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分式方程——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1． 对于实数 定义运算 “※” 如下： ，如 . 若 ※ ，则 的值为 (　　)
A．-4 B．-11 C．11 D．无法确定
2． 某社区组织居民种树共 60 棵，由于大家积极参加，实际参加植树活动的人数是原计划的2倍，结果每人比原计划少种了3棵树，设原计划有x人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
3．已知关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
4．如果关于的方程有增根，则的值为（　　）
A．-10 B．-8 C．-6 D．-4
5．分式方程的解是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝2025 D．x＝﹣2025
6．若关于x的方程无实数解，则m的值为　 　.
7．
（1）计算：；
（2）在解分式方程时，小亮的解法如下：
第一步：方程两边都乘，得．
第二步：解这个方程，得．
第三步：经检验，为原方程的解．
①在上述解方程过程中，从第 ▲ 步开始错误；
②错误的原因是 ▲ ．
8．解下列方程（组）：
（1）；
（2）.
9．王老师准备购买 A、B 两种型号的圆珠笔. 已知 A 型圆珠笔单价是 B 型圆珠笔单价的 1.5 倍. 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支.
（1） 求 A、B 两种型号的圆珠笔单价各是多少；
（2） 王老师想购买 A、B 两种型号的圆珠笔共计 15 支，要求 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元. 求 A 型圆珠笔最多可购买多少支？
二、能力题
10．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．若分式 有意义，则m的取值应满足(　　)
A．m≠0 B．
C． D．且m≠0
12．若关于的方程有增根，则　 　．
13．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的整数的值为　 　．
14．若关于x的分式方程的根是正数，则m的取值范围是　 　．
15．若关于x的方程 =0有增根，则m的值是　 　．
16． 解方程：
17．解分式方程：
（1）；
（2）．
18． 某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位）
19．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
20．为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，祁东县某中学每年冬季都会举办全体师生冬季长跑活动．为激励学生积极参与，学校用元购买，两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材价格是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材的费用相同．
（1）求购买一件 种器材和一件种器材各需多少元
（2）若学校还需购买， 两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少元
三、拓展题
21．导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线：
信息一 路线 路线①：坪盐通道-惠深沿海高速 路线②：南坪快速-龙岗大道
信息一 距离 39千米 42千米
信息二 大巴车走路线①的平均速度总是路线②平均速度的倍，早、晚高峰 时段(7：30-9：30和18：00-20：00)，大巴车的平均速度将下降为原来的 80%
信息三 非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟.
⑴任务一 求非高峰时段两个路线的平均速度分别是多少千米/时.
⑵任务二 某旅游公司要在早上7：55前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗 湖口岸，但是路线①由于修路暂时封闭，只能选择路线②，那么大巴 车的出发时间不能晚于什么时间
22．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：，即
，．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，
根据材料回答问题：
（1）已知，则______．
（2）已知，求的值．
（3）解关于，的方程组．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ※ ，
∴，
解得m=-11，
经检验知m=-11为方程的根.
故答案为：B.
【分析】根据新定义的运算规则得到，进而解分式方程即可求解。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意原计划有x人参加活动，则实际参加活动的人数为2x人，计划每人种树为，实际每人种树为，由此得.
故答案为：A .
【分析】结合题意知实际参加活动人数为2x，分别表示每人种植的棵数，即可列出分式方程.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：
去分母可得：a-x+2=0
整理得：x=a+2
∵方程的解为非负数
∴a+2≥0，且
解得：且
故答案为：D
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程可得x=a+2，再根据方程的解为非负数，建立不等式，解不等式即可求出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】
解： 方程两边同乘(x 2)，得：4x (x 2)= -k，
化简：4x-x+2=-k，
解得：x=，
∵方程有增根，
∴x=2，
∴=2，
解得：k=-8，
故答案为：B.
【分析】 增根的产生是由于分式方程化为整式方程后，解使得原分母为零 ；因此先去分母解分式方程得x=，再把增根x=-2代入即可求得k的值；解答即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：将分式方程＝0的两边都乘以x＋3，
得：x 2025＝0，
解得：x＝2025，
经检验，x＝2025是原方程的解，
故答案为：C．
【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
6．【答案】6
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程无实数解 ，
∴即
将原方程变形得：
，
方程两边两边都乘以 得：
解得：
∴
∴
故答案为：6.
【分析】根据关于x的方程无实数解得，解方程得，最后得，解出便可.
7．【答案】（1）解：原式
（2）①一；②方程右边的-2这一项漏乘了
【解析】【解答】（2）
解：第一步：去分母，方程两边都乘，得；
第二步：去括号，得；
第三步：移项，得；
第四步：合并同类项，得；
第五步：检验，将代入原分式方程，发现原方程的分母为0，因此x=3是原分式方程的增根。
因此，在上述解方程过程中，从第 一 步开始错误；错误的原因是 方程右边的-2这一项漏乘了．
故答案为：（2）①一；②方程右边的-2这一项漏乘了。
【分析】本题主要考查零次幂运算、绝对值的非负性、三角函数值以及解分式方程的步骤等知识。
（1）分别计算出零次幂、去掉绝对值和余弦值，然后进行计算即可；
（2）解分式方程，要严格按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”进行解方程，求出的结果要进行检验，以免产生增根。
8．【答案】（1）解：
①-②，得7y=-21，
解得y=-3，
把y=-3代入②，得x=-，
所以方程组的解是.
（2）解： 原方程去分母得：2x+4-4x=0，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的增根，舍去，
故原分式方程无解.
【解析】【分析】 （1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）将原方程去分母化为整式方程，解得x的值后进行检验即可.
9．【答案】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支
根据题意可得：
解得：
经检验：x=4是原方程的解.
（2）解：设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支
根据题意可得：
解得：
答：A 型圆珠笔最多可购买10 支.
【解析】【分析】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支，根据 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支。可得出方程：，解方程，并进行检验，即可得出答案；
（2）设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支，然后根据 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元 ，即可得出：，解不等式可得出：，取最大整数解即可得出答案。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，由题意，得；
故选C．
【分析】设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，建立方程即可求出答案.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 分式 有意义，
∴3m+2≠0，
∴m≠
故答案为：C .
【分析】根据分式有意义的条件可得出3m+2≠0，进而得出m≠。
12．【答案】-5
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：x＝3x 15 m，
由分式方程有增根，得到x 5＝0，即x＝5，
把x＝5代入整式方程得：m＝ 5，
故答案为： 5．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x 5＝0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
13．【答案】，0，2
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：
∴不等式组的解集为；
∵不等式有且只有四个整数解，
∴，解得，；
解分式方程得：；
∵方程的解为非负数，且
∴；即且；
综上可知，且，
∵a是整数，
∴．
故答案为：-1，0，2．
【分析】先将a作为参数解不等式组，用含a的式子表示出不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围；再将a作为参数解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解为非负数列出关于字母a的不等式组，求出a的取值范围，综上确定符合题意的整数a的值即可．
14．【答案】且
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
∵分式方程的根是正数，
∴，
解得：，
，即，
∴，
解得：，
∴且．
故答案为：且．
【分析】去分母转换为整式方程，解方程可得，再根据分式方程的根是正数，建立不等式，解不等式，结合方式有意义的条件即可求出答案.
15．【答案】2
【解析】【解答】解：去分母得，m-1-x=0.
∵方程有增根，
∴x=1，
∴m-1-1=0，
∴m=2.
16．【答案】解：去分母得
x-2x+6=-3
-x=-3-6
-x=-9
x=9
经检验x=9为方程的解.
【解析】【分析】先去分母后转化为整式方程，求解整式方程再检验即可得结果.
17．【答案】（1）解：两边同时乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解．

（2）解：两边同时乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解．

【解析】【分析】（1）先去分母，再根据解分式方程的步骤解方程求解即可；
（2）先去分母，再根据解分式方程的步骤解方程求解即可.
（1）解：；
两边同时乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解．
（2）解：．
两边同时乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解．
18．【答案】解：设模型A每小时处理x GB数据，则模型B每小时处理(x + 10) GB数据，
交叉相乘得：
300x = 200(x+ 10)
展开并整理：
300x = 200x + 2000
100x = 2000
解得：x=20
经检验：x=20是原方程的解，
答：模型A每小时能处理数据.
【解析】【分析】设模型A每小时处理x GB数据，则模型B每小时处理(x + 10) GB数据，根据题意：模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同，列式计算即可解答.
19．【答案】解：设特快列车的平均速度为，则动车的速度为，
由题意，得：，
解得：，
经检验得：是这个分式方程的解．
∴．
答：特快列车的平均速度为，动车的速度为．
【解析】【分析】根据时间=路程÷速度，列分式方程，解分式方程即可得x的值，根据分式有意义的条件，分母不为0进行验证可得x的值，进而可得动车的速度.
20．【答案】（1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元；
（2）解：设学校还需购买件种器材，则还需购买件，
根据题意得：，
解得：．
设学校再次购买两种器材共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：至少要花元钱．
【解析】【分析】（1）设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，利用数量总价单价，结合学校用元购买了、两种体育器材共件，可列出关于的分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件，根据再次购买的种器材的数量不多于种器材数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解不等式可得出的取值范围，设学校再次购买两种器材共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元；
（2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件，
根据题意得：，
解得：．
设学校再次购买两种器材共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：至少要花元钱．
21．【答案】解：（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时
由题意可得：，解得：v=45
∴=48.75
∴ 非高峰时段路线②的平均速度为45千米/时，则路线①的平均速度为48.75千米/时
（2）晚高峰时段路线②的平均速度为45×80%=36千米/时
路线②的行驶时间为(小时)=70分钟
∴出发时间需满足7：55-70分钟，即为6：45
∴大巴车的出发时间不能晚于6：45
【解析】 【分析】（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）求出晚高峰时段路线②的平均速度，再求出所需要的时间，即可求出答案.
22．【答案】（1）6
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题．
参考材料一中的思路，取得倒数，可得：，所以有，计算得出；
参考材料二，引入参数k，设，将a，b，c用k表达：，，，代入代数式，原式；
分别取方程组中的两个方程的倒数，可得：，解方程组分别求出和，所以 方程组的解为 ．
（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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