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一次函数——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．已知函数y=kx+b的图象如图3所示，则函数y=-bx+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．如图①是我国传统的计重工具——秤，当秤钩处挂上物品，移动秤砣使得秤杆处于水平位置时即可称出物品的重量，这用到了杠杆原理(如图②杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂).已知一杆秤的秤砣重200g，秤钮和秤钩的水平距离为5cm，当秤杆处于水平位置时，已知秤砣到秤钮的水平距离为x(cm)，秤钩所挂物品重为y(g)，则y关于x的函数图象是(　　)
A． B．
C． D．
4．古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为x斤，秤砣到秤纽的水平距离为ycm．下表为若干次称重时所记录的一些数据：
x（斤） 1 2 3 4 5 6
y（cm） 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
在不超重的情况下，当x=9时，对应的水平距离y为（　　）
A．2.5 B．2.75 C．2.55 D．2.25
5．如图，直线与相交于点，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
6．一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是　 　．
7．一次函数y=3x+b和y=ax-3的图像如图所示，其交点为P（-2，-5），则不等式3x+b>ax-3的解集是　 　.
8．某等腰三角形的周长为50㎝，底边长为cm，腰长是ycm，则之间的关系式是　 　.
9．已知一次函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）请判断点是否在该函数图象上，并说明理由．
10．如图，规格相同的盘子整齐地叠放在桌面上，个盘子的高度是，个盘子的高度是．
（1）已知盘子的高度与个数（个）成一次函数关系，请求出与之间的函数表达式；
（2）若盘子的个数为个，求盘子的高度．
二、能力题
11．已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．据此推断不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
12．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程(千米)随时间(分)变化的函数图象，以下说法：
①乙比甲提前12分钟到达
②甲平均速度为0.25千米/小时
③甲、乙相遇时，乙走了6千米
④乙出发6分钟后追上甲，其中正确的是(　　)
A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④
14．在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高度时因河堤承压有溃堤的危险．于是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库连通另一支流．当河流的水位超过警戒位时就有河水流入预警的水库中，当水库有一定量的积水后，就会自动打开水库的排水系统流入另一支流．当河流的水位低于警戒位时水库的排水系统的排水速度则变慢．假设预警水库的积水时间为分钟，水库中积水量为吨，图中的折线表示某天与的函数关系，下列说法中：
①这天预警水库排水时间持续了分钟；
②河流的水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少吨分；
③预警水库最高积水量为吨；
④河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为吨分．
其中正确的信息判断是　　
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
15．如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（　　）．
A．4或 B．4或 C．4或 D．3或
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．则的的取值范围　 　．
17．已知A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑自行车。图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s(km)与乙离开A地的时间t(h)的函数关系的图象，根据图象填空。
（1）乙先出发，甲后出发，相差　 　h。
（2）大约在乙出发后　 　h两人相遇，相遇地点离开A地　 　km。
（3）甲到达B地时，乙在离A地约　 　km处。
（4）甲的速度为　 　，乙的速度为　 　。
（5）乙离开A地的路程s(km)关于时间t(h)的函数表达式为　 　。
（6）甲离开A地的路程s(km)关于时间t(h)的函数表达式为　 　。
18．如图，曲线过点．
（1）求t的值；
（2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
19． 如图，直线与双曲线交于点，点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，，求点P的坐标．
20． 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
三、拓展题
21．加密就是将一组明文通过加密规则变成对应的一组密文，密文通过破译也可以得到唯一一组明文．课外小组尝试设计一款加密游戏，明文是从0到9中选取4个互不相等的整数组成的有序数组，加密规则如下：
（1）【感悟与理解】
若明文为(3，7，4，9)，按上述规则，求出对应密文中k，b的值．
（2）【探究与交流】
小圳认为按照上述规则，一组明文可以得到唯一的一组密文，但破译时，一个密文却可以对应多组明文，不能完成解密．他举出了与(1)中密文对应的另一组明文，请你帮忙补充完整(1，　 　，2，　 　)．
（3）【反思与拓展】
小圳分析不能完成破译的原因．
①例如， 在已知密文为(1， 2) 的情况下， 明文(m， n， p， q) 中，n= ▲ (用含m的代数式表示)，q= ▲ (用含p的代数式表示)．消元后，明文中仍含有m，p两个未知数，没有足够条件确定这两个未知数的值．
②他在原本的加密规则下，定义两个数据：t=m-p(第一个数与第三个数的差)，s=n+q(第二个数与第四个数的和)，结合原本加密规则中的k， b， 组成新的密文(k， b， t， s) ；
思考：若密文为(1，2，-4，12)，与这组密文对应的明文是否唯一 若唯一，还原出对应的明文(m，n，p，q)，若不唯一，请再举出一组符合要求的明文．
22．综合与实践
　 生活中的数学：古代计时器“漏壶”
问题情境 某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
实验观察 下表是实验记录的圆柱容器液面高度（cm）与时间（h）的数据 时间（h）12345圆柱容器液面高度（cm）610141822
根据上述的实践活动，解决以下问题：
（1）【探索发现】请你根据表中的数据在图2中描点、连线，用所学过的一次函数的知识求出与之间的函数表达式；
（2）【结论应用】如果本次实验记录开始时间是上午7：00，当时间为下午13：00时，圆柱容器液面高度达到了多少厘米？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：由图可知k>0，b>0。
∴ 函数y=-bx+k中-b<0，k>0，图象是一条向左倾斜，与y轴交于正半轴的直线。
故答案为：C.
【分析】观察一次函数y=kx+b的图象，发现直线向右倾斜，说明k>0，直线与y轴的交点在正半轴，说明b>0，那么在一次函数y=-bx+k中，由于-b<0，可知直线向左倾斜，而k>0，可知直线与y轴的交点在正半轴。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d
若过点A，则-3+d=1，解得：d=4
若过点B，则-1+d=1，解得：d=2
∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则
故答案为：D
【分析】根据函数图象的平移性质可得将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d，分别代入A，B的坐标，即可求出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵一杆秤的秤砣重200g，秤钮和秤钩的水平距离为5cm，当秤杆处于水平位置时，秤砣到秤钮的水平距离为x(cm)， 秤钩所挂物品重为y(g)，
∴根据平衡条件可得：
整理得：
∴y是x的正比例函数，
把 代入 得：
∴图象经过点(5，200)，
∴C选项的函数图象符合题意，
故选： C.
【分析】先根据题意得出函数解析式为 然后再进行判断即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：设y与x的满足y=kx+b，取点（2，1）和（6，2）代入，
可得，
解得；
∴一次函数的表达式为y=x+
当x=9时，y=×9+=2.75.
故答案为：B.
【分析】根据表格中的数据，判断函数满足一次函数，根据待定系数法求出一次函数的表达式，将x=9代入即可求出y的值.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵直线与相交于点，
∴，
解得：
∴
∴方程组的解为，
故选：A
【分析】将点A坐标代入直线可得，再根据两直线交点坐标即为对应方程组的解即可求出答案.
6．【答案】
【解析】【解答】解：根据函数图象可知：当时，，
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
7．【答案】x>-2
【解析】【解答】解：由图像可得，在P点右侧的图像在的下方，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】根据直线y=3x+b在直线y=ax-3上方时自变量x的取值范围解答即可．
8．【答案】
【解析】【解答】解：∵等腰三角形周长=x+2y
∴代入有：50=x+2y
∴50-x=2y
两边同时除以2得：y=-x+25
∴y与x之间的关系式为y=-x+25
故答案为：y=-x+25.
【分析】本题可根据等腰三角形周长公式建立等式，再通过变形推导y与x的关系式，代入已知条件即可。
9．【答案】（1）解：把代入，可得：，
；

（2）解：点在函数图象上；
理由：根据（1）可知该一次函数为：，
把代入，
可得，
点在函数图象上；
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、判断点是否在函数图象上的方法；
（1）将已知点代入解析式求出b的值；
（2）将待判断点的横坐标代入解析式，计算出对应的纵坐标，与该点的纵坐标比较，判断是否在图像上.
（1）解：把代入，可得：，
；
（2）解：点在函数图象上；
理由：根据（1）可知该一次函数为：，
把代入，
可得，
点在函数图象上；
10．【答案】（1）解：设，
当时，；当时，，
∴，解得：，
∴与之间的函数表达式；
（2）解：由（）得：与之间的函数表达式，
当时，，
答：盘子的高度为．
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将，；，，代入解析式即可求出答案.
（2）将x=12代入解析式即可求出答案.
11．【答案】D
【解析】【解答】解：∵直线与轴交于点，直线与轴交于点．
由图象可知，的解集是，的解集是，
∴的解解集是，
故答案为：D.
【分析】借助图象得到y1在x轴上方，y2在x轴下方时自变量的取值范围解题即可．
12．【答案】C
【解析】【解答】解：∵正比例函数y1=ax的图象经过点（1，-1），
∴a=-1，
∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限 ，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，即该函数的图象一定不会经过第三象限，
故A、B、D三个选项都是错误的，不符合题意；只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】将点（1，-1）代入正比例函数y1=ax可求出a=-1，根据反比例函数的图象与系数的关系，由反比例函数的图象位于第一、第三象限，得b＞0，进而根据一次函数的图象与系数的关系：y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，即可判断得出答案.
13．【答案】C
【解析】【解答】解：由图可得，乙比甲提前：40 28=12分钟到达，故①正确；
甲的平均速度为：10÷=15千米/小时，故②错误；
乙的速度为：10÷=60千米/小时，
设甲、乙相遇时，甲走了x分钟，
，
解得，x=24，
则甲、乙相遇时，乙走了60×=6千米，故③正确；
乙出发24 18=6分钟追上甲，故④正确；
故选C.
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
14．【答案】D
【解析】【解答】解：由图象得：～分，水库开始积水，
～分，水库有一定量的积水，水库的排水系统打开，
～分时，水库停止进水，只排水，
这天预警水库排水时间持续了分钟，故①错误；
（吨分），也就是水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少吨分，②正确；
从图象看出预警水库积水量为吨时停止进水，并不能反映出预警水库的最高积水量，③错误；
从图象看出河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为吨分，④正确．
故选：D．
【分析】
①10分钟时，积水达到1000吨，此时预警水库开始排水；30分钟时积水达到1500吨，此时水库只排水，直到80分钟后排完积水；
②超过警戒位时进水速度等于 ，即25吨/分；
③预警水库的最大容量为1500吨；
④排水速度等于，即35吨/分．
15．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
当时，，
点的坐标为，
；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
，
．
，，
，
共2种情况．
当时，，
；
当时，，
．
综上所述，的长为4或．
故选：C．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征分别将x=0，y=0代入解析式可得点的坐标为，点的坐标为，则，，根据勾股定理可得AB，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形性质分情况讨论：当时，，当时，，结合边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】或
【解析】【解答】解：如图，
由图象可知，的的取值范围或．
故答案为：或．
【分析】不等式的的取值范围可以理解为一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，自变量的取值范围，于是观察图像得的的取值范围或．
17．【答案】（1）1
（2）1.8；48
（3）62
（4）60；
（5）
（6）
【解析】【解答】解：（1）由图可知，乙先出发，甲后出发，相差1 h，
故答案为：1；
(2)由图可知：大约在乙出发后1.8h两人相遇，相遇地点 离开A地48km；
故答案为：1.8，48；
(3)由图可得：甲到达B地时，乙在离A地约62km，
故答案为：62；
(4)甲的速度为，乙的速度为.
故答案为：60，；
(5)因为乙的速度为，
所以乙离开A地的路程s(km)与时间t(h)的函数表达式为；
故答案为：；
(6)因为甲的速度为
所以甲离开A地的路程s(km)与时间t(h)的函数表达式为s ＝ 60(t-1)=60t-60；
故答案为：s＝60t－60.
【分析】(1)由图直接可得答案；
(2)观察两线段交点坐标可得答案；
(3)观察OC上与E横坐标相同的点的纵坐标可得答案；
(4)用路程除以时间可得二人速度；
(5)根据乙的速度可得函数表达式；
(6)根据甲的速度和出发时间可得答案.
18．【答案】（1）解：∵曲线过点．
∴
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
【解析】【分析】（1）将点P坐标代入曲线解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点P坐标代入直线l解析式可得，根据y轴上点的坐标特征可得l与y轴交点的坐标为，再根据描点法作出图象即可.
（3）根据函数图象可得在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，再将各点坐标代入直线解析式求出有两个格点在曲线G上，再根据概率公式即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵双曲线 经过点A(2，2)， B(-4，a)， ∴m=2×2=4=-4a， ∴a=-1，
∴B(-4，-1)， 反比例函数解析式为：
∵直线y= kx+b(k≠0)经过点A(2，2)， 点B(-4，-1)，
解得：
∴一次函数解析式为：
（2）解：∵点P在x轴上，
∴点P的坐标为(3，0)或(-3，0).
【解析】【分析】 （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）以OP为底，A的纵坐标为高，表示出三角形面积，从而求得OP长，进而表示出P坐标.
20．【答案】（1）解：描点如图示：
（2）解：转化为，
与的函数不可能是，
故选一次函数，
将点、代入解析式得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（3）解：当时，．
答：脚长约为，估计这个人的身高为．
【解析】【分析】（1）将表格中脚长x的值作为点的横坐标，身高y的值作为点的纵坐标，在坐标平面内描出各点即可；
（2）根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于常数k，可判断出身高和脚长的函数关系不是反比例函数关系，是一次函数关系，进而利用待定系数法求出y关于x的函数关系式即可；
（3）将x=25.8代入（2）所求的函数关系式算出对应的函数值即可得出答案.
21．【答案】（1）解：依题意得P(3， 7)， Q(4， 9)， 代入y= kx+b
得
解得
（2）3；5
（3）解：①m+2，p+2
②唯一，理由如下：
依题意知： k=1， b=2， t=-4， s=12 则
解得 将 代入n=m+2， q=p+2 得n=4 ，q=8
∴对应的明文 (2， 4， 6， 8)
【解析】【解答】（2）由（1）得，
当时，，当时，，
∴另一组明文为，
故答案为：3，5；
（3）①∵密文为，
∴，
∴明文中，
当时，，当时，，
故答案为：，；
【分析】本题考查一次函数的解析式求解及明文与密文的对应关系。
(1)根据明文得到两点和，利用待定系数法，将两点坐标代入直线解析式，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求出和的值；
(2)由(1)得出密文对应的直线解析式，补充明文的横坐标为1和2，将其代入解析式，求出对应的纵坐标，即可补充完整明文；
(3)①由密文得到直线解析式，由于点和在该直线上，因此将横坐标代入解析式，即可得到与、与的代数式关系；②根据新密文，结合①的结论、，再加上、，列出关于和的二元一次方程组，解方程组求出和，进而求出和，判断明文是否唯一。
22．【答案】（1）解：描出各点，再连线，如图所示．
由图象可知该函数是一次函数，设该函数的表达式为．
点，在该函数图象上，
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：从开始时间是上午7：00到下午13：00，经过，即，
∴，
答：当时间为下午13：00时，圆柱容器液面高度达到了26厘米．
【解析】【分析】
（1）结合表格画一次函数图象即可，再利用待定系数法求函数解析式，求解即可；
（2）将代入（1）所求解析式，求出y的值即可解答．
（1）解：描出各点，再连线，如图所示．
由图象可知该函数是一次函数，设该函数的表达式为．
点，在该函数图象上，
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：从开始时间是上午7：00到下午13：00，经过，即，
∴，
答：当时间为下午13：00时，圆柱容器液面高度达到了26厘米．
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