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一元二次方程——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．关于 的一元二次方程 根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
2．2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（　　）
A． B．
C． D．
3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（　　）
A．2 B． C．2或 D．
4．若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围　 　
5． 已知x1，x2 是方程. 的两根，则代数式 的值为　 　.
6．解下列一元二次方程：
（1）（x-1）2=2；
（2）x2=8x+9；
（3）（x+4）（x-2）=3（x-2）；
（4）2x2-x-5=0.
7．解下列方程：
（1）．
（2）．
8．“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数．
9． 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值．
10．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）．
二、能力题
11．正比例函数的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况描述准确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
12．若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简等于（　　）
A．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定
13．某网络学习平台2021年的新注册用户数为81万，2023年的新注册用户数为144万．设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则有（　　）
A．81（1＋2x）＝144 B．81（1＋x2）＝144
C．81（1＋x）2＝144 D．144（1－x）2＝81
14．已知 是一元二次方程 的两个实数根，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
15． 定义新运算：例如：，．若，则的值为　 　．
16．如果 是方程 的一个根，这个方程的另一个根为　 　.
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值.
20．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
三、拓展题
21．如图，中，，，，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，　 　；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后
22．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”　 　．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、　 　．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为　 　，证明你的结论．
（3）已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程为，
∴△=m2-4×1×（-1）=m2+4，
∵△=m2+4＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：设浏览量平均每月增长率为x，由题意得：
，
故答案为：D．
【分析】 准确理解题目中的增长模式，并据此列出符合实际情况的方程即可．
3．【答案】A
【解析】【解答】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故选：A.
【分析】根据题意得到，，求出a的值即可．
4．【答案】
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
又∵，
∴，
综上：；
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根的情况，若方程有两个不相等的实数根，列出判别式大于零，再根据二次根式的有意义的条件，进行求解即可．
5．【答案】1
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，将所求的值代入代数式即可求解.
6．【答案】（1）解：（x-1）2=2
两边开平方可得：
解得：，
（2）解：x2=8x+9
移项可得：x2-8x-9=0
∴(x+1)(x-9)=0
∴x+1=0或x-9=0
解得：x1=-1，x2=9
（3）解：（x+4)(x-2）=3(x-2)
移项可得：(x+4)(x-2)-3(x-2)=0
∴(x+4-3)(x-2)=0
∴x+4-3=0或x-2=0
解得：x1=-1，x2=2
（4）解：2x2-x-5=0
∴
解得：，
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（3）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（4）根据公式法解方程即可求出答案.
7．【答案】（1）解：原方程即为，
两边开平方，得，
解得：，。
（2）解：原方程可变形为，
∴或，
解得：，．
【解析】【分析】（1）将81移项后，可以利用直接开平方法进行计算，得出，然后求解即可；
（2）将原方程利用十字相乘法因式分解，变形得到，然后求解即可。
（1）解：原方程即为，
两边开平方，得，
解得：，；
（2）解：原方程可变形为，
∴或，
解得：，．
8．【答案】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是x，
根据题意可列方程为：16（1+x）2=25，
解得：x=0.25或x=-2.25（不符合题意，故舍去），
∴0.25=25%，
答： 这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是25%.
（2）解：根据题意可知，7月份的游客人数=25×（1+25%）=25×1.25=31.25万人，
答：7月份的游客人数是31.25万人.
【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据4月份和6月份的游客人数列出一元二次方程，求解即可得出答案；
（2）由（1）可知月增长率，据此列式计算即可得出答案.
（1）解：设月平均增长率为x
由题意可得
解得，（不合题意，舍去）
答：这两个月平均增长率为．
（2）（万人）
答：7月份的游客人数为31.25万人．
9．【答案】（1）证明： >0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为x=0，
解得
∵m是正数，
【解析】【分析】(1)求出判别式 +8>0，据此可得答案；
(2)将x=0代入方程，解关于m的方程可得m的值.
10．【答案】（1）解：设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得：
，
解得：，
∴日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为；
（2）解：设日销售利润用w表示，
，
当x=10时，销售利润最大，最大=450元；
（3）解：∵，k=-2＜0，y随x的增大而减小，
∴x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），
∵，k=，y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏，
∴小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，
根据题意：，
整理得，
解得（舍去），
∴a的值为6．
【解析】【分析】 （1）设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，利用待定系数法可求得函数关系式；
（2）设日销售利润用w表示，根据题意可得，根据二次函数的性质可得当x=10时，销售利润最大，最大=450元；
（3）先求出前20天最高日销售量和最高日销售价，再根据题意列方程求解即可。
11．【答案】A
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限，
，
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【分析】
由正比例函数的图象与系数的关系可得，再利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
12．【答案】B
【解析】【解答】解：∵方程x2＋4x＋a＝0无实根，
∴Δ＝42﹣4a＜0，
∴a＞4，
＝＝|4﹣a |，
∵a＞4，
∴|4﹣a |＝a﹣4，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程无实根的条件可得△<0，据此列不等式求出a的范围，然后根据二次根式的性质“”进行化简即可.
13．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得： 81（1＋x）2＝144 .
故答案为：C.
【分析】根据2021年的新注册用户数×（1+ 增长率 ）2= 2023年的新注册用户数，列出方程即可.
14．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根 ，
∴x1+x2=2， ，
∴D选项中 错误，
故答案为：D。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
15．【答案】或
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
16．【答案】x=-2
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x2，则2+x2=0，
解得x2=-2，
故答案为：x=-2.
【分析】设方程的另一个根为x2，利用根与系数的关系得到2+x2=0，即可求出另一个根.
17．【答案】（1）解：，
，
或，
∴，；
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：，
，
或，
∴，；
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
18．【答案】（1）解：，
移项，得，
解得：；
（2）解：，
移项，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得．
【解析】【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方求解；
（2）先移项，再利用提公因式法分解因式，得到两个一元一次方程求解．
（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
19．【答案】（1）证明： ，
∵ ，
∴ ，
该方程总有两个不相等的实数根
（2）解： 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，即
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2） 由根与系数关系可知① ， ②，由③，联立①③可求出α，β的值，再代入②求出m值即可.
20．【答案】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）设当天玩具的销售单价是元，再根据利润=单利润×销售量列一元二次方程，解方程即可；
（3根据利润=单利润×销售量列w与的函数关系式，然后化为顶点式求出最值解题即可．
（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
21．【答案】（1）8
（2）解：设P出发ts时，，则Q运动的时间为(t-2)s
∴AP=t，CQ=2(t-2)
∴PC=6-t
∴
解得：t=4
∴ 点Q移动4秒钟后
（3）解：设经过x秒后PQ=BQ，则PC=6-x，QC=2x，BQ=8-2x
由题意可得：
解得：或（舍去）
∴经过秒钟后
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：PA=2，CQ=4
∴PC=AC-AP=4
∴
故答案为：8
【分析】由题意可得：PA=2，CQ=4，根据边之间的关系可得PC，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）设P出发ts时，，则Q运动的时间为(t-2)s，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设经过x秒后PQ=BQ，则PC=6-x，QC=2x，BQ=8-2x，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）
（2）；倒数
（3）∵方程的两根是，
∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x1=-1，x2=2021
将，整理得
∴x-1=-1或x-1=2021
解得：x=0或x=2022
∴关于x的方程的两根为x=0或x=2022
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
一元二次方程的“友好方程”为
即为
故答案为：
（2）由（1）可知一元二次方程的“友好方程”为
解方程可得：，
观察可得：
∴猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为互为倒数
故答案为：；倒数
【分析】（1）根据“友好方程”的定义即可求出答案.
（2）求出该方程的“友好方程”，再解方程可得x4，再根据根之间的关系可得“友好方程”的根互为倒数.
（3）根据题意可得该方程的“友好方程”的根，化简二次方程，根据整体思想再解方程即可求出答案.
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