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广东省中山市小榄镇2024-2025学年下学期七年级中段检测数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·中山期中）春节申遗成功，至此我国共44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，其中剪纸是第一批列入国家级非物质文化遗产名录的，如图春节剪纸通过平移可得到的图案是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·中山期中）无理数的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·中山期中）如图，在“垃圾入桶”标志的部分平面示意图中，与的位置关系是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
4．（2025七下·中山期中）点在第四象限，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·中山期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·中山期中）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补
B．负数没有立方根
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．无理数可以用数轴上的点来表示
7．（2025七下·中山期中）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·中山期中）“无终”三孔布是山西省博物院内一藏品，是战国布币中最珍罕的品类．如图，建立平面直角坐标系标注一个三孔布，若A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·中山期中）已知线段轴且，点A的坐标为，则点B的坐标为（　　）
A． B．
C．或 D．或
10．（2025七下·中山期中）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊灯平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，那么支架与吊线所成锐角的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025七下·中山期中）64的平方根是　 　．
12．（2025七下·中山期中）如图，学校相对于公交车站的位置是　 　．
13．（2025七下·中山期中）下列数中：，，，，，，，所有无理数的和是　 　．
14．（2025七下·中山期中）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为　 　.
15．（2025七下·中山期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，，，，…，根据这个规律，第121个点的坐标为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025七下·中山期中）计算：
17．（2025七下·中山期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．
（1）画出三角形；
（2）若三角形是由三角形平移后得到的，且的坐标是，请你画出三角形，并写出点与点的坐标．
18．（2025七下·中山期中）如图，，，，试说明．
在下列解答中填空（理由或数学式）
解：∵
又∵（_________________________________________________）
∴
∴（___________________________________________________________）
∴
又∵
∴________（___________________________________________）
∴，
∵
∴
四、解答题（二）（本大题共三小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·中山期中）在平面直角坐标系中，已知点．
（1）若点M在y轴上，求点M的坐标；
（2）若点M到x轴的距离为3，求点M的坐标；
（3）若点M在第一或第三象限，到x、y轴的距离相等，求点M的坐标．
20．（2025七下·中山期中）如图，直线相交于点，过点作射线，作射线平分．
（1）若，求的度数；
（2）若的度数比的度数大，求的度数．
21．（2025七下·中山期中）综合与实践
课题 中山市景点卡片及封皮制作
图示、数据及计算 图示
相关数据说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为
计算结果
【任务驱动】某中学课外活动小组制做了精美的中山市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．
【实践操作】A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形包装封皮
【解决问题】请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
五、解答题（三）（本答题共两小题，第一小题13分，第二小题14分，共27分）
22．（2025七下·中山期中）如图，已知，A，B分别是和上一点，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，若点G是上一点，且，作的平分线交于点P，求与的数量关系；
（3）如图3，过点A作于点N，作交于点Q，平分交于点P，求的度数．
23．（2025七下·中山期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动．
（1）点A的坐标是________，点B的坐标是________，点C的坐标是________．
（2）在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标；
（3）在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：∵平移只改变图形的位置，不改变图形的大小，方向和形状 ，
∴不管怎么平移，得到的图形形状不发生改变，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选：B．
【分析】本题考查图形平移的性质及应用，平移的核心特征是仅改变图形的位置，图形的形状、大小和方向均保持不变，解题时只需依据这一特征，逐一判断选项中图案与原剪纸的形状、大小和方向是否一致，符合该特征的图案即为平移所得。
2．【答案】A
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：无理数的绝对值是．
故选：A．
【分析】本题考查实数的绝对值性质、算术平方根的概念，绝对值的基本性质为负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，解题时先判断的正负性，再根据绝对值性质直接求出其绝对值即可。
3．【答案】C
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：与的位置关系是同旁内角，
故选：C ．
【分析】本题考查三线八角中同旁内角的识别，同旁内角的定义为两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之内的角，解题时依据该定义，结合图形判断和的位置特征即可确定其位置关系。
4．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴点的坐标可能是，
故选：．
【分析】本题考查平面直角坐标系中第四象限内点的坐标符号特征，平面直角坐标系中第四象限的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，解题时根据这一特征逐一分析选项中点的横、纵坐标符号，符合特征的即为正确答案。
5．【答案】C
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算正确，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选C．
【分析】本题考查算术平方根、立方根以及平方根的运算性质，算术平方根的结果为非负数，即，立方根的结果与被开方数符号一致，即，解题时依据这些性质分别对每个选项进行计算，判断计算结果的正确性。
6．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：、“同旁内角互补”是假命题，没有限定条件：两直线平行，不符合题意；
、“负数没有立方根”是假命题，负数也有立方根，不符合题意；
、“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是假命题，没有限定条件：两直线平行，不符合题意；
、“无理数可以用数轴上的点来表示”是真命题，符合题意；
故选：．
【分析】本题考查真假命题的判断，涉及同旁内角、立方根、同位角、实数与数轴的关系等知识点，判断时需结合相关定理和概念，对每个命题逐一验证，同旁内角互补和同位角相等的前提是两直线平行，负数有且只有一个负的立方根，实数与数轴上的点一一对应，据此可确定真命题。
7．【答案】C
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质和邻补角的定义，两直线平行时同位角相等，邻补角的和为，解题时先利用平行线的性质求出与相等的同位角的度数，再结合邻补角的定义计算出的度数。
8．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：如图所示，A，B两点的坐标分别为，，建立坐标系如下：
∴点C的坐标为，
故选：B．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定，解题的关键是根据已知A、B两点的坐标确定坐标系的原点和坐标轴的刻度，再结合图形中点点C的位置，依据坐标系的刻度特征确定其横、纵坐标。
9．【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵轴，点A的坐标为，
∴点的横坐标相同，都是，
∵，
∴点的坐标为或；
故选：C．
【分析】本题考查平行于轴的直线上点的坐标特征，平行于轴的直线上的所有点横坐标相同，解题时先根据该特征确定点B的横坐标，再结合线段的长度为5，分点B在点A上方和下方两种情况计算点B的纵坐标。
10．【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即与所成锐角的度数为为，
故选：．
【分析】本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解决此类折线角度问题的常用方法是作平行线，解题时过点E作，利用平行公理的推论得到，再结合平行线的性质分别求出相关角的度数，最后通过角的和差计算出所求锐角的度数。
11．【答案】±8
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（±8）2=64，
∴64的平方根是±8．
故答案为：±8．
【分析】直接根据平方根的定义即可求解．
12．【答案】北偏东，500米
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：学校相对于公交车站的位置是：学校在公交车站北偏东，500米处，
故答案为：北偏东，500米．
【分析】本题考查用方向角和距离确定平面内点的位置，确定物体相对位置需明确方向角和实际距离，解题时结合图形中的方向标（北）和标注的角度、距离，直接描述学校相对于公交车站的方向和距离即可。
13．【答案】
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴无理数有，，
∴所有无理数的和为，
故答案为：．
【分析】本题考查无理数的识别和实数的加法运算，无理数是无限不循环小数，先对题中的数进行化简，再根据无理数的定义筛选出所有无理数，最后按照二次根式的加法法则计算这些无理数的和。
14．【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
15．【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为；
第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为；
第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为；
第四个正方形每条边上有5个点，连同前三个正方形共有个点，且终点为；
故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；
当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．
由规律可知，第10个正方形的终点为，前10个正方形一共有个点，则第121个点是第10个正方形的终点为．
故答案为：．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题时先分析点的排列规律，发现第个正方形对应的点的总数为，且偶数个正方形的终点坐标为，再结合，确定第121个点对应的正方形序号，进而得出其坐标。
16．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根、绝对值的化简，解题时先根据算术平方根的性质化简，根据立方根的性质化简立方根，根据绝对值的性质化简，再按照有理数的加减运算法则进行计算。
17．【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）解：如图所示，三角形即为所求，由图可得，，．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形的绘制和平移的坐标变化规律.
(1)根据三个顶点的坐标在坐标系中描点，再顺次连接即可得到三角形；
(2)先根据点和的坐标确定平移的方向和距离，再根据平移的坐标变化规律求出点、的坐标，最后描点连线画出平移后的三角形。
（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）解：如图所示，三角形即为所求，由图可得，，．
18．【答案】解：∵，
又∵（对顶角相等），
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴，
又∵，
∴（同角的补角相等），
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题时先利用对顶角相等将转化为，再根据同位角相等判定两直线平行得到，接着利用两直线平行同旁内角互补得到角的数量关系，结合已知条件利用同角的补角相等推出，进而判定，最后根据平行公理的推论得出。
19．【答案】（1）解：已知点，
由题意得，，
解得，，
；
（2）解：由题意得，，
则或，
解得，或－2，
或；
（3）解：点在第一或第三象限，
点的横纵坐标相等，
，
解得，，
．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征.
(1)利用y轴上的点横坐标为0的特征，列方程求解，再代入得到点M坐标；
(2)利用点到x轴的距离为纵坐标的绝对值的特征，列方程求解，分情况代入得到点M坐标；
(3)利用第一、三象限内到坐标轴距离相等的点横、纵坐标相等的特征，列方程求解，再代入得到点M坐标。
（1）解：已知点，
由题意得，，
解得，，
；
（2）解：由题意得，，
则或，
解得，或－2，
或；
（3）解：点在第一或第三象限，
点的横纵坐标相等，
，
解得，，
．
20．【答案】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：的度数比的度数大，
，
由（1）得，
，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查角平分线的定义、垂直的定义以及角的和差计算.
(1)先根据垂直的定义得，再利用角平分线的定义求出的度数，最后根据平角为，通过计算出结果；
(2)先根据题意设为，表示出，再结合平角的性质列方程，求解出的度数，进而求出的度数。
（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：的度数比的度数大，
，
由（1）得，
，
．
21．【答案】解：设长方形封皮的宽为，则长为，
根据题意可列方程，，
即，
解得：，
，
，
由正方形卡片的面积为，得正方形卡片的边长为，
，，
，
故正方形卡片能直接装进长方形封皮中．
【知识点】实数的大小比较；利用开平方求未知数；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题考查算术平方根的实际应用，解题时先设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形面积公式列方程求出的值，再根据正方形面积公式求出正方形卡片的边长，最后比较正方形边长与长方形宽的大小，若正方形边长小于长方形的宽，则卡片能装进封皮。
22．【答案】（1）证明：∵平分，平分，∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解；，
，
，
，
，
平分，
，
由（1）得，
；
（3）解：设，
平分，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，，
平分，
；
．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义的综合应用.
(1)根据角平分线的定义得到，，再结合平角的定义，通过角的和差计算出，从而证明垂直；
(2)先利用平行线的性质得到，结合已知求出的度数，再利用角平分线的定义将和分别表示为和的一半，进而求出两者的和；
(3)先设，利用角平分线和平行线的性质得到相关角的度数，再结合垂直的定义求出和的度数，最后通过角的和差计算出的度数。
（1）证明：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解；，
，
，
，
，
平分，
，
由（1）得，
；
（3）解：设，
平分，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，，
平分，
；
．
23．【答案】（1），，
（2）解：如图1，过点作于点，
设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，，
三角形PAB的面积是：，
分以下两种情况：
①如图，当点在点上方时，
，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为；
②如图，当点在点下方时，
，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：或．理由如下：
过点作，
，
，，
，
分以下两种情况讨论：
①如图，当点在点上方时，
有，
；
②如图，当点在点下方时，
有，
，
，
综上所述，或．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；算术平方根的性质（双重非负性）；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
解得，，，
则，，，
故答案为：，，；
【分析】本题考查非负数的性质、平面直角坐标系中三角形的面积计算、平行线的性质的综合应用。
(1)利用平方和算术平方根的非负性，列方程和，求解得到、的值，进而确定三点坐标；
(2)设运动时间为秒，分别表示出和的长度，再分点Q在点C上方和下方两种情况，根据三角形面积公式表示出和的面积，结合面积的倍数关系列方程求解，进而求出点P的坐标；
(3)过点Q作，利用平行线的性质得到，再结合得到，分点Q在点C上方和下方两种情况，利用平行线的性质分析和的数量关系。
（1）解：∵，
∴，，
解得，，，
则，，，
故答案为：，，；
（2）解：如图1，过点作于点，
设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，，
三角形PAB的面积是：，
分以下两种情况：
①如图，当点在点上方时，
，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为；
②如图，当点在点下方时，
，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：或．理由如下：
过点作，
，
，，
，
分以下两种情况讨论：
①如图，当点在点上方时，
有，
；
②如图，当点在点下方时，
有，
，
，
综上所述，或．
1 / 1广东省中山市小榄镇2024-2025学年下学期七年级中段检测数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·中山期中）春节申遗成功，至此我国共44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，其中剪纸是第一批列入国家级非物质文化遗产名录的，如图春节剪纸通过平移可得到的图案是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：∵平移只改变图形的位置，不改变图形的大小，方向和形状 ，
∴不管怎么平移，得到的图形形状不发生改变，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选：B．
【分析】本题考查图形平移的性质及应用，平移的核心特征是仅改变图形的位置，图形的形状、大小和方向均保持不变，解题时只需依据这一特征，逐一判断选项中图案与原剪纸的形状、大小和方向是否一致，符合该特征的图案即为平移所得。
2．（2025七下·中山期中）无理数的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：无理数的绝对值是．
故选：A．
【分析】本题考查实数的绝对值性质、算术平方根的概念，绝对值的基本性质为负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，解题时先判断的正负性，再根据绝对值性质直接求出其绝对值即可。
3．（2025七下·中山期中）如图，在“垃圾入桶”标志的部分平面示意图中，与的位置关系是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】C
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：与的位置关系是同旁内角，
故选：C ．
【分析】本题考查三线八角中同旁内角的识别，同旁内角的定义为两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之内的角，解题时依据该定义，结合图形判断和的位置特征即可确定其位置关系。
4．（2025七下·中山期中）点在第四象限，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴点的坐标可能是，
故选：．
【分析】本题考查平面直角坐标系中第四象限内点的坐标符号特征，平面直角坐标系中第四象限的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，解题时根据这一特征逐一分析选项中点的横、纵坐标符号，符合特征的即为正确答案。
5．（2025七下·中山期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算正确，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选C．
【分析】本题考查算术平方根、立方根以及平方根的运算性质，算术平方根的结果为非负数，即，立方根的结果与被开方数符号一致，即，解题时依据这些性质分别对每个选项进行计算，判断计算结果的正确性。
6．（2025七下·中山期中）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补
B．负数没有立方根
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．无理数可以用数轴上的点来表示
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：、“同旁内角互补”是假命题，没有限定条件：两直线平行，不符合题意；
、“负数没有立方根”是假命题，负数也有立方根，不符合题意；
、“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是假命题，没有限定条件：两直线平行，不符合题意；
、“无理数可以用数轴上的点来表示”是真命题，符合题意；
故选：．
【分析】本题考查真假命题的判断，涉及同旁内角、立方根、同位角、实数与数轴的关系等知识点，判断时需结合相关定理和概念，对每个命题逐一验证，同旁内角互补和同位角相等的前提是两直线平行，负数有且只有一个负的立方根，实数与数轴上的点一一对应，据此可确定真命题。
7．（2025七下·中山期中）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质和邻补角的定义，两直线平行时同位角相等，邻补角的和为，解题时先利用平行线的性质求出与相等的同位角的度数，再结合邻补角的定义计算出的度数。
8．（2025七下·中山期中）“无终”三孔布是山西省博物院内一藏品，是战国布币中最珍罕的品类．如图，建立平面直角坐标系标注一个三孔布，若A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：如图所示，A，B两点的坐标分别为，，建立坐标系如下：
∴点C的坐标为，
故选：B．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定，解题的关键是根据已知A、B两点的坐标确定坐标系的原点和坐标轴的刻度，再结合图形中点点C的位置，依据坐标系的刻度特征确定其横、纵坐标。
9．（2025七下·中山期中）已知线段轴且，点A的坐标为，则点B的坐标为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵轴，点A的坐标为，
∴点的横坐标相同，都是，
∵，
∴点的坐标为或；
故选：C．
【分析】本题考查平行于轴的直线上点的坐标特征，平行于轴的直线上的所有点横坐标相同，解题时先根据该特征确定点B的横坐标，再结合线段的长度为5，分点B在点A上方和下方两种情况计算点B的纵坐标。
10．（2025七下·中山期中）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊灯平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，那么支架与吊线所成锐角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即与所成锐角的度数为为，
故选：．
【分析】本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解决此类折线角度问题的常用方法是作平行线，解题时过点E作，利用平行公理的推论得到，再结合平行线的性质分别求出相关角的度数，最后通过角的和差计算出所求锐角的度数。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025七下·中山期中）64的平方根是　 　．
【答案】±8
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（±8）2=64，
∴64的平方根是±8．
故答案为：±8．
【分析】直接根据平方根的定义即可求解．
12．（2025七下·中山期中）如图，学校相对于公交车站的位置是　 　．
【答案】北偏东，500米
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：学校相对于公交车站的位置是：学校在公交车站北偏东，500米处，
故答案为：北偏东，500米．
【分析】本题考查用方向角和距离确定平面内点的位置，确定物体相对位置需明确方向角和实际距离，解题时结合图形中的方向标（北）和标注的角度、距离，直接描述学校相对于公交车站的方向和距离即可。
13．（2025七下·中山期中）下列数中：，，，，，，，所有无理数的和是　 　．
【答案】
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴无理数有，，
∴所有无理数的和为，
故答案为：．
【分析】本题考查无理数的识别和实数的加法运算，无理数是无限不循环小数，先对题中的数进行化简，再根据无理数的定义筛选出所有无理数，最后按照二次根式的加法法则计算这些无理数的和。
14．（2025七下·中山期中）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为　 　.
【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
15．（2025七下·中山期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，，，，…，根据这个规律，第121个点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为；
第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为；
第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为；
第四个正方形每条边上有5个点，连同前三个正方形共有个点，且终点为；
故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；
当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．
由规律可知，第10个正方形的终点为，前10个正方形一共有个点，则第121个点是第10个正方形的终点为．
故答案为：．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题时先分析点的排列规律，发现第个正方形对应的点的总数为，且偶数个正方形的终点坐标为，再结合，确定第121个点对应的正方形序号，进而得出其坐标。
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025七下·中山期中）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根、绝对值的化简，解题时先根据算术平方根的性质化简，根据立方根的性质化简立方根，根据绝对值的性质化简，再按照有理数的加减运算法则进行计算。
17．（2025七下·中山期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．
（1）画出三角形；
（2）若三角形是由三角形平移后得到的，且的坐标是，请你画出三角形，并写出点与点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）解：如图所示，三角形即为所求，由图可得，，．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形的绘制和平移的坐标变化规律.
(1)根据三个顶点的坐标在坐标系中描点，再顺次连接即可得到三角形；
(2)先根据点和的坐标确定平移的方向和距离，再根据平移的坐标变化规律求出点、的坐标，最后描点连线画出平移后的三角形。
（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）解：如图所示，三角形即为所求，由图可得，，．
18．（2025七下·中山期中）如图，，，，试说明．
在下列解答中填空（理由或数学式）
解：∵
又∵（_________________________________________________）
∴
∴（___________________________________________________________）
∴
又∵
∴________（___________________________________________）
∴，
∵
∴
【答案】解：∵，
又∵（对顶角相等），
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴，
又∵，
∴（同角的补角相等），
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题时先利用对顶角相等将转化为，再根据同位角相等判定两直线平行得到，接着利用两直线平行同旁内角互补得到角的数量关系，结合已知条件利用同角的补角相等推出，进而判定，最后根据平行公理的推论得出。
四、解答题（二）（本大题共三小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·中山期中）在平面直角坐标系中，已知点．
（1）若点M在y轴上，求点M的坐标；
（2）若点M到x轴的距离为3，求点M的坐标；
（3）若点M在第一或第三象限，到x、y轴的距离相等，求点M的坐标．
【答案】（1）解：已知点，
由题意得，，
解得，，
；
（2）解：由题意得，，
则或，
解得，或－2，
或；
（3）解：点在第一或第三象限，
点的横纵坐标相等，
，
解得，，
．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征.
(1)利用y轴上的点横坐标为0的特征，列方程求解，再代入得到点M坐标；
(2)利用点到x轴的距离为纵坐标的绝对值的特征，列方程求解，分情况代入得到点M坐标；
(3)利用第一、三象限内到坐标轴距离相等的点横、纵坐标相等的特征，列方程求解，再代入得到点M坐标。
（1）解：已知点，
由题意得，，
解得，，
；
（2）解：由题意得，，
则或，
解得，或－2，
或；
（3）解：点在第一或第三象限，
点的横纵坐标相等，
，
解得，，
．
20．（2025七下·中山期中）如图，直线相交于点，过点作射线，作射线平分．
（1）若，求的度数；
（2）若的度数比的度数大，求的度数．
【答案】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：的度数比的度数大，
，
由（1）得，
，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查角平分线的定义、垂直的定义以及角的和差计算.
(1)先根据垂直的定义得，再利用角平分线的定义求出的度数，最后根据平角为，通过计算出结果；
(2)先根据题意设为，表示出，再结合平角的性质列方程，求解出的度数，进而求出的度数。
（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：的度数比的度数大，
，
由（1）得，
，
．
21．（2025七下·中山期中）综合与实践
课题 中山市景点卡片及封皮制作
图示、数据及计算 图示
相关数据说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为
计算结果
【任务驱动】某中学课外活动小组制做了精美的中山市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．
【实践操作】A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形包装封皮
【解决问题】请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
【答案】解：设长方形封皮的宽为，则长为，
根据题意可列方程，，
即，
解得：，
，
，
由正方形卡片的面积为，得正方形卡片的边长为，
，，
，
故正方形卡片能直接装进长方形封皮中．
【知识点】实数的大小比较；利用开平方求未知数；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题考查算术平方根的实际应用，解题时先设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形面积公式列方程求出的值，再根据正方形面积公式求出正方形卡片的边长，最后比较正方形边长与长方形宽的大小，若正方形边长小于长方形的宽，则卡片能装进封皮。
五、解答题（三）（本答题共两小题，第一小题13分，第二小题14分，共27分）
22．（2025七下·中山期中）如图，已知，A，B分别是和上一点，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，若点G是上一点，且，作的平分线交于点P，求与的数量关系；
（3）如图3，过点A作于点N，作交于点Q，平分交于点P，求的度数．
【答案】（1）证明：∵平分，平分，∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解；，
，
，
，
，
平分，
，
由（1）得，
；
（3）解：设，
平分，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，，
平分，
；
．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义的综合应用.
(1)根据角平分线的定义得到，，再结合平角的定义，通过角的和差计算出，从而证明垂直；
(2)先利用平行线的性质得到，结合已知求出的度数，再利用角平分线的定义将和分别表示为和的一半，进而求出两者的和；
(3)先设，利用角平分线和平行线的性质得到相关角的度数，再结合垂直的定义求出和的度数，最后通过角的和差计算出的度数。
（1）证明：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解；，
，
，
，
，
平分，
，
由（1）得，
；
（3）解：设，
平分，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，，
平分，
；
．
23．（2025七下·中山期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动．
（1）点A的坐标是________，点B的坐标是________，点C的坐标是________．
（2）在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标；
（3）在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：如图1，过点作于点，
设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，，
三角形PAB的面积是：，
分以下两种情况：
①如图，当点在点上方时，
，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为；
②如图，当点在点下方时，
，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：或．理由如下：
过点作，
，
，，
，
分以下两种情况讨论：
①如图，当点在点上方时，
有，
；
②如图，当点在点下方时，
有，
，
，
综上所述，或．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；算术平方根的性质（双重非负性）；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
解得，，，
则，，，
故答案为：，，；
【分析】本题考查非负数的性质、平面直角坐标系中三角形的面积计算、平行线的性质的综合应用。
(1)利用平方和算术平方根的非负性，列方程和，求解得到、的值，进而确定三点坐标；
(2)设运动时间为秒，分别表示出和的长度，再分点Q在点C上方和下方两种情况，根据三角形面积公式表示出和的面积，结合面积的倍数关系列方程求解，进而求出点P的坐标；
(3)过点Q作，利用平行线的性质得到，再结合得到，分点Q在点C上方和下方两种情况，利用平行线的性质分析和的数量关系。
（1）解：∵，
∴，，
解得，，，
则，，，
故答案为：，，；
（2）解：如图1，过点作于点，
设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，，
三角形PAB的面积是：，
分以下两种情况：
①如图，当点在点上方时，
，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为；
②如图，当点在点下方时，
，
三角形的面积是：，
，
解得，
，
，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：或．理由如下：
过点作，
，
，，
，
分以下两种情况讨论：
①如图，当点在点上方时，
有，
；
②如图，当点在点下方时，
有，
，
，
综上所述，或．
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