随检．
23．解：（1）当四边形APQM是平行四边形时，PQ＝AM，
即2t﹣4＝2，
解得t＝3，
∴当t＝3s时，四边形APQM是平行四边形；
（2）当点M在AQ的垂直平分线上时，AM＝QM＝（2t﹣4）cm，
如图，过Q点作QH⊥AD于H点，
则四边形ABQH为矩形，
∴QH＝4cm，AH＝BQ＝（8﹣t）cm，
∴MH＝（8﹣t）﹣（2t﹣4）＝12﹣3t（cm），
在Rt△QHM中，由勾股定理得（12﹣3t）2+42＝（2t﹣4）2，
得t1＝7.2（不合题意，舍去），t2＝4，
∴当t＝4s时，点M在AQ的垂直平分线上；
（3）①当0≤t≤2时，点M在AB上，如图，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAQ＝∠AQB，∠ADP＝∠QPD，
∴△ADE∽△QPE，
∴，
连接DM，
∴，，
又∵S△MDP＝S矩形ABCD﹣S△ADM﹣S△BPM﹣S△CDP＝24﹣3（4﹣2t）﹣t（6﹣t）﹣2t＝t2﹣2t+12，
∴S△MPE3，
∴S3（0≤t≤2）；
②当2＜t≤5时，点M在AD上，如图，
由①得，
又∵，
∴，
∴S＝﹣t+5（2＜t≤5），
综上，当0≤t≤2时，；当2＜t≤5时，S＝﹣t+5；
（4）不存在，理由如下：
∵△ADE∽△QPE，
∴，
∵EF+EC′＝AB＝4，
∴EF＝1，
∵CD∥EF，
∴∠PEF＝∠PDC，∠PFE＝∠PCD，
∴△PEF∽△PDC，
∴，
∴，
∵，
∴当C′、P′、E三点在同一条直线上时，四边形CDC′F为矩形，如图，
∴CF＝C′D，
由旋转得C′D＝CD＝4，
∴，
∴，
∵0＜t≤5，
∴不合题意，
∴不存在某一时刻t，使C'、P'、E三点在同一条直线上．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/29 23:58:50；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353

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