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相交线与平行线——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．如图，直线a∥b，直线c分别与直线a，b交于点A，B，以点A为圆心，任意长为半径画弧交直线c于M，N两点，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交直线b于点C，若∠1=55°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接最出A，B间的距离。为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案：
方案1 ①如图1，选定点O； ②连接AO，并延长到点C，使OC=OA，连接BO，并延长到点D，使OD=OB： ③连接DC，测量DC的长度即可。 方案2 ①如图2，选定点O： ②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF=OB，OE=OA： ③连接EF，测量EF的长度即可。
对于方案1和方案2，下列说法正确的是（　　）
A．1、2都不可行 B．1不可行、2可行
C．1可行、2不可行 D．1、2都可行
3．如图，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，，，和的平分线交于点，过点作分别交，于，，则的周长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，平行线被直线所截，若，则等于(　　)
A． B． C． D．
6．如图，当　 　　 　时，．
7．如图，在中，的平分线交于E，交的延长线于点F，则　 　．
8．如图、点在同一直线上，，，．求证：．
9．如图，已知，，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
10．如图，C是线段AB 的中点，.
（1）求证：
（2） 连接DE，若 求 DE 的长.
二、能力题
11． 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．如图，直线，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（　　）．
A．15° B．20° C．30° D．40°
13．如图，光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射向水中时，要发生折射现象．在相同介质中光线是平行的．如图，水面与杯底互相平行，若，则（　　）
A． B． C． D．
14．如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝36°，AB＝10，则的长等于（　　）
A．20π B． C． D．4π
15． 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB =1，∠EBC =30°，则△ABF的面积为　 　.
16．如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为 .
17．如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
18．已知：如图：在△ABC中，D，F分别为边AB、BC的中点，∠AED＝∠DFB．
求证：
（1）△AED≌△DFB；
（2）∠C＝∠EDF．
19． 如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长．
20．如图，点是平行四边形边的中点，连结并延长交BC的延长线于点．求证：，并求的长.
三、拓展题
21．项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底，从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏培围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
交流过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上. 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF.BE，CF均表示步道的宽，BE=CF图中各点都在同一竖直平面内.
数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计.
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：
sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈ 0.99，tan8.5°≈0.15， sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).
22．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上．
测量数据
备注 点在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
23． 开启作角平分线的智慧之窗
（1）问题：作的平分线
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是　 　；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②　 　；
对丙同学的作法陷入了沉思．
（2）任务：
①请你将上述讨论得出的依据补充完整；
②完成对丙同学作法的验证．
已知，求证：平分．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠DAP=∠1=55°，
根据作图可得AP⊥c，
∴∠PAN=90°，
∴∠2=90°-∠DAC=90°-55°=35°，
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠DAP=∠1=55°，然后根据作图可得AP⊥c，然后根据角的和差解答即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：方案1：在△AOB与△COD中，
AO=OC，AOB=COD，OB= OD，
∴△AOB△COD(SAS)，
∴AB=CD.
方案2：在△AOB与△EOF中，
AO=EО，
AOB=EOF，
OB=OF
∴△AOB△EOF(SAS)，
∴AB=EF.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件发现方案1，方案2都可以利用SAS证明两个三角形全等，即两种方案都可行，由此即可解答.
3．【答案】D
【解析】【解答】解： A： ∠1和∠2 是内错角，不符合题意；
B： ∠1和∠2 不是同位角，不符合题意；
C： ∠1和∠2 是同旁内角，不符合题意；
D： ∠1和∠2 是同位角，符合题意.
故答案为：D.
【分析】 同位角的判定需满足两条直线被第三条直线所截，且两个角位于截线的同侧，被截直线的同方向。观察各选项中∠1与∠2的位置关系，判断是否符合“F”型结构。 观察选项图示：
- A选项中两角位于被截直线内侧，形成“Z”型，为内错角；
- B选项中两角位于截线两侧，不符合同位角定义；
- C选项中中两角位于截线两侧且同旁，构成“U”型，为同旁内角；
- D选项∠1与∠2位于截线同侧，且分列两条直线的同方向，呈现“F”型.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，
平分，
，
，
，
，
，
同理，，
．
故选：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义可得，根据三角形外角性质可得，则，根据等角对等边可得，同理，，再根据三角形周长即可求出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，
，
．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质推出∠3=∠1，由对顶角的性质得到∠2=∠3即可．
6．【答案】1；2
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故当时，，
故答案为：1，4．
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
7．【答案】4
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵的平分线交于点E，
，
，
，
故填：4．
【分析】 本题着重考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质.在平行四边形中出现角平分线时，构造等腰三角形是解题的关键.本题充分体现了平行四边形性质在几何线段长度求解中的应用，是对学生几何推理能力的考查．
8．【答案】证明：∵AD∥BC
∴∠A=∠C
∵AE=CF
∴AE+EF=EF+FC，即AF=CE
在△ADF和△CBE中
∴△ADF和△CBE(SAS)
∴
【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠A=∠C，再根据边之间的关系可得AF=CE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
9．【答案】（1）证明：∵
∴∠BAC=90°
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=40°=∠1
∴
（2）解：∵ ，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴∠D=∠B=50°
【解析】【分析】(1)利用三角形内角和定理可求出∠ACB=40°，再根据平行线的判定说明；
(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD是平行四边形，故对角相等，∠D=50°。
10．【答案】（1）证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，是线段的中点，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
【解析】【分析】（1）先根据线段中点定义以及平行线性质得，，根据全等三角形判定定理”“得证结论；
（2）先求出，根据全等三角形对应边相等得，于是证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到的长.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，为边上的中线
∴
∴CD=AD=BD
∴∠B=∠BCD
∵AD=CD，DE⊥AC
∴∠ADE=∠CDE
∵∠A+∠ADE=90°，∠A+∠B=90°
∴图中与∠A互余的角共有4个
故答案为：C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD，根据等边对等角可得∠B=∠BCD，根据等腰三角形性质可得∠ADE=∠CDE，再根据余角定义即可求出答案.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：延长FA与直线b交于点H，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
，
若 则 的度数是
故答案为： B.
【分析】延长FA与直线b交于点H，先求出正六边形的内角∠F的度数，再由平行线的性质得到 然后根据三角形内角和定理求解即可.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：添加辅助字母，如图所示：
∵在相同介质中光线是平行的，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等可判断∠1=∠4，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠3，再进行计算即可.
14．【答案】D
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB=36°
∵l1∥l2
∴∠CBD=∠ADB=36°
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD
∴∠ABC=36°+36°=72°
∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-72°=108°
∵AB=AC
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-72°-72°=36°
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=108°-36°=72°
故答案：D.
【分析】由等腰三角形的性质和平行的性质可得∠ABC=72°，∠BAC=36°，由此得∠CAD=72°，由弧长公式即可得弧长.
15．【答案】
【解析】【解答】解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠ABC=∠FMC
∴AB∥FM
∵
∴
∵CF⊥BE，垂足为F，AB=1=BC，∠EBC=30°
∴∠BFC=90°，
∴∠CFM=90°-∠BCF=30°
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°，根据正方形性质可得∠ABC=90°，再根据直线平行判定定理可得AB∥FM，根据三角形面积可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CFM=90°-∠BCF=30°，则，根据边之间的关系可得BM，再根据三角形面积即可求出答案.
16．【答案】43°
【解析】【解答】解：∵∠DOB =∠FOB=23.5°，
∴∠DOF =∠DOB+∠FOB=47°，
∵GD∥HF，
∴∠OFH =180°-∠DOF=180°-47°= 133°
∵FI是⊙O的切线，
∴OF⊥FI，
∴∠OFI = 90°，
∴∠IFH = 133°-90°= 43°，
故答案为：43°.
【分析】根据平行线的性质求出∠OFH，根据切线的性质得到∠OFI = 90°， 进而求出∠IFH即可.
17．【答案】3
【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接ME，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴EAM=∠NAM，
在AME与AMN中
AE=AN
∠EAM=∠NAM，
AM=AM
∴AMEAMN（SAS），
∴ME=MN，
∴BM+MN=BM+MEBE，
∵BM+MN有最小值，
∴当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，
又AB=6，∠BAC=30°，
∴BE=3，
∴的最小值是3.
故答案为：3.
【分析】在AC上截取AE=AN，连接ME，由角平分线的定义得EAM=∠NAM，即可由SAS证明AMEAMN，再根据BM+MN有最小值，可知当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，再利用30直角三角形的性质计算即可解答.
18．【答案】（1）证明：∵点D、F分别为AB、BC的中点，
∴DF∥AC，AD＝BD，
∴∠A＝∠FDB，
在△AED和△DFB中，
，
∴△AED≌△DFB（AAS）
（2）证明：由（1）知：△AED≌△DFB，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴∠EDF＝∠DFB，
∵DF∥AC，
∴∠C＝∠DFB，
∴∠EDF＝∠C．
【解析】【分析】（1）根据根据三角形中位线定理可得DF∥AC，AD＝BD，再根据直线平行性质可得∠A＝∠FDB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠ADE＝∠B，根据直线平行性质可得∠EDF＝∠DFB，∠C＝∠DFB，则∠EDF＝∠C，即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称，
，，
，
，
在和中，
，
（ASA），
，
又，
∵四边形ABCD是平行四边形，
又，
∴四边形ABCD是菱形
（2）解：由 (1) 得：四边形 ABCD 是菱形，
，
，
，
，
在Rt中，由勾股定理得：，
在Rt中，由勾股定理得：，
，，
，
.
【解析】【分析】
(1)根据轴对称的性质和平行线的性质，利用ASA证明，利用全等三角形的性质和已知条件课判定四边形ABCD是平行四边形，从而可解答；
（2）根据菱形的性质和线段的和差可得BE=8，利用勾股定理计算得到DE，BD的长；再根据菱形的面积公式计算即可解答.
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC =AD=5，
∴∠D= ∠FCE，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在ADE和FCE中，
∴△ ADEFCE(ASA)，
∴FC=AD=5，
∴BF=BC+FC=5+5=10.
【解析】【分析】现根据平行四边形的性质得到BC//AD，BC =AD=5，再利用平行线的性质得到∠D=∠FCE，结合中点的定义得到DE=CE，即可由ASA证明△ ADEFCE(ASA)，再由全等三角形的性质即可解答.
21．【答案】解：由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形.
∴EF=AD=26， AD // EF.
∴∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° .
设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠ABE=
∴AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=
∴AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°
∴x·tan37°=(26-x)·tan8.5°.
解，得
∴BC=26-2×≈17（米）、
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米.
【解析】【分析】由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，利用矩形的性质得到EF=AD=26， AD // EF，进一步可得∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° ，设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.利用正切的定义建立关系x·tan37°=(26-x)·tan8.5°，计算即可解答.
22．【答案】（1）解：理由如下：
根据题意。得EF∥AD， ED∥AC
∴∠EFD=∠ADC， ∠EDF=∠ACD
∴△EDF∽△ACD
∴CD=CA
（2）解：如图， 过点E作EH⊥AC于点H.设AB=x米
则EH∥BN， EH=CD=CA=(x+1.2)米
BN=CM=(x+2.2)米， AH=(x-0.9)米
∴∠ANB=∠AEH
即：
解得：
经检验。 符合题意
答：纪念碑AB 的高度为19.8米
（3）解：
故小红的结果误差较大
原因可能是测量工具不精确
【解析】【分析】（1）由于太阳光线可看作是一组平行线，即EF//AD，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，即ED//AC，则由两直线平行同位角相等可判定，由相似比可得；
（2）如图， 过点E作EH⊥AC于点H，可得，显然四边形EDCH、MNBC都是矩形，则借助（1）的结论可得EH=CD=AC，BN=CM，BC=MN，此时可设AB为x，则EH、BN、AH均可用含x 的代数式表示，由于EH//BN，则，即，解和可得，再解方程即可；
（3）直接计算两个结果的误差并比较，原因可能是测量工具不精确，也可能是计算有误，答案不唯一.
23．【答案】（1）SSS；等腰三角形的三线合一
（2）证明： ∵∠AED=∠AOB， ∴ED∥OB， ∴∠EPO=∠BOP，
∵EP=EO， ∴∠EPO=∠EOP， ∴∠BOP=∠EOP， ∴OP平分∠AOB.
【解析】【解答】（1）甲同学：
由尺规作图的作法可知，OM=ON，MP=NP，OP=OP，
故△OMP≌△ONP，
从而OP平分∠AOB.
故依据为SSS；
乙同学：
由作图方法可知，OA=OB，OP⊥AB，
根据等腰三角形三线合一，
得OP平分∠AOB，
故答案为 ：等腰三角形的三线合一.
【分析】 （1）利用全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质解决问题即可；
（2）利用平行线的判定和性质，等腰三角形的性质证明即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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