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二次函数——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．下列函数中，如果，的值随的值增大而增大，那么这个函数是（　　）
A．； B．； C．； D．．
2．已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（　　）
… …
… …
A．直线 B．直线 C．直线 D．轴
3． 关于抛物线y＝-x2+6x-7，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝-3
C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2）
4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点
5． 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．当x≥1000时， y随x的增大而减小
B．当x=2000时， y有最大值
C．当y≥0.6时， x≥1000
D．当y=0.4时， x=600
6．将二次函数 的图象向左平移m(m>0)个单位后经过原点，则m的值为　 　。
7．点A（1，y1），B（2，y2）都在二次函数y=x2+1的图象上，则y1　 　 y2.（选填“＞”“=”或“＜”）
8．已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是　 　．
9．如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点．
（1）求的值；
（2）求点的坐标；
（3）根据图象，直接写出当时的取值范围．
10．已知二次函数（m为常数）．
（1）若点在该函数图象上，则　 　；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图象上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过、两点，且对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点是这抛物线上位于轴下方的一点，且的面积是求点的坐标．
12．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A 型客车比每辆B型客车多载客15人；用A 型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二 A 型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆.优惠方案：租用A 型客车m辆，租车费用（3200-50m）元/辆；租用B型客车，租车费用打八折.
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.
（1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少
（2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少
二、能力题
13．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
14．已知二次函数y＝x2+4x+m的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2；
②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点；
③若y1＜y2，则|x1+2|＞|x2+2|；
④当x≥﹣2时，二次函数的图象与y＝2x﹣1的图象有两个交点，则﹣1≤m＜0．
其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A、B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论，正确的有（　　）
①abc＞0；
②9a﹣3b+c＜0；
③若点（，y1），（，y2），（，y3）在抛物线上，则y2＜y1＜y3；
④关于x的ax2+bx+k＝0有实数解，则k≥c﹣n；
⑤当n＝时，△ABP为等边三角形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，则下列结论错误的是　　
A．
B．
C．若且，则
D．若，两点都在抛物线的图象上，则
17．二次函数，当时，自变量x的取值范围是　 　
18．已知二次函数 的图象如图所示，则当2≤y≤10时，自变量x的取值范围是　 　.
19．已知二次函数y＝﹣m（m≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C．
（1）若该函数图象经过点，求点A的横坐标；
（2）若m＜3，点P（2，y1）和Q（4，y2）在该函数图象上，证明：y1＞y2；
（3）若△ABC是等腰三角形，求m的值．
20．如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像分别与x轴y抽交于点A、B，点C是线段AB上一点C与B不重合）.二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C.将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B'、C分别是B、C的对应点，且点B'落在x轴正半轴上，点C'的纵坐标为-2.
（1）OB=　 　；
（2）求点C的坐标；
（3）已知新抛物线与y抽交于点G（0，）点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围.
21．抛物线 交x轴于A，B 两点(A 在B 的左边)，交 y轴于点 C.
（1）直接写出A，B，C 三点的坐标；
（2）如图，作直线x=t(022．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边)，与y轴相交于点C（0，-3)且抛物线的顶点坐标为（1，-4)
（1）求抛物线的表达式；
（2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，-1)，连接BC、DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；
（3）M、N是抛物线上的两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为G.H.是否存在点M，N、使得以M，N、G、H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由。
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是(-1，0)，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点A'.
（1） 直接写出A'点的坐标和抛物线的对称轴；
（2） 当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
（3） 在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A'， P， M， N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
三、拓展题
24．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且不动点是；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是 ▲ （填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．
（3）探究2
对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
（4）探究3
某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
25．综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架ABCD（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的5：3．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽AB．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
26． 【项目式学习】
项目主题：设计落地窗的遮阳篷.
项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度AB=2m，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳篷的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务.
方案 1：直角形遮阳篷
如图，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷BCD，点C在AB 的延长线上，CD⊥AC.
（1）若BC=0.5m，CD=1m，则支撑杆BD=　 　m.
（2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β.小明查阅资料，计算出 为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与 BD 平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与AD平行)，请求出图②中BC，CD的长度.
（3）方案2：抛物线形遮阳篷
如图，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将CD 边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷(F 为抛物线的顶点，DF段可伸缩)，且∠CFD=90°，BC，CD的长保持不变.若以C为原点，CD方向为x轴，BC方向为y轴.
①求该二次函数的表达式；
②若某时刻太阳光与水平地面的夹角θ的正切值 为使阳光最大限度地射入室内，求遮阳篷点 D上升高度的最小值(即点 D'到CD 的距离).
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A选项：，x＞0时，图象满足y的值随x的值增大而减小，故此选项错误；
B选项：，图象满足y的值随x的值增大而减小，故此选项错误；
C选项：时，图象满足y的值随x的值增大而减小，故此选项错误；
D选项：，图象满足y的值随x的值增大而增大，故此选项正确．
故答案为：D.
【分析】直接利用正比例函数、一次函数以及反比例函数和二次函数的增减性分析进行判断．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵当、时的函数值都是，
∴这个二次函数图象的对称轴是直线，即，
故选．
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上“函数值相等的点关于对称轴对称”
当、时的函数值都是，计算两点横坐标的平均数得对称轴.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线y= -x2+6x-7=-(x -3)2+2，
∴该函数图象开口向下，故A错误，
∴对称轴为直线x=3，故B错误，
与y轴的交点坐标为(0，-7)，故C错误，
顶点坐标为(3，2)，故D正确，
故答案为： D.
【分析】先将抛物线的一般式化为顶点式，再根据顶点式以及二次函数的性质，依次判断各选项的正误即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】
A：a=1＞0，函数开口向上，A选项错误；
B：对称轴为直线x=1，B选项错误；
C：顶点坐标是（1，2），C选项正确；
D：，，与x轴无交点，D选项错误.
故答案为C
【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟悉二次函数顶点式，当a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；顶点坐标是（h，k），对称轴为直线x=h，当＞0，则函数与x轴有2个交点，=0，则函数与x轴有1个交点，＜0，则函数与x轴无交点。
5．【答案】B
【解析】【解答】
解： A、当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意：
B、由函数图象可知：抛物线的对称轴为x == 2000， 即当x= 2000时， y有最大值，则B
选项正确，符合题意；
C、由函数图象可知：当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 即C选项错误，不符合题意：
D、当y=0.4时， 由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的图像可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为x= 2000，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项逐一判断即可解答.
6．【答案】3
【解析】【解答】解：将二次函数y=(x-1)2-4的图象向左平移m个单位后，新函数解析式为y=(x+m-1)2-4
由于图象经过原点，代入点(0，0)得：0=(0+m-1)2-4
即(m-1)2-4=0
整理得(m-1)2=4
∴m=3或m=-1
∵m>0
∴m=3
故答案为：3.
【分析】根据二次函数图象平移规律”左加右减“，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可.
7．【答案】＜
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2＋1的图象开口向上，对称轴是y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
∵点A（1，y1），B（2，y2）都在二次函数y＝x2＋1的图象上，1＜2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【分析】先分析出当x＞0时，y随x的增大而增大，再结合1＜2，可得y1＜y2．
8．【答案】
【解析】【解答】解：抛物线与轴没有交点，
∴，
解得，
的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据抛物线图象与x轴没有交点，则对应的二次方程无解，根据，解不等式即可求出答案.
9．【答案】（1）解：把代入二次函数，得，
解得，，
∴，
把代入一次函数，得，
∴；
（2）解：∵，
∴一次函数，
由，解得或，
∴点的坐标为；
（3）或
【解析】【解答】（3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为或．
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可得，再根据待定系数法将点A坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）联立两函数解析式，解方程组即可求出答案.
（3）当二次函数图象在一次函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（1）解：把代入二次函数，得，
解得，，
∴，
把代入一次函数，得，
∴；
（2）解：∵，
∴一次函数，
由，解得或，
∴点的坐标为；
（3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为或．
10．【答案】（1）2
（2）证明：对于二次函数 判别式
在函数 中， b=-m，c=m-1。
计算判别式：
将判别式配方： +1
因为 所以(
因此， 说明二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）p>1或p<-1
【解析】【解答】（1）解：把 代入得-1=2-2m+m-1，解得m=2，
故答案为：2；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
则点A在抛物线对称轴的右侧，
当点B在抛物线的右侧时，
因为开口向上，
∴对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵ ，
∴m+1解得p>1；
当点B在抛物线的左侧时，
∵点A关于直线x=m的对称点的坐标为(m-1，y1)，
因为开口向上，
∴对称轴左侧y随x的增大而减小，
∵ ，
∴m+p解得p<-1，
∴p的取值范围为p>1或p<-1.
【分析】（1）把代入二次函数的解析式求出m的值即可；
（2）令y=0，然后得到，判断得到即可得到结论；
（3）求出抛物线的对称轴是直线x=m，然后得到点A在抛物线对称轴的右侧，分为点B在对称轴的左边或右边两种情况，根据二次函数的增减性解答即可.
11．【答案】（1）直线与轴、轴分别交于点、，
则点、的坐标分别为：、，
对称轴为直线，则函数与轴另外一个交点为：，
则抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）过点作轴的垂线交于点，
设点，点，
的面积，
解得：或，
故点的坐标为：或．
【解析】【分析】（1）由直线与轴、轴分别交于点、求出点A、B的坐标分别为：（5，0）、（0，5），对称轴为直线x＝3，则函数与x轴另外一个交点为：（1，0），即可求解；
（2）过点Q作x轴的垂线交AB于点P，根据两点所在函数位置，可设点，点，可得出△ABQ的面积，即可求解．
12．【答案】（1）解：设A 型客车每辆载客量为x人，由题意得：
解之得：x=60.
经检验： x=60是方程的根.
∴B型客车每辆载客量为：60-15=45（人），
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；
（2）解：设租A型客车m辆， B型客车(10-m) 辆，租车总费用w， 则
60m+45(10-m)≥530
解之得
w=(3200-50m)m+3000×0.8×(10-m)
=-50（m-8）2+27200
∵ 对称轴为m=8，a=-50＜0，
∴ m≤8时， w随着m的增大而增大.
∵m取正整数，且
∴当m=6时， w最小值为27000(元).
∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元.
【解析】【分析】（1）设A 型客车每辆载客量为x人，根据题中的相等关系“A 型客车载客600人的车辆数=用B型客车载客450人的车辆数”可列关于x的分式方程，解这个方程并检验即可求解；
（2）设租A型客车m辆， B型客车(10-m) 辆，租车总费用w，根据题意“ 学校参加研学活动师生共有530人”列关于m的不等式，解不等式可得m的范围；根据租车总费用w=m辆A型车的费用+(10-m)辆B型车的费用可得w与m之间的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解.
13．【答案】D
【解析】【解答】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴负半轴，即，故①正确，符合题意；
②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意；
③根据图象可知，当时，图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确，符合题意，
综上所述，①②③结论正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据图象与轴交点在轴负半轴，可得c＜0，故①正确；二次函数图象与x轴交于点（-1，0）与（3，0），根据抛物线的对称性可得二次函数的对称轴为，结合对称轴直线公式可得，故②正确；当时，二次函数图象位于轴下方，即当，所对应的函数值，故③正确．
14．【答案】C
【解析】【解答】解： 二次函数为 y = x2 + 4 x + m ，其二次项系数为1（正数），故开口向上。对称轴为 x == 2，结论①正确；
二次函数与x轴的交点个数由判别式 Δ = b 2 4 a c 决定。代入得：
Δ = 42 4 × 1 × m = 16 4 m ，当 Δ > 0 时，方程有两个实根，即 16 4 m > 0 m < 4，结论②正确；
函数开口向上，对称轴为 x = 2 。若 y1 < y2 ，则点 A 离对称轴的距离比点 B 近。距离为 | x 1 + 2 | 和 | x2 + 2 | ，故 | x1 + 2 | < | x2 + 2 | 。但结论③中为 | x1 + 2 | > | x2 + 2 | ，与推导矛盾，因此结论③错误；
当 x ≥ 2 时，联立方程 x2 + 4 x + m = 2 x 1 ，化简为：
x2 + 2 x + ( m + 1 ) = 0 ， 方程有两个不相同的根，则 判别式 Δ = 22 4 × 1 × ( m + 1 ) = 4 4 ( m + 1 ) = 4 m > 0 m < 0，二次函数的对称轴为x=-1，且开口向上，故最小值在x=-1处取得，为m，而两根都大于或等于-2，则当x=-2时，对应的函数值m+10，综上可知，结论④正确。
故答案选：C
【分析】①根据二次函数的图象性质与系数之间的联系不难判断图像开口方向和对称轴；
②二次函数图象与x轴的交点个数可以转化为相应的一元二次方程根的情况，所以令y=0，让方程的判别式大于0即可求出m的取值范围；
③对于一个开口向上，对称轴为x=-2的抛物线，由 y1＜y2 可知点A比点B距离对称轴更近，故，即 |x1+2|<|x2+2|；
④联立两个函数解析式得到关于x的含参一元二次方程，为保证方程有两个不相等的实数根，，为保证两根都大于等于-2，根据图象可知当x=-2时，该二次函数值应大于0，由此得出m的范围是。
15．【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，且抛物线与y轴的交点在负半轴，
∴b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象知：当x=-3时y＞0，即y= 9a﹣3b+c ＞0，故②错误；
∵ 点（，y1），（，y2），（，y3）在抛物线上 ，
由图象知： y2＜y1＜y3，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c-t=0有实数解 ，
要使得 ax2+bx+k＝0有实数解 ，则k=c-t≤c-n，故③错误；
设抛物线的对称轴交x轴于H，
∵，
∴b2-4ac=12，
∴x=，
∴，
∴AB=PH，
∵BH=AH，
∴BH=PH，
∴∠PBH=60°，
∵PA=PB，
∴△PAB为等边三角形，故⑤正确.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象与性质逐一判断即可.
16．【答案】D
【解析】【解答】解：抛物线交y轴于正半轴
抛物线开口向下
抛物线的对称轴为
且
，即对应的函数值相等
点和关于对称轴对称
，即
若，两点都在抛物线的图象上，则点到直线的距离为3，点到直线的距离为1，由于抛物线开口向下，则距离对称轴的距离越大函数值越小，即
故答案为：D.
【分析】由抛物线的开口向下知二次项系数a为负，由抛物线交y轴于正半轴得一次项系数c为正，由对称轴为得a和b异号，即b为正，则bc为正，故A选项正确；由抛物线的对称轴为得，即，故意B选项正确；若抛物线上两点关于对称轴对称则函数值相等，且横坐标和的一半等于对称轴对应的横坐标值，故C选项正确；由于抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴的距离越大函数值越小.
17．【答案】或
【解析】【解答】解：解方程，得，
∴二次函数的图象与轴的交点坐标为或，且开口向上，
∴当时，自变量x的取值范围为或．
故答案为：或．
【分析】首先令y=0，可求得图象与轴的交点坐标为或，再根据a=1＞0，可得出抛物线开口向上，即可得出当时，自变量x的取值范围为或．
18．【答案】0≤x≤1或3≤x≤5
【解析】【解答】解：将点(1，2)，(5，10)代入解析式得
解得b=-4，c=5
∴二次函数解析式为
令y=2得
解得x1=1，x2=3
令y=10得
解得x1=5，x2=-1(舍)
由二次函数图象性质可知，当 2≤y≤10时，自变量x的取值范围是0≤x≤1或3≤x≤5
故答案为：0≤x≤1或3≤x≤5 .
【分析】首先由待定系数法求出函数解析式，再求出函数值为2，10时的自变量值(舍去负值)，结合图象性质即可求解。
19．【答案】（1）解：∵二次函数图象过点，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
∴，
∴点的横坐标为.
（2）解：∵点和在函数图象上，
∴，，
∵，
，
∴.
（3）解：在函数中，
当时，，
∴，
∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点
∴，，
∴，，，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，，
综上：或或.
【解析】【分析】（1）把代入解析式求出m的值，再进一步求解即可.
（2）先得到，的值，根据，利用比差法解答即可.
（3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可.
20．【答案】（1）3
（2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上，
∴点向下平移个单位，
∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，
∵点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为；
∵点在线段上，即点在直线上，
∴当时，，
∴
（3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．
∴，把代入，得：，
∴，
∴，
∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为，
∵对于满足的任意实数，总成立，
∴或，
∴或
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴当时，，
∴，
∴；
故答案为：3；
【分析】（1）令时，求出的函数值，得到点坐标解答即可；
（2）根据点落在x轴正半轴上，得到点的平移规律，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可；
（3）待定系数法求出二次函数的解析式，设平移后新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，再根据二次函数的图象和性质解答即可．
21．【答案】（1）解：A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-8)
（2）解：∵F是直线x=t 与抛物线的交点，.
①当△BE1D1∽△CE1F1时，∵∠BCF1=∠CBO，∴CF1∥OB，
，解得t=0(舍去)或t=2；
②当△BE2D2∽△F2E2C时，过点F2作F2T⊥y轴于点T.
又∵∠CTF2=∠BOC，∴△BCO∽△CF2T，∴F2TCO=CTBO，
∵B(4，0)，C(0，-8)，∴OB=4，OC=8，
，解得 t=0(舍去)或
综上，符合题意的t的值为2或
【解析】【解答】解：(1)当y=0时，x2-2x-8=0，
解得x1=-2，x2=4，
当x=0时，y=-8，
∴A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-8).
故答案为：A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-8).
【分析】(1)分别令x，y为0，解方程即可求得点A，B，C的坐标；
(2)分两种情况：①若△BE1D1∽△CE1F1时，可得∠BCF1=∠CBO，由平行线的判定可得CF1//OB，即CF1//x轴，点F与C的纵坐标相同，建立方程求解即可；
②若△BE2D2∽△F2E2C时，过F2作F2T⊥y轴于点T，可证得△BCO∽△△CF2T，，即4t=8(2t-t2)，解方程即可求得答案.
22．【答案】（1）解：设抛物线表达式为y=a(x-1)2-4.
由抛物线过点C(0，-3)，得a(0-1)2-4=-3，解得a= 1.
所以，抛物线的表达式为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3
（2）解：方法1：过点P作x轴的垂线，交x轴于点F.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
∴△BOC与四边形BODP的面积相等.
设点P(t， t2-2t-3)，其中0＜t<3，
∴点F坐标为(t，0).
当y=0时x2-2x-3=0
解之：x1=-1，x2=3，
∴点B（3，0）
∴.
四边形BODP的面积.
所以.
整理得.
解得（舍去），.
点P的纵坐标.
所以点P的坐标为.
方法2连接PC，BD，过点P作CD的垂线，垂足为F.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD.
则点P和点C到直线BD的距离相等.
所以直线 PC∥BD，
易证△PFC∽△BOD.
所以.
设，其中.
则，解得，则.所以点P的坐标为
方法3连接PC、 BD， 过点P作直线CD的平行线， 交 BD于点F.
因为△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD：
则点P和点C到直线BD的距离相等.
所以直线PC// BD.
设直线 BD的表达式为y=kx+b.
易知点B的坐标为(3， 0)，
则则
所以直线BD的表达式为.
由，得，四边形PFDC是平行四边形，则.
设，其中，则.
由，解得（舍去），.
则.
所以点P的坐标为.
方法4连接PC、BD、过点P作直线CD的平行线，交 BD于点F.
因为△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD
则点P和点C到直线BD的距离相等
所以直线
直线 B D 的表达式为 ．
设点 ，其中 ，则 ．
所以
由 ，得 ，解得 （含去），
点 的纵坐标 ．
所以点 的坐标为
（3）解：满足条件的点M， N存在.
理由如下：
①若点M，N分别在直线BC的两侧，
不妨令点M在直线BC上方、点N在直线BC下方，如图.
可知∠MGH=90°，
则∠MGN= ∠MGH + ∠HGN>90°，不合题意.
②若点M、N在直线 BC的下方，
不妨设点M在点H下方，如图.
直线 BC 的表达式为y = x-3.
连接MH、则△MGN为等腰直角三角形，∠HGN=45°，
可得GN⊥y轴，MH⊥x轴.
设点M坐标为(m，m2-2m-3).其中0＜m<3.
则点H坐标为(m. m-3).
根据正方形的特征，可得点N坐标为，将点N坐标代入抛物线表达式，得，即。化简得，因为.
所以，进一步化为.
解得，（舍去）.
此时，正方形边长为.
③若点M，N在直线BC的上方，
不妨设点M在点H上方，如图.
设点，其中或，
根据正方形的特征，点N坐标为，
将点N的坐标代入抛物线的表达式，
得，即。化简得，
由于m<0或m>3，
则(m-2)(m2-5m-2)=2(m+2)，
进一步化为m2-7m+6=0.
解得m1=1(舍去)， m2=6.
此时MH=18，正方形边长为9.
综上所述，正方形边长为或9.
【解析】【分析】（1）利用已知条件设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4，将点（0，-3）代入函数解析式可求出a的值，即可二次函数解析式.
（2）方法1：过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，利用已知条件可推出△BOC与四边形BODP的面积相等；设点P(t， t2-2t-3)，其中0＜t<3，可表示出点F的坐标，由y=0可求出对应的x的值，可得到点B的坐标，利用三角形的面积公式求出△BOC的面积，再根据四边形BODP的面积等于△BOC的面积，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标；方法2连接PC，BD，过点P作CD的垂线，垂足为F，设，其中，可推出S△BCD=S△PBD，再证明△PFC∽△BOD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标；方法3连接PC、 BD， 过点P作直线CD的平行线， 交 BD于点F，可推出S△BCD=S△PBD，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，易证四边形PFDC是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到PF的长，设，其中，则，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标；方法4连接PC、BD、过点P作直线CD的平行线，交 BD于点，可推出S△BCD=S△PBD，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，设点 ，其中 ，则 ，利用三角形的面积公式可表示出△PBD的面积，同时可求出 BCD的面积，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标.
（3）分情况讨论：①若点M，N分别在直线BC的两侧，不妨令点M在直线BC上方、点N在直线BC下方，可证得∠MGH=90°，∠MGN= ∠MGH + ∠HGN>90°，不合题意；②若点M、N在直线 BC的下方，不妨设点M在点H下方，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，连接MH，易证△MGN为等腰直角三角形，同时可证得GN⊥y轴，MH⊥x轴，设点M坐标为(m，m2-2m-3).其中0＜m<3，可表示出点N的坐标，将点N的坐标代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到MH的长，可得到正方形的边长；③若点M，N在直线BC的上方，不妨设点M在点H上方，设点，其中或，利用正方形的性质可表示出点N的坐标，将点N的坐标代入二次函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到MH的长，即可得到正方形的边长；综上所述可得到符合题意的正方形的边长.
23．【答案】（1）解： A'（0，1），抛物线的对称轴是直线
（2）解：抛物线的对称轴是直线
当时，y有最大值为
，
，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x；
（3）解：存在，所有符合条件的 N 点的坐标是 (2，1)， (-2， ).
【解析】【解答】解：(1)∵点A(-1，0)以原点为中心顺时针旋转90°，
∴A(-1，0)规律得旋转后A'的坐标为(0，1)；
∵抛物线的解析式为，
∴其对称轴为，
故答案为：A'(0，1)，抛物线的对称轴是直线 ；
(3)存在，理由如下：
∵y=-x2+4x，
∴当x=2时，y=4，
∴P(2，4)，
设M(0，m)，N(s，t)，
由(1)知A'(0，1)，
当以点A'， P， M， N为顶点的四边形是矩形时，分以下两种情况：
①当A'P为对角线时，则△AMP为以M点为顶点的直角三角形，PN||A'M，即PN||y轴，A'N||PM，
∴PM⊥y轴，A'N⊥y轴，
∴M(0，4)，N(2，1)；
②当以A'M为对角线时，
则，
解得：，
∴M(0，t+3)，N(-2，t)，
∵A'M=PN，
∴(t+3-1)2=(2+2)2+(4-t)2，
解得，
∴，
所有符合条件的 N 点的坐标是 (2，1)， (-2， ).
【分析】(1)利用点顺时针旋转90°的坐标变化规律得A'坐标，根据抛物线对称轴公式求对称轴；
(2)由a<0知抛物线开口向下，结合对称轴x=2，判断3≤x≤5时y的最大值在x=3处，代入解析式求a，得抛物线解析式；
(3)先确定顶点P坐标，再分“A'M为对角线”“A'P为对角线”两种情况，结合矩形性质，通过坐标运算求符合条件的点N坐标即可.
24．【答案】（1）③
（2）解：把(m，m)代入得m=km+b，
整理得(1-k)m=b，
当时，，m为任意实数，故是“不动点函数”；
当且时，为任意实数，m=，故是“不动点函数”
（3）方法一
由二次函数，可得：顶点坐标为，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
，
即．
方法二
由二次函数，可得：对称轴为直线，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
顶点坐标为，
，
即
（4）据题意，得，
即．
令，即．
解得，
该函数是“不动点函数”．
不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等
【解析】【解答】①把(m，m)代入y=x+2得m=m+2，无解，原说法错误；
②把(m，m)代入y=-3x+2得m=-3m+2，解得m=，故不动点为，原说法错误；
③把(m，m)代入y=x得m=m，m为全体实数，则是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确；
故答案为：③；
【分析】（1）把(m，m)代入函数解析式，求出m值，然后根据“不动点函数”的定义判断即可；
（2）把(m，m)代入整理为(1-k)m=b，然后分情况讨论解答即可；
（3）得到抛物线的顶点坐标，再根据不动点的定义解答即可；
（4）根据利润=单利润×销售量列函数关系式，根据“不动点函数”的定义求出x值即可解答即可.
25．【答案】解：【方案一】由题意，设窗户的宽AB（横向边长）为xm，AD长（纵向边长）为ym，
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为6m，
∴3x+2y＝6．
∵长宽之比为5：3，
∴长为横向边y，宽为纵向边x，黄金分割比中长＞宽，故y：x＝5：3，即：．
将代入3x+2y＝6得，3x+2x＝6．
∴x．
答：窗户框架的宽AB为m．
【方案二】由题意，设窗架的长AD为xm，则宽AB为m，
∴，即，
∴要使窗架的面积最大，则，于是宽为．
∴当x＝1.5时，S最大值为1.5．
∴要使做成的窗架的面积最大，故该窗的AB，AD分别为1米，1.5米时，窗架的面积最大，最大值为1.5m2．
【解析】【分析】【方案一】设窗户的宽AB（横向边长）为xm，AD长（纵向边长）为ym，由题意可得3x+2y＝6，再根据黄金分割可得，再代入方程，解方程即可求出答案.
【方案二】设窗架的长AD为xm，则宽AB为m，根据矩形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
26．【答案】（1）
（2）解：由题意，得 CD∥AM，BD∥AF，∠C=∠CAM=90°.
∵CD∥AM，
∴∠CDA=∠DAM=β.
∵BD∥AF，
∴∠BDA=∠FAD，
∴ ∠CDA - ∠BDA = ∠DAM -∠FAD，
∴∠CDB=∠FAM=α.
在 Rt△CBD中，∠C=90°，
∴设 BC= xm，CD=3xm.
在 Rt △ACD 中， ∠C = 90°，
解得
经检验 是分式方程的解且符合题意，
（3）解：①由 F 为抛物线的顶点，可知FC=FD.
∵∠CFD=90°，
∴△FCD为等腰直角三角形.
由二次函数图象的对称性可知，F(1，1).
设二次函数的表达式为 y=a(x-1)2+1.将点 C(0，0)的坐标代入，得 解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为y=-(x-
②如图，光线 BD'与水平方向的夹角为θ，过点 D'作x 轴的垂线交x轴于点 E，过点 B 作y轴的垂线，两条垂线交于点 H，
则
设D'H=2am，BH=3am，
则点
代入
得
化简得
解得 (不合题意，舍去)，
∴遮阳篷点 D上升高度的最小值为
【解析】【解答】解：(1)在Rt△CBD中，∠C=90°，BC=0.5m，CD=1m，
∴(m)，
故答案为：.
【分析】(1)在Rt△CBD中，利用勾股定理直接解答即可；
(2)由平行线的性质求得∠CDA=∠DAM=β，∠CDB=∠FAM=α，在Rt△CBD中，，设BC=xm，CD=3xm，在Rt△ACD中，，代入得，解答即可；
(3)①首先判断出△FCD为等腰直角三角形，由二次函数对称性得出F(1，1)，设二次函数为：y=ax(x-2)，代入F(1，1)得：1=a(-1)，解得a=-1，从而得解；
②BD光线与水平方向的夹角为，过D'作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H，即，设D'H=2am，BH=3am，则点，代入解析式得27a2-12a-2=0，解得，(不合题意，舍去)，进一步得到D'E，进而得解.
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