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图形基础——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
2．“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中，雨“像细丝”说明（　　）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．无法确定
3．下列立体图形中，与其他三个立体图形不属于同类型的是 （　　）
A． B．
C． D．
4．一副三角板按如图的方式摆放，则的补角的度数是（　　）
A． B． C． D．
5． 如图， 是线段 的中点， 是线段BC的中点，若线段，则线段的长是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向，则∠AOB＝　 　度．
7．已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是　 　．
8．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠COD＝44°，则∠AOB＝　 　 ．
9．如图，在三角形中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接.若，则的长为　 　 .
10．小明一家准备自驾去居庸关长城游玩．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为，小明用地图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为，如图所示，小明发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少．请你用所学数学知识说明其中的道理：　 　．
11．如图，已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段上．点C是线段的中点．
（1）若线段，，求线段的长度；
（2）若，且，求线段的长度．
12．如图，是线段上的一点．
（1）尺规作图：作射线，在射线上截取（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
13．图中的物体都可以近似地看成由一些常见几何体组合而成，你能找出其中常见的几何体吗 你还能举出其他组合几何体的例子吗
14．如图，直线 与 相交于点 ，射线 平分 ，射线 在 内．
（1）若 的补角是它的余角的 倍，求 的度数；
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的度数．
二、能力题
15．如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（　　）
A． B． C． D．
16．现有AB，CD两根木条，M，N分别是AB，CD的中点，将两根木条叠放在一起．按如图所示叠放，，，则　 　．
17．如图，点C、D为线段上的两点，，若，则等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
18．如图，直线相交于点，若，则（　　）
A． B． C． D．
19． 如图所示，∠AOE=80°，OB 平分∠AOC，OD 平分∠COE，∠AOB=15°，则∠COD 的度数是　 　；若OA 表示时钟的时针，OD 表示分针，且OA 指在3点至4点之间，则该时刻是　 　.
20．如图所示为正方体的三个顶点，则的度数为　 　．
21．如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句用无刻度的直尺与圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）画直线AB；
（2）画射线AD；
（3）连接BD，在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小；
（4）连接DC，并反向延长DC至点E，使DE=CD.
22．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知．
（1）请说明原点在第几部分；
（2）若，，，求；
（3）若且，求的值．
三、拓展题
23．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点.例如：如题20-1图，点C是线段AB上一点，AC>BC，且，则点C是线段AB的黄金分割点.
（1）如图1中，若线段AB=1，求线段AC的长.
（2）如图2，线段AB=2，C，D是线段AB的黄金分割点.
求证：点D是线段AC的黄金分割点.
24．如图1，，射线OM，ON分别平分.和定义关于的特征值e满足：（题目中所出现的角均小于且大于
（1）如图1所示，　 　；
（2）在图1中，若射线OA，OB，OC位置不变，射线OD从图1的位置出发，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，直到射线OD与射线OA重合时停止运动.设运动时间为t秒，求t为何值时，关于的待征值e=2.
（3）在图1中，若射线OA位置不变，射线OB，OC，OD从图1的位置出发，OB绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，OC，OD绕点O以每秒的速度逆时针旋转，直到射线OD与射线OA重合时，所有运动停止.在整个运动过程中，关于的特征值e不超过的总时长为t0，直接写出t0的值.
25．小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．
【发现问题】
黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正n边形，且各顶点连接r（r≥3）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体．
【提出问题】
小明思考：这样的正多面体有几个？
【分析问题】
一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据．
正多面体 F n V E r
正四面体 4 3 4 6 3
正方体 6 4 8 12 3
正八面体 8 3 6 12 4
（1）根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：　 　 ．
（2）小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系．
①从而出发：
以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．
正F面体的棱数E＝　 　 ；（用含n，F的代数式表示）
②从顶点出发：正F面体的棱数E＝　 　 .（用含r，V的代数式表示）
（3）【解决问题】
已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数．
（4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短，该选项是真命题，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，该选项是假命题，不符合题意；
C、正五边形的外角和为，该选项是假命题，不符合题意；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，该选项是假命题，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据多边形外角和，菱形的性质，轴对称图形的特点及两点之间线段最短，逐一判断即可作答.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中，
雨“像细丝”说明了：点动成线．
故答案为：A．
【分析】雨滴可以看成点，雨滴在空中下落时，这些点在空中运动，其运动轨迹形成了象细丝一样的线，这符合“点动成线”.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、三棱柱 B、三棱锥 C、长方体 D、五棱柱
其中A、C、D均为棱柱，B为棱锥
故 其他三个立体图形不属于同类型的是
故答案为：B.
【分析】根据A、C、D均为棱柱，B为棱锥即可分类.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴的补角的度数是，
故答案为：D．
【分析】先利用角的运算求出∠BAD的度数，再利用补角的定义求出答案即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：由条件可知，，
∵BD=2cm，
∴，
∴AB=8cm.
故答案为：A.
【分析】根据线段中点的定义可得，则，据此即可得.
6．【答案】85
【解析】【解答】解：∵OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向
∴∠AOB＝180°-41°-54°＝85°
故答案是：85．
【分析】本题主要考查了方位角的定义，以及角的运算， 方位角是指从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线间的水平夹角，结合角度和差的性质，即可求解．
7．【答案】3
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据圆锥侧面积公式，把侧面积 15π、母线长 5 代入，得到 15π = 5πr，解得底面半径 r = 3。
8．【答案】136°
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠COD＝44°，
∴∠COB=∠BOD-∠COD=46°
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=136°
故答案为：136°
【分析】根据余角可得∠COB，再根据角之间的关系即可求出答案.
9．【答案】5
【解析】【解答】解：由作图可知：AD=AB，
故答案为：5.
【分析】根据作一条线段等于已知线段的作法可得出AD=AB，即可求解.
10．【答案】两点之间，线段最短
【解析】【解答】解：根据题意，得其中的道理是：两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
【分析】结合材料信息，直接由“两点之间，线段最短”进行求解.
11．【答案】（1）解：∵，点C是线段的中点，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵点C是线段的中点，
∴设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴
【解析】【分析】（1）先由“ 点C是线段的中点 ”，求出BC的长，在根据“”，可知CD为BC的，即可求出CD长；
（2）通过设未知数x，分别表示出AD和BD的长，在根据条件“ ”，即可列出等式，继而可求出x的值，得到AB的长.
12．【答案】（1）解：作图：作射线，在上截取，
如图所示，D即为所求（或线段为所求作）．
（2）解：
【解析】【分析】（1）按照题目要求，画出图形即可；
（2）首先根据AC=，可得出AC=3，进而得出BC=6，再根据CB=CD，即可得出BD=2BC=12.
（1）解：作图：作射线，在上截取，
如图所示，D即为所求（或线段为所求作）．
（2）解：
13．【答案】解：（1）圆锥、圆柱
（2）长方体、四棱锥
（3）圆柱、球体
例如：农家房屋就是长方体和三棱柱的组合体.
【解析】【分析】根据简单的组合体结合题意对三张图片分析，进而再举出其他例子即可求解。
14．【答案】（1）解：设的度数为．
根据补角定义，其补角为；根据余角定义，其余角为．
由题意“补角是余角的3倍”，得：
解方程：
移项得：
合并同类项得：
∴
即
（2）解：∵直线与相交于点B，
∴与是对顶角（对顶角定义），
∴（对顶角相等）．
∵点在同一直线上，
∴（平角定义），
∴ ．
设的度数为，由，得．
∵射线在内，
∴（角的和差关系），
即：
解方程：
即
∴
即
【解析】【分析】⑴根据补角和余角的性质列出方程解答即可.
⑵先由⑴得的大小，根据平角性质得到∠ABD，再根据角的和差关系及题干条件，借助方程思想求出即可.
15．【答案】C
【解析】【解答】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是，
故答案为：C．
【分析】结合图形，再利用钟面角的计算方法列出算式求解即可.
16．【答案】2
【解析】【解答】解：∵M，N分别是AB，CD的中点，AB=10，CD=6，
∴AM=AB=5，AN=CD=3，
∴MN=AM-AN=5-3=2．
故答案为：2．
【分析】根据线段中点的定义，分别求出AM、AN，再根据MN=AM-AN计算即可。
17．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴CD：AB=6：13，
∵，
∴CD===6.
故答案为：C．
【分析】 本题主要考查了线段的和差计算，正确理解题意理清线段之间的关系是解题的关键．根据题意可知 CD：AB=6：13， CD= ，再代入即可得出答案．
18．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵，
∴，
解得，
故答案为：C
【分析】先根据对顶角结合题意得到，进而结合“，”根据角的运算即可求出∠BOD的度数。
19．【答案】25°；3时分
【解析】【解答】解：∵∠AOB=15°，OB平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOB=30°，
∵∠AOE=80°，
∴∠COE=∠AOE-∠AOC=50°，
∵OD平分∠COE，
∴；
设此时的时刻为3点x分，则从3点算起，分针OD转过了6x°，时针OA转过了0.5x°，
3点时，时针与分针成90°，而∠AOD=55°，
故90-6x-0.5x=55，
解得：
故答案为：25°；3时分.
【分析】由OB平分∠AOC，可得∠AOC =30°，进而得到∠COE，又知OD平分∠COE，故能求得∠COD；设此时的时刻为3点x分，则从3点算起，分针OD转过了6x°，时针OA转过了0.5x°，根据角之间的关系求出x.
20．【答案】
【解析】【解答】解：∵为正方体的三个顶点，
∴、、是正方体一个面的对角线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方体各面对角线相等，得到，再根据三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
21．【答案】（1）解：直线AB即为所求
（2）解：射线AD即为所求
（3）解：线段BD和点P即为所求
（4）解：线段CD和线段DE即为所求.
【解析】【分析】（1）根据直线定义作图即可.
（2）根据射线定义作图即可.
（3）线段BD和点P即为所求.
（4）线段CD和线段DE即为所求.
22．【答案】（1）解：，
，异号．
原点在第③部分；
（2）解：若，，
则．
，
；
（3）解：，，
即，
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘法结合题意得到b，异号，进而即可求解；
（2）根据线段的和差可得，再根据数轴上两点间的距离即可求解；
（3）根据题意整体代入即可求解。
23．【答案】（1）解：如答题1图，设线段AC的长为x，则BC=1-x.
根据题意，得
即
解方程，得
（舍去）
所以
（2）解：如答题2图，因为C，D是线段AB的黄金分割点，
根据题意，得
∵AB=2，
∴BC=2-AC，BD=2-AD
即
设AC=m，AD=n
可得方程
分别解方程，得（舍去）；
（舍去）；
所以
则
∴AC2=CD·AC
∴点D是线段AC的黄金分割点.
【解析】【分析】
（1）如图设线段AC的长为x，表示出BC=1-x；根据黄金分割的定义得到，列方程计算即可解答；
（2）由C，D是线段AB的黄金分割点，得再分别表示出BC=2-AC，BD=2-AD，设AC=m，AD=n建立方程计算得到m，n的值即可得到再计算，再计算AD2，再根据黄金分割的定义判断即可解答.
24．【答案】（1）1
（2）解：如图1，
∵射线OD从图1的位置出发，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，
∴，
∵ON分别平分，
∴，
∴
∵射线OM平分，
∴，
∴
，
∵，
∴，解得：（s）
∴t为4s时，关于的待征值e=2.
（3）解：t0的值为4s.
【解析】【解答】（1）解：如图1，
∵
∴，，
，
∵射线OM，ON分别平分和，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：1.
（3）设运动时间为ts，则：，，，
，
∴，
∴，，
∴，
∵关于的特征值e不超过，
∴，
∴，解得：，
当，，解得t=12s，
∴，
∴关于的特征值e不超过的总时长为t0为4s.
【分析】（1）根据求出，，，根据射线OM，ON分别平分和，得，，即可得，即可得.
（2）根据射线OD从图1的位置出发，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，得，根据ON分别平分，得，，根据射线OM平分，得，进一步得
，根据，得，解得：（s），即可.
（3）设运动时间为ts，则：，，，
，进一步得，，，即可得，
根据关于的特征值e不超过，得，解得：，当，，解得t=12s，即可得即可.
25．【答案】（1）
（2）；
（3）解：由题意可得，，
，
根据（1）中公式可得，
可得，
解得，
则这个正多面体的面数为；
（4）解：由题意可得，，
代入可得，
，
，
，
为正整数，且，，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，无论取任何值，，故不成立，
综上，满足正多面体定义的几何体一共有个．
【解析】【解答】解：（1）根据观察可得，
故答案为：；
（2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，
又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为，
故答案为：；
②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，
又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为，
故答案为：；
【分析】（1）观察数据即可解答；
（2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，再根据正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，利用正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为；
（3）根据上述公式列方程即可解答；
（4）由题意可得，代入，即可得到，整理后，利用逐一判断即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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