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有理数——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．如图，检测4个足球，超过标准质量的克数记为正数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
2．4的相反数是
A．4 B．﹣4 C． D．
3．下表记录了某城市一天四个时刻的气温．
10时 12时 14时 16时
在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温在（　　）
A．10时 B．12时 C．14时 D．16时
4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．若，，且，那么的值为（　　）
A．或 B．2或 C．10或 D．2或10
6．－2的相反数是（　　）
A． B．2 C． D．-2
7．比较大小：　 　1（填“，或”符号）
8．计算：
（1）
（2）
9．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护．某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：
，，，，，，，．
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶．
（1）B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？
（2）如果这天汽车共耗油升，那么这辆汽车平均每千米耗油是多少升？
10．已知，互为相反数，和互为倒数，的绝对值为，求．
二、能力题
11．若，反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
12．下列有理数计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
13．计算结果等于2的是（　　）
A． B． C． D．
14．如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　）
A．9 B． C． D．
15．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则　 　．
16．如果80m表示向右走80m，那么　 　表示向左走60m.
17．计算：
（1）
（2）
18．计算：
（1）
（2）
19．计算：．
三、拓展题
20．根据所学数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示.
①A点表示的数是　 　；AB之间的距离是　 　；
②将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是　 　；
（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合.
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　 　cm？
②图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　；
（3）知识应用：如图3由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C所表示的数为-37，
根据琪琪的想法，完成一下问题：
①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为 ▲ ，
②求奶奶现在多少岁了.
21．先阅读两则材料，然后解决问题：
材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解：
令①，
则②，
得：，
即．
材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；．
【解决问题】
（1）填空：______；______；
（2）已知，且，求的值；
（3）设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值．
22．“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程， “归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论．
（1）【探究】
数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对1+2+3+4+…+n的结果进行探究．具体操作如图：
分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下：直观发现： 小正方形的数量和依次为1×2， 2×3， 3×4， 4×5， …因此空白部分的小正方形的数量和依次为
请你归纳总结： 1+2+3+4+5+…+n=　 　；
（2）【迁移】
数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图：
①连续奇数的和
请你归纳总结： 1+3+5+7+…+(2n-1)= ▲ ；
②连续偶数的和
请你在网格中画出第④个图，并归纳总结： 2+4+6+8+…+2n= ▲ ；
（3）【应用】
利用以上结论，计算(101+103+105+…+199)+(202+204+206+…+300)的值．
23．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离　 　，线段的中点C表示的数为　 　；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　 　；点Q表示的数为　 　；
（2）求当t为何值时，；
（3）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：|-3.4|=3.4，|+2.2|=2.2，|-0.6|=0.6，|+0.8|=0.8，而0.6<0.8<2.2<3.4，故-0.6g最接近标准质量.
故答案为：C .
【分析】分别求出各选项的数，比较大小即知-0.6g最接近准备质量.
2．【答案】B
【解析】【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0.因此4的相反数是﹣4.
故选B.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，|-1|=1，而 2＞1，
∴-2＜-1＜0＜3，
∴在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温为10时的-2℃.
故答案为：A.
【分析】根据“正数大于零，0大于负数，两个负数，绝对值大的比较小”比较出当天4个时刻气温的大小即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：由数轴可知：
A：，故A 错误；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：，∴，故D正确；
故选：D
【分析】根据数轴上点的位置关系可得，再逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：，，
，，
，
或
当，时，，
当，时，，
综上，的值为或．
故选：A．
【分析】根据绝对值得定义求出x，y的可能得值，结合确定x，y的具体取值，分情况计算出x-y的值即可.
6．【答案】B
【解析】-（-2 )=2
所以-2的相反数为2
故答案选B
7．【答案】<
【解析】【解答】-2<1，
故答案为：<.
【分析】利用正数大于负数的有理数比较大小的方法分析求解即可.
8．【答案】（1）解：
；

（2）解：
．
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减即可求出答案.
（2）根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方即可求出答案.
（1）
；
（2）
．
9．【答案】（1）解：（千米），
答：B地在A地的南方，他们相距5千米；
（2）解：设这辆汽车平均每千米耗油是升，
由题意得，
即，解方程得，
答：这辆汽车平均每千米耗油是升．
【解析】【分析】(1)要确定B地相对于A地的位置和距离，需要将当天汽车的行驶记录相加，根据结果的正负判断方向，绝对值表示距离；
(2)要计算平均每千米的耗油量，需要先求出汽车行驶的总路程，再用总耗油量除以总路程.
10．【答案】解：∵，互为相反数，
∴，
∵和互为倒数，
∴，
∵的绝对值为，
∴，
∴，
∴
．
【解析】【分析】
先利用定义和性质得出，，，再代入求值即可解答．
11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴-k>0，即k<0
∴反比例函数的图象在第二、四象限
故答案为：C
【分析】根据绝对值的非负性可得k<0，再根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：A、（-5）+（+3）=-2≠（-8），此选项不符合题意；
B、-3÷（）=3×3=9，此选项符合题意；
C、-（-1）3=-（-1）=1≠3，此选项不符合题意；
D、-（）+=，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据有理数的加法法则“绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”计算即可求解；
B、根据除法的意义“除以一个数等于乘以这个数的倒数”可将除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则计算即可求解；
c 、根据有理数的乘方法则计算即可求解；
D、根据有理数的加法法则"同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加"计算即可求解.
13．【答案】A
【解析】【解答】解：A、|-2|=2，故A符合题意；
B、-|2|=-2，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、（-2）0=1，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用绝对值的性质，可对A，B作出判断；利用负整数指数幂的性质进行计算，可对C作出判断；再根据任何不等于0的零次幂为1，可对D作出判断.
14．【答案】D
【解析】【解答】解：数轴上点A所表示的数为9，而9的相反数为-9.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点读出点A所表示的数，进而根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案.
15．【答案】1
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出抛物线的解析式，后令，列求出x值解答即可．
16．【答案】-60 m
【解析】【解答】解：∵80m表示向右走80m，
∴向左走60m可表示为：-60m.
故答案为：-60m.
【分析】根据相反意义的量的定义“在现实生活中存在着各种各样的量，其中有一种量，他们的属性相同，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作相反意义的量”并结合题意即可求解.
17．【答案】（1）解：原式=-1+（-8）×（）-6
=-1+4-6
=-3
（2）解：原式=（）×（-36）+ ×（-36）+（） ×（-36）
=18-27+30
=21
【解析】【分析】（1）先算有理数的乘方，绝对值，再算乘除，最后算加减即可；
（2）根据乘法分配律进行计算即可.
（1）解：
．
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：
，
.
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法（先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加）分析求解即可；
（2）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可.
（1）解：
，
；
（2）解：
．
19．【答案】解：原式
．
【解析】【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算法则，先计算乘方、再计算绝对值，最后进行加减运算，即可得到答案．
20．【答案】（1）-2；4；-2
（2）8；14；22
（3）解：①119；
②妙妙和奶奶的年龄差为：[119-（-3）]÷3=52（岁），
∴奶奶现在的年龄：119-52=67（岁）
【解析】【解答】（1）据数轴知，A表示的数是-2，B表示的数是2，
∴AB=2-(-2)=4，
将 点B向左平移4个单位 ，则2-4=-2，
此时 该点表示的数是 -2.
故答案为：①-2；4；②-2.
（2）①设 点A所表示的数是 a， 点B所表示的数是 b，木棒长为 （b-a） cm，
则b+（b-a）=30，6+（b-a）=a，
∴a=14，b=22，
∴x=b-a=8 cm，
故答案为：①8；②14；22.
【分析】（1）根据有理数在数轴上的表示方法及数轴相关知识点完成作答.
（2）根据题意列出方程组求解得a、b，从而确定木棒的长度.
（3）根据（2）的结论知：119与（-37）得差除以3即为两人的年龄差，再根据年龄差计算奶奶的年龄.完成作答.
21．【答案】（1）
（2）解：，且，
，
；
（3）解：，
，
，
，
线段的长为4，
，
，
当时，
，
当时，
，
综上所述，M的值为．
【解析】【解答】解：（1）解：，，
故答案为：；
【分析】
本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键；
（1）根据题设中新定义的运算法则，直接列出算式，进行计算求值，即可得到答案；
（2）根据题意，先判断y的范围，结合题设中新定义，列出算式，进行化简，整体代入求值，即可得到答案；
（3）根据非负性，求得，结合新定义，得到，求出a的值，再根据数轴上两点之间的距离公式，列式求得，分类讨论，列式求解，即可得到答案.
（1）解：，，
故答案为：；
（2）解：，且，
，
；
（3）解：，
，
，
，
线段的长为4，
，
，
当时，
，
当时，
，
综上所述，M的值为．
22．【答案】（1）
（2）①n2
②如图：
n(n+1)
（3）解：
．
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）①由图片知：
第1个图案所代表的算式为：，
第 2 个图案所代表的算式为：；
第3个图案所代表的算式为：；
第4个图案所代表的算式为：；
；
∴第个图案所代表的算式为： ；
故答案为：；
②第④个图，如图：
由图片知：
第1个图案所代表的算式为：，
第 2 个图案所代表的算式为：；
第3个图案所代表的算式为：；
第4个图案所代表的算式为：；
；
∴第个图案所代表的算式为：；
故答案为：；
【分析】本题考查图形变化与数字规律的归纳，以及利用规律进行有理数混合运算，核心是“数形结合”和“归纳推理”思想。
(1)根据图形组成的新正方形数量与空白部分小正方形数量的关系，空白部分数量即为连续自然数的和，归纳出的规律；
(2)①观察连续奇数和的图形，发现图形是边长为项数的正方形，正方形面积即为奇数和，归纳出规律；
②先根据前面的图形规律画出第④个图，再观察连续偶数和的结果与项数的关系，归纳出规律；
(3)将所求式子转化为“1到199的连续奇数和减去1到99的连续奇数和”加上“2到300的连续偶数和减去2到200的连续偶数和”，再利用前面归纳的规律分别计算各部分，最后求和得到结果。
23．【答案】（1）10；3；；
（2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，∴，
又∵，
∴，
解得：或3，
∴当或3时，；
（3）解：不发生变化，理由如下：∵点M为的中点，点N为的中点，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴．
【解析】【解答】解：（1）①由题意得：，线段AB的中点C为，
故答案为：10，3；
②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：；
故答案为：，；
【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式，结合两点中点公式，进行计算，即可求解；②根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，列出算式，进行求解，即可得到结果；
（2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可；
（3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，结合题设中给定的两点间距离公式，即可得出线段的长度．
（1）解：①由题意得：，线段AB的中点C为，
故答案为：10，3；
②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：；
故答案为：，；
（2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，
∴，
又∵，
∴，
解得：或3，
∴当或3时，；
（3）解：不发生变化，理由如下：
∵点M为的中点，点N为的中点，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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