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三角函数——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点A滑行到点B．若，则这名滑雪运动员水平方向BC滑行了多少米（　　）

A． B． C． D．
2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13，BC=5，则sinA=（　　）
A． B． C． D．
5．在中，，则（　　）
A． B． C． D．
6．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（　　）米．
A． B． C． D．
7．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是　 　m（结果保留根号）
8．如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB=53。时，他才能开门，那么BD长为　 　.（参考数据：sin53。≈0.8，cos53。≈0.6，tan53。≈1.33，保留1位小数）
9． 计算：
10．计算：．
11．计算：．
12．如图，滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面，为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为，为的中点，，，，．根据生活经验，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为时，要使遮阳效果最佳，求的长．（结果精确到；参考数据：，，，）
二、能力题
13．如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF，BG，AB＝4CE＝4，则tan∠FBG＝（　　）
A． B． C． D．2
14． 如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN.根据以上作图过程，有以下结论：
①是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分；④四边形AMPN是菱形；⑤.
其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15． 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P. 若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
16． 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（　　）
A． B．2 C． D．
17．四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为　 　．
18． 如图，网格图中每个小正方形的面积都为1. 经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为　 　．
19．如图，点E为矩形的边上一点（点E与点B不重合），，，将沿对折得到，其中点F落在矩形内部.若点F到边和的距离相等，则　 　.
20．现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°．
（1）填空：∠1＝　 　 °，∠2＝　 　 °；
（2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80）
21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点在线段上，点在上，支撑点到箱底的距离于点，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆的长度；
（2）求拉杆端点到水平滑杆的距离的值（结果保留到）．
（参考数据：）．
三、拓展题
22．如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量.为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°，测得B点的俯角为43°.
（1）【问题解决】
请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）；（参考数据：）
（2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度.（可提供的测量工具：皮尺、测角仪.）
23．为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
【制作仪器】
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．
【测量高度】
小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为37°，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离地面点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24．综合与实践
【阅读材料】
如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C：
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m.
（1）【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离.
(参考数据：
（2）【评价反思】
设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，由题意可得：，
∴，
∴．
这名滑雪运动员水平方向滑行了．
故答案为：B
【分析】 根据锐角三角函数中余弦的定义，，可直接进行求解．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：根据SAS，结合网格可得出，进而得出，且≠30°，所以A，B，D不正确，C正确；
故答案为：C.
【分析】首先结合网格，根据相似三角形的判定，可得出，即可得出，且根据直角三角形边长之比可得出≠30°，即可得出答案。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过作于，则，
＝5．
．
故答案为：D
【分析】过作于，根据勾股定理可得AC=5，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在中，
∴
故答案为： B
【分析】根据正弦定义即可求出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=ACtan=5tan (米)，
∵∠BAC=， AC=5米，
∴地毯的长度为BC+AC= ( 5tana+5) 米.
故答案为：B.
【分析】根据正切的定义得到：BC=ACtan=5tan；由地毯的长度为AC+BC的长代入数据即可解答.
7．【答案】
【解析】【解答】由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°= ，
解得：CD=40 （m），
故答案为：40 ．
【分析】在Rt△ABD中，可得AD=AB=120m；在Rt△ADC中，由tan∠CDA=tan30°=可求得CD。
8．【答案】1.2
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意易知四边形CDBE是矩形，
∴CD=BE=1.8m，BD=CE，
∴AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9m，
在Rt△ACE中，
∵
∴CE=tanA·AE≈1.33×0.9=1.197≈1.2(m)，
∴BD=1.2m.
故答案为：1.2m.
【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先得到BD与CE、CD与EB间关系，再利用线段的和差关系求出AE的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论.
9．【答案】解：原式=
=
【解析】【分析】根据绝对值性质，二次根式性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
10．【答案】解：原式
【解析】【分析】首先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质，算术平方根的性质以及45°角的正弦值进行化简，然后再合并同类二次根式即可求出答案。
11．【答案】解：原式
．
【解析】【分析】根据二次根式性质，特殊角的三角函数值，0指数幂，绝对值性质，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
12．【答案】解：如图，过点作于点，
∵当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳，滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长约为米．
【解析】【分析】过点作于点，根据题意可得，，从而得，进而得，于是得出，然后求出，根据等腰三角形“三线合一”的性质，解直角三角形求出的值，最后可得的长．
13．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4CE=4，
∴AB=BC=CD=AD=4，AD∥AE，∠D=∠BCF=∠DCE=90°，CE=1，
∴BE=BC+CE=5，
∵点F是CD的中点，
∴CF=DF=2，
∴在△FCE和△FDG中，
，
∴△FCE≌△FDG（ASA），
∴DG=CE=1，
∴AG=AD-DG=3，
∴在Rt△ACF中，由勾股定理可得，BF===，
在Rt△FDG中，由勾股定理可得，GF===，
在Rt△ABG中，由勾股定理可得，BG===5，
∴BF2+GF2=BG2，
∴△BFG为直角三角形，
∴tan∠FBG== ，
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质可知AB=BC=CD=AD=4，AD∥AE，∠D=∠BCF=∠DCE=90°，CE=1，求得BE=5，结合中点定义与对顶角相等易证△FCE≌△FDG（ASA），可推出DG=CE=1，AG=A3，由勾股定理可求得BF、GF、BG，再由勾股定理得逆定理可得△BFG为直角三角形，进而即可得出答案.
14．【答案】B
【解析】【解答】解：结论①：由作图知AM = AN，但MN与AM长度不一定相等，故△AMN是等腰三角形，非等边三角形，①错误；结论②：因为AM = AN，PM = PN，根据 “到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上”，A、P都在MN的垂直平分线上，故AP垂直平分MN，②正确；结论③：由PM = PN，AP垂直平分MN，根据等腰三角形 “三线合一”，PA平分∠MPN，③正确；结论④：AM = AN（A为圆心的弧），但AM与PM长度不一定相等，故四边形AMPN四条边不全相等，不是菱形，④错误；结论⑤：由PM = PN = MN，得△MPN是等边三角形，∠MPN=60°，故 ，⑤正确，综上，正确的结论为②③⑤，共3个，
故答案为：B .
【分析】 根据作图得到的线段相等关系，结合垂直平分线判定、等腰（等边）三角形性质、菱形判定、三角函数值，逐一判断每个结论的正确性即可.
15．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意， 设△BGC的边长BC=c，CG=b，BG=a，
∴小正方形EFGH的边长FG=a-b，
∵BP=BC，BG⊥PC，
∴CG=GP=b.
∴HP=a-2b.
∵DE//BG，
∴，
∴，
∴b2+2ab-a2=0，
∴，
∴（负根不合题意，舍去）
∴tan∠CBG=，
故答案为：A .
【分析】设BC=c，CG=b，BG=a，利用正方形性质、平行线分线段成比例及一元二次方程的解法，求出∠CBG的对边与邻边的长度关系，进而计算正切值.
16．【答案】B
【解析】【解答】解：过点G作GH⊥BC于点H
∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC=90°
∠DBC=∠BDC=45°，AC=BD，OA=OC=OB=OD，AC⊥BD
由折叠可得BC=BF，CE=EF
∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE
∴∠DEF=∠FDE=45°
∵
∴
∴
∴
∴
∵∠FBE=∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD
∴OG=HG
∵BG=BG
∴Rt△OBG≌Rt△HBC
∴
∴
同理可得
∴
故答案为：C
【分析】过点G作GH⊥BC于点H，根据折叠性质可得BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，则∠DEF=∠FDE=45°，解直角三角形可得DF，根据边之间的关系可得，，求出OB，再根据全等三角形判定定理可得Rt△OBG≌Rt△HBC，则，根据边之间的关系可得CH，同理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，
∴∠DEO=∠BFO=90°，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE∽△BOF，
∴
∴OF=2OE，
设OE=x，则OF=2x，EF=OE+OF=3x，
∵AB=4，AD=2，
∴
∴
∴Rt△AED∽Rt△ABF，
∴.
∴AF=2AE，
∴AE=EF=3x，
∴AO=3x+x=4x，
∵点O是AC的中点，
∴CO=AO=4x，则CE=4x+x=5x，
在Rt△CDE中，
∴
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2即
解之：（取正值）
∴.
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DOE∽△BOF，利用相似三角形的对应边成比例可证得OF=2OE，设OE=x，可表示出OF、EF的长；利用已知可推出，利用HL可证得Rt△AED∽Rt△ABF，利用相似三角形的性质可得到AF=2AE，可表示出AE、AO、CO、CE的长；在Rt△CDE中，利用解直角三角形可表示出DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，再根据AC=8x，代入计算可求出AC的长.
18．【答案】
【解析】【解答】解：如图，在图中标注C，D，
设NC=x，
∵AD//NB
∴∠MAD=∠ANC，
∵∠MDA=∠ACN，
∴△ANC∽△MAD
∵AC=AD=1
∴
∵△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1，
∴S△AMD+S△ANC=3-1=2，
∴，
即
∴
解得，(舍去)，
∵AN2=AC2+NC2
，
∴
∴
故答案为：.
【分析】设NC=x，证明△ANC∽△MAD，可求得，根据△BMN的面积为3，得到S△AMD+S△ANC=2，求得，解方程得到，根据勾股定理求得，最后得到sin∠MNB的值.
19．【答案】
【解析】【解答】解：如图：
根据题意将图形补充完整，则有△ABE≌△AFE，KF=PF，KP⊥AD.
∴∠BAE=∠FAE，AB=AF=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠KAB=∠B=90°，
又∵∠BPK=∠PKA=90°，
∴四边形ABPK是矩形，
∴AB=KP=6=AF.
∴KF=0.5KP=3.
∴Rt△AKF中，，
∴∠KAF=30°.
∴
∴.
故答案为：.
【分析】根据全等性质得∠BAE=∠FAE，AB=AF=6；根据点F到边和的距离相等得KF=PF，KP⊥AD. 根据矩形的性质结合KP⊥AD可证得矩形ABPK. 从而可得AF和KF的值.在Rt△AKF中解直角三角形得∠KAF=30°，根据全等三角形的性质得到∠BAE的度数，从而可得.
20．【答案】（1）64；53
（2）解：∵∠2＝53°，∠EHD＝90°，
∴∠HED＝37°，
∵在Rt△EDH中，DE＝30cm，cos∠HED，
∴EH＝DE cos∠HED＝30×cos37°≈24（cm），
∵EM＝50cm
∴MH＝EM+EH＝74（cm），
∴AG＝MH＝74cm，
∵AC＝AB+BC＝12+26＝38（cm），
∴CG＝AG﹣AC＝36（cm），
∵在Rt△CGD中，∠GCD＝90°﹣∠1＝26°，cos∠GCD，
∴CD40（cm），
答：此时伸缩杆CD的长度约为40cm．
【解析】【解答】解：（1）如图，延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点，
∴∠CGD＝90°，∠EHD＝90°，
∵∠BCD＝154°，
∴∠1＝∠BCD ∠CGD＝154° 90°＝64°，
∵∠CDE＝63°，
∴∠2＝180° ∠1 ∠CDE＝180° 64° 63°＝53°，
故答案为：64，53.
【分析】（1）延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点，先结合图形并利用角的运算求出∠1＝∠BCD ∠CGD＝154° 90°＝64°，再利用平角求出∠2的度数即可；
（2）先利用解直角三角形的方法求出EH的长，再利用线段的和差求出CG的长，再结合cos∠GCD，最后将数据代入求出CD的长即可.
21．【答案】解：（1）于点，
∴在中，，
，
（2）如图，过点作，交延长线于点，
在中，，
．
【解析】【分析】（1）解直角三角形即可求出答案.
（2）过点作，交延长线于点，根据边之间的关系可得AC，解直角三角形即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则四边形ABDE为矩形.
∴ DE=AB=150，AE=BD.
又CF∥AB.
∴∠ABC=∠FCB=43°，∠CDE=∠FCD=35°.
，
CE=DE·tan∠CDE=150×tan35°≈150×0.70=105.0.
∴BD=AE=AC-CE=139.5-105.0=34.5≈35(m).
∴建筑物AC，BD的高度分别为140m和35m.
（2）解：设测量得AB=a，
再用测角仪从点B测量得点C的仰角为43，从点D测量得点C的仰角为35，
∴AC=，BD=AC-CH=
【解析】【分析】（1）如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，判定得到四边形ABDE为矩形，根据平行线的性质得到∠ABC=∠FCB=43°，∠CDE=∠FCD=35°，再根据正切的定义解直角三角形可得AC，CE的值，再利用线段的和差运算计算可得BD，解答即可；
（2）写出方案，画出示意图，方案与示意图一致，且设计合理即可.
23．【答案】解：在△ACD中，∠CAD＝37°，AC＝20米，
根据正切函数的定义，可得 CD＝AC×tan∠CAD，
将AC＝20米，（tan37°≈0.75）代入上式，可得 CD＝20×0.75＝15（米），
∵AC＝1.5（米），
∴树的高度 BD＝CD+AC＝15+1.5＝16.5（米）．
答：树的高度为16.5 米．
【解析】【分析】可过点C作DB的垂线段构造直角三角形CDE，再解直角三角形求出DE的长，再利用矩形的性质可得BE的长，则树高DB可求.
24．【答案】（1）解：
由正弦定理可得：
∴A、B两导之间的距离是 499m.
（2）解：工具：测距仪
测量过程：
步骤 1：在空旷地找一点 C
步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得
步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长.
如图所示，
∴△DCE~△BCA
∴AB=2DE
【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得；
由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。
（2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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