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无理数——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有六种正方形纸片，面积分别是3，4，5，6，8，10，选取其中三块（不可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．3，4，5 B．3，5，8 C．4，6，10 D．6，8，10
2．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
3．下列各数中，介于6和7之间的数是(　　)
A． B． C． D．
4．比较下列各组数的大小，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．9的平方根是±3，用下列式子表示正确的是（　　）
A．± ＝3 B． ＝±3 C．± ＝±3 D． ＝3
6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
7． =　 　．
8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
9．计算：．
10．计算： ．
11．（1）计算：；
（2）在解分式方程时，小亮的解法如下：
第一步：方程两边都乘，得．
第二步：解这个方程，得．
第三步：经检验，为原方程的解．
①在上述解方程过程中，从第______________步开始错误；
②错误的原因是____________________．
二、能力题
12．如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
13．将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．正方形A的面积为4．拼接后的大正方形的面积是5，图1中原长方形的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
14．若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简等于（　　）
A．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定
15．有意义的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
16．估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
17．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
18．若 a ， b 为两个连续的正整数，且 a < < b，则 a + b 等于（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
19．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
20．16的平方根是　 　，算术平方根是　 　.
21．已知的整数部分是a，小数部分是b，则　 　．
22．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简　 　．
23．计算：
（1）
（2）
24．若一个正数a的两个平方根分别是和．
（1）求a和b的值；
（2）求的平方根．
三、拓展题
25．若实数的立方根为2，且实数，，满足
（1）求的值；
（2）若，，是的三边，试判断三角形的形状，并说明理由．
26．小明在解决问题：已知求的值.
他是这样分析与解的：
∴
∴.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）　 　，　 　.
（2）化简：
（3）若请按照小明的方法求出的值.
27．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请证明2，8，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
（2）已知4，a，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．
28．阅读材料，解答问题：
材料：，即：，的整数部分为2，小数部分为．
问题：已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分．
（1）的小数部分为 ．
（2）求的平方根．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长为，
∵，
∴不能构成直角三角形，A选项不符合题意；
B、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴围成直角三角形的面积为；
C、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴能构成直角三角形，
∴围成的面积为；
D、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴不能构成直角三角形，D选项不符合题意；
∵，
∴要使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，5，8，
故选：B ．
【分析】根据勾股定理逆定理，结合正方形性质逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，故B符合题意；
C、∵，
∴，故C不符合题意；
D、∵，
∴，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先估算出每个选项的无理数在哪两个整数之间，然后根据估算的范围得到答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A中， ，故错误；
B中， ，故错误；
C中， ，故正确；
D中， ，故错误；
故答案为：C.
【分析】A、根据算术平方根的定义，把5化成的形式，由，即可得出，故A错误；
B、根据立方根的定义，把2化成的形式，由，即可得出，故B错误；
C、根据立方根的定义，把-2化成的形式，由，即可得出，故C正确；
D、由，根据不等式的性质，在不等式的两边同时加上，不等号的方向不变，得出，故D错误.
逐项进行判断，得出正确的结论，即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：± ＝±3．
故答案为：C．
【分析】根据平方根的定义进行解答.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，与是同类二次根式，故A符合题意；
B、与不是同类二次根式，故B不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式后，然后根据同类二次根式的定义：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，逐项进行判断即可.
7．【答案】－4
【解析】【解答】解： ，
故答案为：－4.
【分析】根据立方根的定义即可求解。
8．【答案】且
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：且．
故答案为：且．
【分析】利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组，再求出x的取值范围即可.
9．【答案】解：原式
【解析】【分析】先计算二次根式的乘法运算，化简二次根式，绝对值，零次幂，再计算即可．
10．【答案】解：原式=1+ ﹣2× +4
=5
【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
11．【答案】（1）
；
（2）①一；②方程右边的这一项漏乘了
【解析】（2）观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的这一项漏乘了．
故答案为：一；方程右边的这一项漏乘了．
【分析】（1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案；
（2）观察解题过程可知，第一步在去分母时，方程右边的这一项漏乘了，据此可得答案．
12．【答案】B
【解析】【解答】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示，
∴左起第一个直角三角形的斜边长为，
第二个直角三角形的斜边长为，
第三个直角三角形的斜边长为，
第四个直角三角形的斜边长为，
，
∴第九个直角三角形的斜边长为，
∴这个图形的周长（实线部分）为，
∵，，
∴，即，
∴，
∴最接近的是13，
故答案为：B ．
【分析】根据勾股定理算出前几个直角三角形斜边得长得出规律第n个直角三角形的斜边长为，据此得到第九个直角三角形的斜边长，进而得到该图形周长，根据无理数的估算求出的范围，进而根据不等式性质求出+10的范围，即可判断得出答案.
13．【答案】A
【解析】【解答】解：设C的长为x，宽为y，则B的长为，宽为y，
∵A的面积为4，
∴，
∵拼接后的大正方形的面积是5，
∴，
∴，
∴图1中原长方形的长为：，宽为，
∴图1中原长方形的周长为，
故选：A．
【分析】本题考查列代数式，以及算术平方根的运算，设C的长为x，宽为y，得到B的长为，宽为y，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根，找到x，y之间的关系式，求得x和y的值，结合周长公式，列出算式，即可得到答案.
14．【答案】B
【解析】【解答】解：∵方程x2＋4x＋a＝0无实根，
∴Δ＝42﹣4a＜0，
∴a＞4，
＝＝|4﹣a |，
∵a＞4，
∴|4﹣a |＝a﹣4，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程无实根的条件可得△<0，据此列不等式求出a的范围，然后根据二次根式的性质“”进行化简即可.
15．【答案】D
【解析】【解答】据题意得：，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得，据此求出的取值范围，进而可确定数轴的画法．
16．【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C
【分析】估算的范围，结合不等式的性质即可求出答案.
17．【答案】B
【解析】【解答】解：A、因为，所以，则，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
B、因为，所以，则，符合数轴上手掌遮挡点的位置．
C、因为，所以，是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
D、因为，所以，是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
故选：B．
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
18．【答案】B
【解析】【解答】解：∵a＜ ＜b，且a，b为两个连续的正整数，
∴a=3，b=4，
∴a+b=7．
故答案为：B．
【分析】直接利用 的近似值得出a，b的值，进而得出答案
19．【答案】D
【解析】【解答】解：A．不是同类二次根式，不能合并，原计算错误；
B．，原计算错误；
C．，原计算错误；
D．，原计算正确；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法和完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.
20．【答案】±4；4
【解析】【解答】∵42=16，( 4)2=16，
∴16的平方根为±4；
算术平方根为4.
故答案为±4，4.
【分析】一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0，根据平方根和立方根的意义可求解。
21．【答案】2
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据估算无理数大小的方法可得，从而求出其整数部分a，小数部分是b，然后代入，计算求解即可．
22．【答案】
【解析】【解答】解：由题可得，，
∴，
∴
．
故答案为：a+b．
【分析】依据数轴即可得到，再根据二次根式的性质，即可化简．
23．【答案】（1）解：
；

（2）解：
．
【解析】【分析】
（1）先化简绝对值，计算乘方，开方运算，，再计算二次根数的加减法，解答即可．
（2）先化简：，再运算乘除，最后运算加减法，解答即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
24．【答案】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴，
又25的平方根是，
∴的平方根为．
【解析】【分析】
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列式先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可解答；
（2）先求出的值，再求出其平方根即可解答．
（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴，
又25的平方根是，
∴的平方根为．
25．【答案】（1）∵实数的立方根为2，
∴
代入得
∴，
∴，
∴
（2）∵，，
根据勾股定理逆定理，
∴是直角三角形
【解析】【分析】（1）本题考察立方根的定义、算术平方根和平方的非负性应用，立方根的定义为若x3=b，则x是b的立方根；算术平方根和平方数均具有非负性，即结果大于等于0。解题时先由立方根定义得b=8，代入等式得，根据非负性性质列出方程组求出a=15、c=17，再代入代数式计算即可；
（2）本题考察勾股定理的逆定理应用，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时计算a、b、c的平方，152+82=289=172，满足逆定理条件，因此△ABC是直角三角形。
（1）∵实数的立方根为2，
∴
代入得
∴，
∴，
∴
（2）∵，，
根据勾股定理逆定理，
∴是直角三角形
26．【答案】（1）；
（2）原式：=
=4
（3）∴
∴
∴
∴原式
【解析】【解答】解：（1），
；
故答案为：，；
【分析】（1）根据题目的例子进行计算，进而化简即可求解；
（2）根据小明的分析过程结合得到，进而即可求解。
27．【答案】（1）证明：∵
∴2，8，这三个数是和谐组合，
最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
（2）解：分三种情况：①当4≤a≤25时，
，得a=0(舍去)，
②当a<4时， ，得a=1 ，经检验符合题意，
③当a>25时， ，解得a=100 ，经检验符合题意.
综上所述，a的值为1或100.
【解析】【分析】
(1)根据定义分别计算2和8；2和18；18和8的算术平方根，得到的结果都是整数，解答即可；
（2）由于a不清楚大小，因而对a分三种情况根据定义分别计算，然后取舍得到符合条件的答案，解答即可.
28．【答案】（1）
（2）解：的立方根是3，的算术平方根是2，
，，
，，
是的整数部分，
，
，
的平方根为．
【解析】【解答】解：（1），
，
的小数部分是；
故答案为：；
【分析】（1）根据，进行估算无理数的大小，即可得出答案；
（2）由的立方根是3，的算术平方根是2，得到，，求得，的值，再由无理数的估算得到的值，代入代数式计算求值，即可得到对答案.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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