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1.5第 1课时 角平分线的性质与判定
基础题
知识点 1 角平分线的性质定理
1.如图,OC平分∠AOB,点P在OC 上,PD⊥OB,PD=2,则点 P 到OA的距离是 .
2.如图,已知OC平分∠AOB,P是OC 上一点,PH⊥OB 于点 H,Q是射线OA 上的一个动点.若 PH=5,则 PQ 的最小值为 .
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点 E.若 CD=3,BD=5,则 BE 的长为 .
4.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△ACD= .
5.(2024·云南)已知AF 是等腰三角形ABC 底边 BC 上的高.若点F到直线 AB 的距离为3，则点 F 到直线AC 的距离为 ( )
A. B.2 C.3 D.
6.如图,P 是∠AOB 的平分线上一点,PC⊥OA于点C,PD⊥OB 于点 D,连接 CD 交 OP 于点E，则下列结论不一定正确的是 ( )
A. PC=PD
B.OC=OD
C. OP 垂直平分CD
D. OE=CD
知识点2 角平分线的判定定理
7.在△ABC中，将两个完全一样的三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点 M 处，则点 M 一定在 ( )
A.∠A的平分线上
B.边 AC 的高上
C.边 BC的垂直平分线上
D.边 AB 的中线上
8.如图，点O 在一块直角三角板ABC 上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB 于点M,ON⊥BC于点 N.若OM=ON,则∠ABO= .
9.如图，AD 是△ABC的中线,DF⊥AC,DE⊥AB,垂足分别为 F,E,BE=CF.求证:AD平分∠BAC.
中档题
10.甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，则作图正确的是 ( )
问题：如图，某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在道路边AB上建一个休息点M，使它到边AC，BC的距离相等，在图中确定休息点M的位置.
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
11.如图，小明将两把完全相同的长方形直尺放置在∠AOB 上，两把直尺的接触点为 P，边OA 与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P 在这把直尺上的读数分别是 2，5(单位：cm),则OC的长度是 .
12.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC 交 BC 于点 D,DE⊥AB,垂足为 E.若DE=1,则 BC 的长为 .
13.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC 上一点.若BD 是∠ABC 的平分线,则AD= .
14.如图,已知 C 为射线 AD 上一点,∠A=∠B,PA=PB.求证:CP 平分∠BCD.
模型归纳
与角平分线有关的双垂线模型
已知 Q 是∠MON 平分线上的一点.
(1)如图 1,若 QE⊥OM,则可 作 QF⊥ON，构造轴对称的全等.
(2)如图2，若题干中角平分线上的点到角的两边的垂线段未知，常过已知点作两条垂线段,如作 QE⊥OM,QF⊥ON,从而证QE=QF.
综合题
15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点 D,∠BAC 的平分线交 CD 于点 E,EF∥BC交AB 于点 F,连接 CF.下列结论:①∠ACD=∠B;②AF= AC;③CF 平分∠BCD;④S△BCF : S△DCF=BC:CD.其中正确结论的序号有 .
第1课时角平分线的性质与判定
1.2 2.5 3.4 4.1 5. C 6. D 7. A 8.15°
9.证明:∵AD 是△ABC的中线,∴BD=CD.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED = ∠CFD = 90°. ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF.又∵DE⊥AB, AD平分∠BAC.
10. C 11.3cm 12. 2+ 13.5
14.证明:过点P 作PE⊥BC于点E,PF⊥AD于点F.则∠BEP=∠AFP=90°.∴△BEP≌△AFP(AAS).∴PE=PF.又∵PE⊥BC,PF⊥AD,∴CP平分∠BCD.
15.①②③④

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