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整式——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．若，则的值是（　　）
A． B．7 C．5 D．
6．计算：　 　．
7．已知是方程的一个解，则整式的值为　 　．
8．如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值为4时，输出的值为　 　．
9．有这样一道题：“求的值，其中，”．小明同学把“”错抄成了“”，但他的计算结果竟然正确，请你说明原因，并计算出正确结果．
10．化简求值：，其中．
二、能力题
11．定义：．已知，，则（　　）
A． B．8 C． D．32
12．下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．用棋子摆出如图所示的一组“口”字，照样子摆下去，摆第n个“口”字需用棋子（　　）
A．枚 B．枚 C．枚 D．枚
14．如图，在边长为2的等边三角形中，D，E，F分别是的中点，则的周长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n=　 　．
16．已知函数，那么　 　．
17．我国在数的发展上有辉煌的成就，中国古代的算筹计数法可追溯到公元前五世纪，算筹是竹制的小棍，摆法有纵式和横式两种（如图）．以算筹计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…，这样纵横依次交替，零以空格表示．如3257表示成“”．算筹“”所表示的数是　 　．
18．先化简，再求值：
（1）其中x=1，y=2.
（2）其中x=-2.
19．当地时间10月30日，国家/地区奥委会协会（简称“国际奥协”）第27届全体大会在葡萄牙卡斯凯什开幕，在当次的颁奖典礼上，中国乒乓球运动员马龙获得杰出运动生涯奖，乒乓球一直是中国的“国球”，这个称号不仅源于中国在乒乓球国际竞技赛场上的卓越表现，还与中国深厚的乒乓球文化和广泛的群众基础密切相关，某班准备购买一些乒乓球拍和乒乓球，市场调查情况如下：甲、乙两家店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家店乒乓球拍标价均为每副120元，乒乓球的标价均为每盒40元，甲店每卖一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按标价打8.5折，现该班需购买球拍6副，乒乓球x盒（不少于6盒）．
（1）去甲店购买总费用为 元；去乙店购买总费用为 元．（请用含的代数式表示）
（2）当购买多少盒乒乓球时，甲、乙两家店所需费用一样？
（3）当购买40盒乒乓球时，去哪家店购买更划算？
（4）当购买40盒乒乓球时，你有其它更省钱的方案吗？并按该方案计算其费用．
20．【综合与实践】有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是_______ ；（填“图1”或“图2”）
（2）已知图1中裁去的小正方形的边长为，求做成的纸盒体积；
（3）已知图1，图2中裁去的小正方形边长分别为和，设m为图1裁得的纸盒底面周长，n为图2方式裁得的纸盒底面周长，请求出m、n的值．
三、拓展题
21．阅读材料，解答下列问题：
①两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
将化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）请你写出的有理化因式：　 　．
（2）计算：．
（3）已知，求的值．
22．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．
例如：方程和为“和谐方程”．
（1）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值；
（2）若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值；
（3）若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解： 故此选项错误；
故此选项错误；
故此选项错误；
正确.
故答案为：D.
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、≠a2-b2，∴此选项不符合题意；
B、≠6a6，∴此选项不符合题意；
C、，∴此选项符合题意；
D、≠a5，∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”可求解；
B、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
C、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：A.，运算正确，∴此选项符合题意；
B.≠m6，原选项计算错误，∴此选项不符合题意；
C.≠-m2，原选项计算错误，∴此选项不符合题意；
D.≠m2，原选项计算错误，∴此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】A、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、单项式乘法及幂的乘方的运算规则，然后再逐个验证选项，即可求解。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：2a-2b+1=2（a-b）+1=2×（-3）+1=-5.
故答案为：A.
【分析】逆用乘法分配律将所求代数式变形，将已知代数式的值代入，根据有理数的加减乘法则计算即可.
6．【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：2
【分析】根据零指数幂结合特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解。
7．【答案】2029
【解析】【解答】解：把代入方程，得：，
则，
所以．
故答案是：2029．
【分析】将x=2代入方程可得，再整体代入代数式即可求出答案.
8．【答案】3
【解析】【解答】解：当时，
，
故答案为：．
【分析】本题考查简单的数值运算程序，以及有理数混合运算法则，根据输入，得到运算的式子，结合有理数乘法运算法则，计算求解，即可得到答案．
9．【答案】解：
，
∴此题的结果与x的取值无关，
所以当时，原式
【解析】【分析】先根据整式运算法则对原式化简，可得结果，其中不含x，即可解答．
10．【答案】解：
；
∵，
∴，，
∴，，
∴原式．
【解析】【分析】先利用整式的加减法化简可得，再利用非负数之和为0的性质求出，，最后将其代入计算即可.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故选：B
【分析】
先利用新定义和分式减法得到，再对所求式子进行因式分解并整体代入计算即可．
12．【答案】B
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】A
【解析】【解答】由题可得：第一个“口”有14=4枚旗子；
第2个“口”有枚旗子；
第3个“口”有枚旗子；
摆第n个“口”字需用 枚 棋子，
故答案为：A.
【分析】根据摆前面的几个口所需的棋子数得到规律，进而得到摆第n个口所需的棋子数，从而求解.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：∵点分别为三边的中点，
是边长为2的等边三角形，
，
的周长，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形中线的性质可得，再利用等边三角形的性质及周长公式可得，最后求出的周长即可.
15．【答案】500
【解析】【解答】解：根据题意，得第1幅图中有1个菱形： ，
第2幅图中有3个菱形： ，
第3幅图中有5个菱形： ，
……
∴第幅图中有个菱形，
当时，
解得：，
故答案为：500．
【分析】先根据前3幅图中菱形的个数得到规律：第幅图中有个菱形，然后令，解方程求出的值即可.
16．【答案】-1
【解析】【解答】解：∵f(x)=
∴f(2)=
故答案为：-1．
【分析】根据题干中的计算方法，将x=2代入计算即可。
17．【答案】875
【解析】【解答】解：根据题意，
∴个位数为：5，十位数为：7，百为数为：8，
故这个数为：，
故答案为：875．
【分析】根据摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横以及图标横竖式代表的数值分别得出个位，十位，百位数字即可得出答案．
18．【答案】（1）解：原式
当x=1，y=2时，
原式=-2×1+4×1×2+4
=10.
（2）解：原式
当x=-2时，
原式
【解析】【分析】（1）先去括号，再合并同类项，再将x=1，y=2代入求值；
（2）先去中括号，再去小括号，合并同类项，再将x=-2代入求值.
19．【答案】（1），；
（2）解： 根据题意，得
，
解得．
答：当购买22盒乒乓球时，甲、乙两家店所需费用一样；
（3）解： 当时，；
．
，
当购买40盒乒乓球时，去乙店购买更划算；
（4）解： 有更省钱的方案，
在甲店购买6副球拍，在乙店购买（盒乒乓球，
所需费用为．
答：有其它更省钱的方案，在甲店购买6副球拍，乙店购买34盒乒乓球，该方案所需费用为1876元．
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得
去甲店购买总费用为元；
去乙店购买总费用为元．
故答案为：，；
【分析】（1）根据甲店总费用=购买6副球拍费用+购买(x-6)盒乒乓球费用，乙店总费用=购买6副球拍费用×0.85+购买x盒乒乓球费用×0.85，列式并化简即可；
（2）根据甲、乙两家店所需费用一样，结合（1）所得式子可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）将，代入（1）的结论中，计算出甲、乙两店的总费用，比较即可得出结论；
（4）结合两店给出的优惠方案，找出更省钱的方案（ 去甲商场购买6副乒乓球拍，去乙商场购买34盒乒乓球 ），再求出该方案所需总费用即可．
（1）解：根据题意，得
去甲店购买总费用为元；
去乙店购买总费用为元．
故答案为：，；
（2）根据题意，得
，
解得．
答：当购买22盒乒乓球时，甲、乙两家店所需费用一样；
（3）当时，；
．
，
当购买40盒乒乓球时，去乙店购买更划算；
（4）有更省钱的方案，
在甲店购买6副球拍，在乙店购买（盒乒乓球，
所需费用为．
答：有其它更省钱的方案，在甲店购买6副球拍，乙店购买34盒乒乓球，该方案所需费用为1876元．
20．【答案】（1）图2
（2）解：图1中裁去的小正方形边长为，
做成的纸盒的体积：；
（3）解：，
【解析】【分析】本题考查立体图形的展开与折叠，长方体的体积及长方形的周长计算公式，列代数式，整式的加减运算，理解题意是解题关键．
（1） 因为有盖纸盒需要一个底面和一个盖子，裁剪时需要同时得到底面和盖面的形状，观察图形可知：图1裁剪后只能得到无盖的五个面(底面+四个侧面)图2裁剪后可以得到底面、侧面和盖面，因此做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2，由此可得出答案；
（2）根据题意先确定做成的纸盒的长、宽、高：由原纸板长12cm，宽10cm，裁去边长为3cm的小正方形可得：纸盒的长为：12 2×3=6cm；纸盒的宽为：10 2×3=4 cm；纸盒的高为：3cm；再根据长方体体积的计算公式：，代入数据可得：，由此可得出答案；
（3）根据题意：图1(无盖纸盒)底面周长m，裁去的小正方形边长为acm，底面长为：12 2a，底面宽为：10 2a，所以根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，代入数据可得：m=2×[(12 2a)+(10 2a)]=2×(22 4a)=44-8a；图2(有盖纸盒)底面周长n，裁去的小正方形边长为2acm，所以底面长为：，底面宽：10 2×2a =5 2a，所以根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，代入数据可得：n=2×[(6 2a)+(10 4a)]=2×(16 6a)=32 12a，由此可得出答案.
（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2；
（2）解：图1中裁去的小正方形边长为，
做成的纸盒的体积；
（3）解：，
．
21．【答案】（1）
（2）解：原式
（3）解：
则
∵，，
∴．
【解析】【解答】解：（1）∵
∴的有理化因式为，
故答案为：.
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可求解；
（2）将原式的各项的分母有理化得到，即，进而即可求解；
（3）根据题意得到：，进而计算即可.
22．【答案】（1）解：∵，解得：，
∵，
∴，
∵与方程是“和谐方程”，
∴，
∴．
（2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，∴另一个方程的解为：，
∴或，
解得：或，
∴的值为或．
（3）解：∵，∴，
∴方程的解为：，
∴，
∴，
∴，
∵取任何有理数上式都成立，
∴，
解得：，
∴．
【解析】【分析】（1）根据题意，分别求得和的解，结合方程与方程是“和谐方程”，得到方程，求得m的值，即可得到答案；
（2）根据“和谐方程”的定义，得到一个方程的解为；另一个方程的解为，得到或，求得n的值，即可得到答案；
（3）先解出的解，根据“和谐方程”的定义，可得，结合取任何有理数上式都成立，列出方程组，求得和的值，将其代入计算，即可求解．
（1）解：∵，
解得：，
∵，
∴，
∵与方程是“和谐方程”，
∴，
∴．
（2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，
∴另一个方程的解为：，
∴或，
解得：或，
∴的值为或．
（3）解：∵，
∴，
∴方程的解为：，
∴，
∴，
∴，
∵取任何有理数上式都成立，
∴，
解得：，
∴．
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