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1.4第 1课时 线段垂直平分线的性质与判定
基础题
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
1.如图,直线 CD 是线段AB 的垂直平分线,P为直线 CD 上的一点.已知线段 PA=3cm,则线段 PB 的长为 ( )
A.6 cm
B.5cm
C.4 cm
D.3c m
2.如图,在四边形 ABCD 中,AC 垂直平分BD,垂足为 E，下列结论不一定成立的是( )
A. AB=AD B. AC平分∠BCD
C. BC=CD D. AD=CD
3.如图,在△ABC 中,∠C=90°,ED 垂直平分AB,交 BC 于点 E,交 AB 于点 D.若 BE=13,CE=5,则AC= .
4.如图,在△ABC 中,AC 的垂直平分线交 AC于点D,交 BC 于点E,连接AE.若∠B=40°,∠C=30°,则∠BAE 的度数为 .
5.如图，在△ABC中，AB 的垂直平分线分别交AB,AC于 D,E 两点,且 AC=8,BC=5,则△BCE的周长为 .
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
6.如图,P是△ABC内的一点.若 PB=PC,则( )
A.点 P 在∠ABC的平分线上
B.点 P 在∠ACB 的平分线上
C.点 P 在边AB 的垂直平分线上
D.点 P 在边 BC 的垂直平分线上
7.如图,AC=AD,BC=BD,则 ( )
A. AB 垂直平分CD.
B. CD 垂直平分AB
C. AB 与CD 互相垂直平分
D. CD平分∠ACB
8.如图，在△ABC中，已知点 D 在边 BC 上,且 BD+AD=BC.求证：点 D 在AC 的垂直平分线上.
易错点考虑问题不全面导致漏解
9.在△ABC中,AB=AC,边 AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为 50°，则∠C 的度数为 .
中档题
10.如图,∠ABC=52°,AD 是线段 BC 的垂直平分线,垂足为 D,∠ABC的平分线 BE 交 AD 于点E,连接 EC,则∠AEC 的度数是 .
11.(2025·广西)如图,点 A,D 在 BC 同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD= 则AD=
12.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,CB=6，AB 的垂直平分线分别交AB,AC 于点 D,E,则CE= .
13.如图,在△ABC 中,EF 是 AC 的垂直平分线,AD⊥BC,D为BE 的中点.
(1)求证:AB=CE.
(2)若∠C=32°,求∠BAC 的度数.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,过点 B 作AB的垂线，过点 C作AC 的垂线，两条垂线相交于点 P,作直线 AP.
(1)求证:AP 垂直平分BC.
(2)若AP=5,AB=4,求 BC 的长.
综合题
15.如图,在△ABC 中,AB=6,AC=8,EF 垂直平分BC,P为直线EF上的任意一点，则AP+BP的最小值是( )
A.8 B.10 C.12 D.14
【变式】如图，在等腰三角形 ABC中， 腰AC 的垂直平分线 EF 分别交边AC,AB于点E,F.若 D为边 BC 的中点,M为线段 EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为 .
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
1. D 2. D 3.12 4.80° 5.13 6. D 7. A
8.证明:∵BD+AD=BC,BD+CD=BC,∴AD=CD.∴点 D在AC 的垂直平分线上.
9.20°或70° 10.116° 11. -1 12.
13.解:(1)证明:连接AE.∵AD⊥BC,D 为BE 的中点,∴AD 垂直平分BE.∴AB=AE.∵EF垂直平分AC,∴AE=CE.∴AB=CE.(2)∵AE=CE,∴∠CAE=∠C=32°.∴∠AEB=∠CAE+∠C=64°.∵AB=AE,∴∠B=∠AEB=64°.∴∠BAC=180°-∠B-∠C=84°.
14.解:(1)证明:∵PB⊥AB,PC⊥AC,∴∠ABP =∠ACP=90°.在Rt△ABP和Rt△ACP 中, ∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL).∴BP=CP.∵AB=AC,∴ P 垂直平分BC.(2)∵AB⊥PB,∴∠ABP=90°.∵AP=5,AB=4,∴PB==3.设AP 与BC 相交于点O,∵AP 垂直平分BC,∴BC=2BO.
在 Rt△ABP 中,S△ABP =
15. A 【变式】 10

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