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1.5 第 2 课时 三角形三个内角的平分线
A基础题
知识点1 三角形角平分线的性质与判定
1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 ( )
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
2.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB 的平分线相交于点O，下面结论中正确的是 ( )
A.∠1>∠2
B.∠1=∠2
C.∠1<∠2
D.∠1=2∠2
3.如图，点 O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC= ( )
A.110° B.115° C.125° D.130°
4.如图,在△ABC中,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点 E.若S△ABC=7,DE=2,AB=4,则 AC的长是 .
5.如图，已知 AD 是BC 的垂直平分线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC于点 F.求证:DE=DF.
知识点2 三角形角平分线的应用
6.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一个小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置.
中档题
7.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB 的平分线交BC 于点D，DE是AB 的垂直平分线，垂足为 E.若 BC=3,则 DE 的长为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.如图，直线 l ，l ，l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，它到三条公路的距离相等，则可修建的地址有( )
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
9.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB 的平分线交于点 O,连接 AO 并延长交 BC 于点 D,OH⊥BC于点 H.若∠BAC=60°,OH=5,则OA= .
10. 如图，已知在△ABC中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,交 BC 于点 D,过点 D 作 DE⊥BA 于点E,点 F 在AC 上,且 BD=DF.
(1)求证:AC=AE.
(2)若AB=7.4,AF=1.4,求线段 BE 的长.
综合题
11.如图,已知在△ABC 中,点 D 在边 BC 上,∠BAD=100°,∠ABC 的平分线交 AC 于点E,过点 E作 EF⊥AB,垂足为 F,且∠AEF=50°,连接 DE.
(1)求证:DE平分∠ADC.
(2)若AB=7,AD=4,CD=12,且.S△ACD=20,则△ABE的面积为 .
微专题 5 与角平分线有关的面积问题
由角平分线的性质得到面积与边长的关系
【结论1】如图1,在△ABC中,AD 是它的角平分线，则S△ABD : S△ACD =AB:AC=BD:DC.
【结论2】如图 2,点 E 在△ABC 的角平分线AD 上的任何位置(不与点 A 重合)，则S△ABE:S△ACE=AB:AC.
针对训练
1.如图,△ABC的三边AB,AC,BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则
2.如图,已知△ABC的周长是20,O为∠ABC与∠ACB 的平分线的交点,且OD⊥BC 于点 D.若 OD = 2,则 △ABC 的面积是
【方法指导】 (其中 r为三角形三条角平分线的交点到三边的距离)。
第 2 课时 三角形三个内角的平分线
1. C 2. B 3. A 4.3
5.证明:∵AD 是BC 的垂直平分线,∴AB=AC,AD⊥BC.∴∠BAD=∠CAD.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
6.解：图略，分别作三角形绿地两个角的平分线交于点 P，点P 即为所求.
7. A 8. D 9.10
10.解:(1)证明:∵∠C=90°,∴DC⊥AC.∵AD平分∠BAC,DE⊥BA,∴DC=DE.∵AD=AD,∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL).∴AC=AE.(2)∵DF=DB,DC=DE,∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL).∴FC=BE.设FC=x,则BE=x.∵AB=7.4,AF=1.4,∴AC=1.4+x,AE=7.4-x.由(1)得,AC=AE,∴1.4+x=7.4-x,解得x=3.∴BE=3.
11.解:(1)证明:过点 E作EG⊥AD 于点G,EH⊥BC于点 H.∵EF⊥AB,∠AEF=50°,∴∠FAE=90°-50°=40°.∵∠BAD=100°,∴∠CAD=180°-100°-40°=40°.∴∠FAE=∠CAD=40°,即 CA 为∠DAF的平分线.又∵EF⊥AB,EG⊥AD,∴EF= EG.∵BE 是∠ABC的平分线,∴EF=EH.∴EG=EH.∴点 E在∠ADC的平分线上.∴DE平分∠ADC.(2)
微专题5
1.2: 3:4 2.20

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