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乘法公式与因式分解——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1． 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，若为正整数，则表示的值的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．将关于的多项式因式分解得，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程是（　　）
A． B． C． D．
6．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
7．因式分解：m2﹣m=　 　．
8．化简： =　 　．
9．已知，，则　 　．
10．先化简，再求值：，其中.
二、能力题
11．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
13．若，那么k的值是（　　）
A． B． C．6 D．
14．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
15． 如图，坪山中心广场拟开发一块新花坛，花坛如阴影部分所示。点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为6。则（　　）
A．20 B．35 C．40 D．50
16．有两个正方形，，现将放在的内部如图①，将，并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为　 　．
17．设x1，x2为一元二次方程 的两根，则的值为　 　.
18．计算= 　 　．
19．因式分解 = 　 　．
20． 转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为a，b(a>b)，a+b=7，a-b=2，阴影部分面积分别为，，则=　 　.
21．数学探究：
（1）例：代数式（a+b）2表示a、b两数和的平方，代数式（a+b）（a-b）表示a、b两数的和与这两个数的差的积；仿照上例填空：代数式a2-b2表示　 　；
（2）试计算a、b取不同数值时，a2-b2及（a+b）（a-b）的值，填入下表（侯老师已经算了三个，请把剩余的值补充完整）：
a、b的值 当a=5，b=1时 当a=-4，b=2时 当a=-3，b=-6时
a2-b2 24 12 　 　
（a+b）（a-b） 　 　 12 　 　
（3）请你再任意给a、b各取一个数值，并计算a2-b2及（a+b）（a-b）的值：
当a=　 　，b=　 　时，a2-b2=　 　，（a+b）（a-b）=　 　.
（4）我的发现：a2-b2　 　（a+b）（a-b）；（填“”、“＜”或“=”）
（5）用你发现的规律计算：78.352-21.652.
22．（1）若，，求的值．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（2）已知中，，分别以、边向外侧作正方形．如图所示，设，两正方形的面积和为20，求的面积．
三、拓展题
23．探究题：
【问题情景】
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
___________；__________；___________；
【探究发现】
（2）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明发现：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间存在的关系式为__________；
【问题解决】
（3）若多项式是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出的值．
24．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）
．
乙：
（分成两组）
（直接运用公式）
．
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
（1）因式分解：．
（2）已知，，求式子的值．
（3）已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A：2m-3m=-m，所以A不正确；
B：（3a2）2=9a4，所以B正确；
C：a2a3=a5，所以C不正确；
D：(x+1)2=x2+2x+1，所以D不正确。
故答案为：B。
【分析】根据合并同类项法则，可得出A不正确；根据积的乘方以及幂的乘方，可得出B正确；根据同底数幂的乘法，可得出C不正确；根据完全平方公式可得D不正确，进而得出答案即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据x为正整数化简即可求出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】由平方差公式“(a-b)(a+b)=a2-b2”直接计算可判断A选项；由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
又∵原多项式为，
∴，
故选：．
【分析】根据完全平方公式去括号，再根据对应项相等即可求出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解
∴
故答案为：D.
【分析】
根据配方法解方程：先移项得，再利用完全平方公式配方得到，解答即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法的定义对每个选项一一判断即可。
7．【答案】m（m﹣1）
【解析】【解答】解：m2﹣m=m（m﹣1）
故答案是：m（m﹣1）．
【分析】式子的两项含有公因式m，提取公因式即可分解．
8．【答案】1
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：1．
【分析】利用平方差公式展开计算即可。
9．【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∵ ，
∴2(a-b)=12，
∴a-b=6.
故答案为：6.
【分析】将第一个等式的左边利用平方差公式分解因式后，将a+b=2整体代入可求出a-b的值.
10．【答案】解：原式=
=
当x=6时
原式=
【解析】【分析】根据分式的运算法则，结合平方差公式及完全平方公式化简，再将x=6代入即可求出答案.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：A．，运算错误，不合题意；
B．，运算正确，符合题意；
C．，运算错误，不合题意；
D．，运算错误，不合题意；
故选：B.
【分析】根据分式的加减法，分式的乘除法，平方差公式以及完全平方公式等计算求解即可.
12．【答案】A
【解析】【解答】解：图1阴影部分面积：a2﹣b2，
图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），
由此验证了等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．
【分析】根据正方形，矩形面积即可求出答案.
13．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴k=6
故答案为：A
【分析】将括号展开即可求出答案.
14．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∴或（舍），，故Ｂ错误，Ａ正确.
∴，故Ｃ错误.
∵，
∴，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，得，，进一步根据完全平方公式变形得，，进一步得，，即可得答案.
15．【答案】C
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b
由题意可得，，即ab=12
∴
故答案为：C
【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，根据边之间的关系可得a+b=8，根据三角形面积可得ab=12，再根据正方形面积，结合完全平方公式即可求出答案.
16．【答案】
【解析】【解答】解：设正方形 A，B 的边长分别为，则
图①中阴影部分面积为
图②中阴影部分面积为
∴
∴
∴．
故答案为：
【分析】设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，，联立化简即可求出答案.
17．【答案】20
【解析】【解答】解：∵x1，x2为一元二次方程
∴
∴
故答案为：20
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
18．【答案】1
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式等知识。
首先观察发现，需要计算的式子和平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，利用该公式先变形，然后按照二次根式的混合运算步骤进行计算即可。
19．【答案】m（m+2）（m-2）
【解析】【解答】原式=m（m2-4）=m（m+2）（m-2）
【分析】先用提公因式法分解，然后利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
20．【答案】7
【解析】【解答】解：设重合部分面积为，则 ，由，，根据平方差公式.
故答案为：7 .
【分析】通过设重合部分面积，将转化为两个等腰直角三角形面积之差，再用平方差公式结合已知、的值计算.
21．【答案】（1）a、b两数的平方的差
（2）-27；24；-27
（3）2；1；3；3
（4）=
（5）解： 78.352-21.652 =
（78.35-21.65）×（78.35+21.65）
=56.70×100
=5670.
【解析】【解答】（1）根据代数式意义知， 代数式a2-b2表示 ：a、b两数的平方的差，
故答案为：a、b两数的平方的差.
（2）当 a=5，b=1时 ， （a+b）（a-b） =（5+1）（5-1）=24；
当a=-3，b=-6时 ， a2-b2 =（-3）2-（-6）2=-27，
（a+b）（a-b） =【-3+（-6）】【-3-（-6）】=-9×3=-27；
故答案为：-27；24；-27.
（3）当a=2，b=1时， a2-b2= 22-12=3， （a+b）（a-b）= （2+1）（2-1）=3；
故答案为：2；1；3；3.
（4） a2-b2 = （a+b）（a-b） ，
故答案为：=.
【分析】（1）根据代数式的意义作答.
（2）将a、b代入求值即可.
（3）任意取一组a、b的值代入 a2-b2及（a+b）（a-b） 求值即可.
（4）根据（2）（3）得出结论 a2-b2=（a+b）（a-b）.
（5）根据a2-b2=（a+b）（a-b）计算即可.
22．【答案】解：（1）∵，，
∴，
∴=4+2=6.
（2）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据，利用完全平方公式变形，即可可得答案；
（2）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意得出，即，利用完全平方公式变形求出ab的值，即可计算△ABD的面积．
23．【答案】（1）；；；
（2）；
（3）∵多项式是一个完全平方式，
∴，
整理得：，解得：，
∴的值为3.
【解析】【解答】解：（1）；，
故答案为：；；．
（2）∵观察上述三个多项式的系数，有，，，
∴若多项式是完全平方式，那么系数、、之间存在的关系式为：．
故答案为：．
【分析】(1)本题考察完全平方公式的逆用（因式分解），解题时观察每个多项式的结构，判断是否符合完全平方公式的形式。对于，x是a，3是b，中间项-6x是，因此分解为；对于，5x是a，1是b，中间项10x是，因此分解为；对于，2x是a，3是b，中间项12x是，因此分解为。
(2)本题考察对完全平方式系数规律的总结，解题时观察(1)中三个完全平方式的系数关系：第一个多项式中，，，满足；第二个多项式中，，，满足；第三个多项式中，，，满足，由此可归纳出完全平方式中系数的关系式为。
(3)本题考察完全平方式系数关系的应用和一元二次方程的解法，解题时首先明确多项式是完全平方式，结合(2)中得出的，确定该多项式中，，；将其代入关系式，得到；展开方程左边得，右边得；整理方程，移项、合并同类项后得到，解这个方程即可求出k的值。
24．【答案】（1）解：
（2）解：
，
∵，，
∴，
原式。
（3）解：等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
【解析】【分析】（1）先分组，将利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式分解即可；
（2）先分组，然后分别利用提公因式法提取公因数a和b进行分解，再提取公因式a-c得出分解结果，结合条件求得，最后整体代入求解即可；
（3）整理后，利用完全平方公式分解得出，再利用偶次幂的非负数的性质即可得出，从而确定△ABC的形状。
（1）解：因式分解：
；
（2）解：
，
∵，，
∴，
原式；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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