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2025-2026 学年下学期九年级 3 月月考数学试卷练习卷
一．选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．要使二次根式 有意义，则 x 的值可以是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
2．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线 y＝﹣2（x+3）2﹣5 的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
4．方程 x2﹣4x＝0 的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．不确定
5．下列事件中：①在不透明的袋子中装有数量相等，除颜色外其余均相同的黑、白两种棋子，随机摸一
次，摸出的是黑色棋子与摸出的是白色棋子；②射击试验中，某次射击结果是中靶与脱靶；③在发芽试
验中，某粒种子发芽与不发芽；④随意抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上与反面朝上．是等可能
事件的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
6．如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（4，4），B（6，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将
线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 和 D 的坐标分别为（ ）
A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1）
C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2）
7．方程 ax2﹣6x+9＝0 有实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A．a≤1 且 a≠0 B．a≥1 且 a≠0 C．a≥1 D．a≤1
1
8．如图，在△ABC 中， ，BC＝3， ，则∠C 的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30°
9．如图，⊙O 中弦 AB 与 CD 相交于点 E，若 AC＝BD，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝CD B．CE＝BE
C．OE 垂直平分弦 AD D．AC2＝CE CD
10．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点 A（4，m），当 x≤2 时，y≥m+1，当 x＞2 时，y≥m，则当 x
＝6 时，y 的值为（ ）
A．2 B．4 C．m D．m+1
二．填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
11．计算：（3﹣π）0+2sin30°＝ ．
12．一个不透明的布袋里装有 2 个白球，1 个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸
出 1 个球，取出白球的概率为 ．则这个布袋中红球的个数为 ．
13．已知点 A（a，5），B（2，b）关于 x 轴对称，则 a+b 的值为 ．
14．已知关于 x 的一元二次方程 x2+5x﹣m＝0 的一个根是﹣6，则 m＝ ．
15． 如 图 是 小 华 应 用 直 角 曲 尺 来 检 验 半 圆 形 工 件 是 否 合 格 ， 其 中 所 应 用 的 数 学 知 识
是 ．
16．如图，△ABC 是等边三角形，点 E 为 AB 上一点，过点 E 的直线交 AC 于点 F，交 BC 的延长线于点 D，
作 EG⊥AC 于点 G．若 AE＝CD，AB＝m，则 GF 的长为 .（用含 m 的代数式
2
表示）
三．解答题：本题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（9 分）计算：（ ）﹣1 ．
18．（9 分）解方程：2（x﹣1）2＝x﹣1．
19．（9 分）在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“马”、“到”、“成”、“功”的四个小球，将其搅匀，
这些小球除汉字不同外其他都相同．
（1）从袋中随机取一个小球，恰好是“马”的概率为 ；
（2）从袋中随机取一个小球，不放回，搅匀后再从剩下的三个小球中随机取一个，请用画树状图或列
表的方法，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率（汉字不分先后顺序）．
20．（9 分）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程
并完成相应的学习任务．
如图，①分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径在 AB 两侧画弧，四段弧分别交于点 C，点 D；
②连接 AC，BC，AD，作射线 BD；③以 D 为圆心，BD 的长为半径画弧，交射线 BD 于点 E；④连接 CE，
交 AB 于点 F．点 F 即为 AB 的一个三等分点（即 AF AB）．
学习任务：
（1）填空：四边形 ADBC 的形状是 ；你的依据是 ；
（2）证明：AF AB．
21．（9 分）如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度 AB＝32 米，拱高 CD＝8 米，其中 C 为 AB 的中点，
D 为弧 AB 的中点．（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，结果保留π）
（1）求该圆弧所在圆的半径；
3
（2）求弧 AB 的长．
22．（9 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝mx2+4mx﹣1（m＜0）．
（1）抛物线的顶点坐标为 ．（用含 m 的式子表示）；
（2）已知抛物线与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．
①若 OB＝OC，求抛物线的解析式；
②若 AB≤2，请直接写出 m 的取值范围．
23．（9 分）如图，在⊙O 中， ，连接 AC，BD，过点 B 作 BE∥AC 交 DC 延长线于点 E．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若 ，BE＝8，求⊙O 的半径．
24．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+2x+b 的图象与一次函数 y＝﹣x+1 的图象交于 A，
B 两点，已知 B（6，﹣5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 C 是直线 AB 上方抛物线上的一动点，连接 AC，BC．点 M，N 是 y 轴上的两动点（M 在 N 上
方），且满足 MN＝3，连接 CM，BN，当△ABC 的面积取得最大值时，求 CM+MN+BN 的最小值；
（3）当（2）中 CM+MN+BN 取得最小值时，若 Q 是抛物线对称轴上位于直线 MC 上方的一动点，是
否存在以 C、M、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点 Q 的坐标；若不
存在，请说明理由．
4
25．（14 分）（一）拓展探究
如图①，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D．
（1）兴趣小组的同学得出 AC2＝AD AB．理由如下：
∵∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠A，
∴∠A+∠B＝90°， ∴△ABC∽△ACD，
∵CD⊥AB，
∴ ②，
∴∠ADC＝90°， ∴AC2＝AD AB．
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠B＝①．
请完成填空：① ；② ；
（2）如图②，F 为线段 CD 上一点，连接 AF 并延长至点 E，使∠AEB＝90°，连接 CE，求证：∠EAB
＝∠ECB；
（二）学以致用
（3）如图③，△ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2， ，平面内一点 D，满足 AD＝
AC，连接 CD 并延长至点 E，且∠CEB＝∠CBD，当线段 BE 的长度取得最小值时，求线段 CE 的长．
5
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C D C D C D D
二．填空题
11．2．
12．3．
13．﹣3．
14．6．
15．直径所对的圆周角为直角．
16． m．
三．解答题
17．解：原式 1+2 3
＝4．
18．解：方程变形得：2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（2x﹣2﹣1）＝0，
（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
可得 x﹣1＝0 或 2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2 ．
19．解：（1）由题意知，共有 4 种等可能的结果，其中恰好是“马”的结果有 1 种，
∴恰好是“马”的概率为 ．
故答案为： ；
（2）列表如下：
马 到 成 功
马 （马，到） （马，成） （马，功）
到 （到，马） （到，成）（到，功）
6
成 （成，马）（成，到） （成，功）
功 （功，马） （功，到） （功，成）
共有 12 种等可能的结果，其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的结果有 2 种，
∴取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率为 ．
20．解：（1）由作法可知：AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形 ADBC 的形状是菱形，
依据是：四条边相等的四边形为菱形；
故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形；
（2）证明：∵四边形 ADBC 的形状是菱形，
∴AC∥BE，
∴△AFC∽△BFE，
∴ ，
∵AC＝BD，BD＝DE，
∴BE＝2AC，
∴ ，
∴FB＝2AF，
∴AB＝3AF．
∴AF ．
21．解：（1）设该圆弧的圆心为 O，连接 OA，OC，OD，
∵C 为 AB 的中点，D 为弧 AB 的中点，
∴OD⊥AB，OC⊥AB，
∴O、C、D 三点共线，
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设该圆弧所在圆的半径为 r 米，则 OD＝OA＝r 米，
∵AB＝32 米，CD＝8 米，
∴ 米，OC＝OD﹣CD＝（r﹣8）米，
∵AC2+OC2＝OA2，
∴162+（r﹣8）2＝r2，
解得 r＝20，
∴该圆弧所在圆的半径为 20 米；
（2）连接 OB，
∵ ，
∴∠OAC＝37°，
∴∠AOC＝90°﹣37°＝53°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝106°，
∴ 的长为 （米）．
22．解：（1）∵抛物线 y＝mx2+4mx﹣1（m＜0），
∴对称轴为直线 x 2，
当 x＝﹣2 时，y＝4m﹣8m﹣1＝﹣4m﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4m﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣4m﹣1）；
（2）①∵抛物线 y＝mx2+4mx﹣1（m＜0）与 y 轴的交点为（0，﹣1），
∴OC＝1，
∵OB＝OC，
∴OB＝1，
∴B（﹣1，0），
把 B（﹣1，0）代入抛物线 y＝mx2+4mx﹣1（m＜0），可得 m﹣4m﹣1＝0，
8
解得 m ，
∴抛物线的解析式为 y x2 x﹣1；
②设 A，B 两点的横坐标为 x1，x2，则 AB＝|x1﹣x2|，x1，x2 是方程 mx2+4mx﹣1＝0 的两个根，
∴x1+x2＝﹣4，x1x2 ，
∵AB≤2，
∴0＜|x1﹣x2|≤2，
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）﹣4x1x2，
∴0＜16 4，
∴ m ．
23．（1）证明：∵BE∥AC，
∴∠E＝∠ACD，
∵ ，
∴∠ACD＝∠D，
∴∠D＝∠E．
（2）解：由（1）知，∠E＝∠BDC，
∴BD＝BE＝8，
连接 OC 交 BD 于点 H，连接 OD，
∵ ，
∴OC⊥BD， ，
在 Rt△CHD 中，CD＝2 ，
∴ ，
连接 OD，设 OD＝OC＝r，
9
在 Rt△OHD 中，由勾股定理得，OH2+DH2＝OD2，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
解得 r＝5，
即⊙O 的半径为 5．
24．解：（1）抛物线 y＝ax2+2x+b 的图象与一次函数 y＝﹣x+1 的图象交于 A，B 两点，
当 x＝0 时，得：y＝1，
∴A（0，1），
将点 A（0，1），B（6，﹣5）分别代入 y＝ax2+2x+b，得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）如图，过点 C 作 CE∥y 轴交直线 AB 于点 E，设点 C 坐标为 ，
∴点 E 坐标为（t，﹣t+1），
∴ ，
∵A（0，1），B（6，﹣5），
∴ ，
∴当 t＝3 时，S△ABC 有最大值，
此时 ，
将点 B 关于 y 轴的对称点 B′，再向上平移 3 个单位得到 B″（﹣6，﹣2），连接 B′N、B″M，B″C，
则 BN＝B′N，
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∵B′B″∥MN，B′B″＝MN，
∴B′B″MN 是平行四边形，
∴B′N＝B″M，
∴BN＝B″M，
∴CM+MN+BN＝CM+MN+B″M≥B′C+MN，
即当点 C、M、B″三点共线时，CM+MN+BN 有最小值，
∵ ，
∴ ，
即 CM+MN+BN 最小值为 ；
（3）存在以 C、M、Q 为顶点的三角形是等腰三角形；点 Q 的坐标为 或 ．理由如
下：
设直线 B′C 解析式为 y＝kx+n，将点 B′，点 C 的坐标分别代入得：
，
解得： ，
∴直线 B′C 解析式为 ，
当 x＝0 时，得：y＝1，
∴M（0，1），
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝2，
对于 ，当 x＝2 时，得： ，
设 Q（2，m）（m＞2），
当 CM＝CQ 时，依题意得：
，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴ ；
11
当 CM＝MQ 时，依题意得：
，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴ ；
当 QM＝CQ 时，依题意得：
，
解得： （不合题意，舍去），
综上所述，点 Q 的坐标为 或 ．
25．（1）解：①∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
故答案为：∠ACD，
②∵△ABC∽△ACD，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：∵∠ADF＝∠AEB＝90°，∠FAD＝∠BAE，
∴△AFD∽△ABE，
∴ ，
∴AF AE＝AD AB，
由（1）得 AC2＝AD AB，
∴AC2＝AF AE，
∴ ，
∴△ACF∽△AEC，
∴∠ACE＝∠AFC，
∵∠ADF＝∠ACB＝90°，
∴∠EAB＝∠ECB；
12
（3）解：∵∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠BCD，
∴△CEB∽△CBD，
，
∴CD CE＝CB2＝24，
如图，以点 A 为圆心，2 为半径作⊙A，则 C，D 都在⊙A 上，延长 CA 到 E0，使 CE0＝6，交⊙A 于 D0
，
则 CD0＝4，∠CDD0＝90°，
∴CD0 CE0＝24＝CD CE，
∴ ，
∵∠ECE0＝∠D0CD，
∴△ECE0∽△D0CD，
∴∠CDD0＝∠CE0E＝90°，
∴点 E 在过点 E0 且与 CE0 垂直的直线上运动，
过点 B 作 BE'⊥E0E 垂足为 E′，BE′即为最短的 BE，连接 CE'，
∵∠BCE0＝∠CE0E'＝∠BE'E0＝90°，
∴四边形 CE0E'B 是矩形，
∴E0E′＝BC＝2 ，
在 Rt△CE0E′中， ，
∴当线段 BE 的长度取得最小值时，线段 CE 的长为 2 ．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/26 22:27:30；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353
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