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三角形的边角、角平分线与垂直平分线——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中、、三点在同一直线上，平分，平分．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．下列命题的逆命题成立的是(　　)
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．对顶角相等
D．线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
3．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则=（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题为真命题的是（　　）
A．三角形的外心是三条角平分线的交点
B．圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆
C．“长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件
D．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是：
5．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 (　　)
A．3， 1， 9 B．5， 7， 10
C．5， 5， 13 D．5， 6， 11
6．如图，∠1的度数为 　 　 ．
7．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积是　 　．
8．如图，在□ABCD中，BC=2AB=8，.连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为　 　.
9．如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝　 　°．
10．如图，中，点D在边上，且．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
11．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，连接直线，交于点，交于点．
（1）求证：直线垂直平分线段；
（2）若，连接，求的度数．
12．学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线.
小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）.请你利用尺规作图，在OB边上截取OF=OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的平分线（不写作法，保留作图痕迹）.
第二步：利用三角形全等证明她的猜想.
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP=∠OFP=90°.
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）.
∴③ ▲
∴OP平分∠AOB.
二、能力题
13．如图，直线被第三条直线所截，射线平分，若，则为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，直线，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
15．形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（　　）
A．点是边的黄金分割点 B．点是边的中点
C．是边上的高 D．是的平分线
16．如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，若点O到BC的距离为3.5，AB=4，则△ABO的面积为　 　.
17．如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AD 是△ABC 的一条角平分线，E为AD中点，连接BE.若BE=BC，CD=2，则 BD的长为　 　.
18．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为　 　．
19．如图，点C在线段上，，，．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证．请完成下面的证明过程：
证明：
①
在和中，
②
平分
③
在和中，
．
20．在Rt△ABC 中， ∠ABC=90°， ∠ACB=30°∠BAC的平分线AD 交BC于点 D.如图1.
（1）求∠ADC的度数；
（2）已知AB=3，分别以C，D 为圆心，以大于 CD 的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN 交 BC于点E，交AD的延长线于点 F.如图2，求DF的长.
21．在△ABC 中， AC=5，D为直线BC上一点，连接AD.
（1）若AD为BC边上的中线， 　 　；△ABD 和△ACD的周长差为　 　；
（2）若AD为BC边上的高，且AD=3.
①BC 的长为　 　；
②当BD>BC时，点 C 到AB 的距离为　 　；
（3）若AD 为∠BAC 的平分线.
▲
②求证：
三、拓展题
22．如果一个三角形的三边长a，b，c均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有　 　个；当（n为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有　 　个．（用含n的代数式表示）
23．喜欢数学的小茗同学在学习的过程中想到了一个新的定义：对于线段MN，若在平面内有一点P，到线段MN两端点的距离相等，且∠P=30°时，则称点P为线段MN的“垂美点”.如图，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，当点P在第二象限内时，线段AB的“垂美点”P的坐标为　 　.
24．学分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.
作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（II）分别以点M，N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（III）画射线OC，则射线OC即为所求.
（1）如图1，射线OC就是∠AOB的角平分线的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS.
（2）下面是小明同学给出的方法：
如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连结CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
你认为小明的这种作角平分线的方法（　　）
（3）在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线：
如图3，在已知∠AOB的边OA，OB上分别取OC=OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线相交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：由一副三角尺按如图所示拼在一起且、、三点在同一直线上，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴．
故答案为：A．
【分析】由角的和差和平角等于180°可求得∠ACE的度数，然后根据角平分线的概念并结合角的和差即可求解．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，不成立；
B、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，不成立；
C、对顶角相等的逆命题的相等的交是对顶角，不成立；
D、线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，成立，
故选： D.
【分析】根据全等三角形的判定定理、绝对值的性质、对顶角的性质、线段垂直平分线的判定定理判断即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：根据作图可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据线段垂直平分线尺规作图得到垂直平分，得，从而根据等腰三角形”等边对等角“性质得，进而根据三角形外角性质得，于是得，然后利用三角形内角和定理求出，根据，即可求解．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心，所以原命题是假命题，故A错误；
．正立的圆锥的三视图是两个等腰三角形和带圆心的一个圆，所以原命题是假命题，故B错误；
. 根据三角形的三边关系可知原命题是真命题，故C正确；
．∵点在平面直角坐标系的第四象限，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：，所以原命题是假命题，故D错误；
故答案为：．
【分析】根据三角形的外心的定义、圆锥的三视图、三角形的三边关系、第四象限的点的特点进行逐项进行判断即可．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵3+1<7，∴不能组成三角形；
B、∵5+7>10，∴能组成三角形；
C、∵5+5<13，∴不能组成三角形；
D、∵5+6=11，∴不能组成三角形.
故选： B.
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析.
6．【答案】100°
【解析】【解答】解：由三角形外角性质可知
故答案填：100°
【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形的外角等于不相邻的两个内角和，由此可以求出∠1等于100°。
7．【答案】5
【解析】【解答】解：过D点作于，
∵，
∴，
由作图步骤可得为的平分线，
∵，
∴，
∵，
∴的面积．
故答案为：5
【分析】过D点作于E，根据和，同时结合作图步骤，可知，AD是的平分线，然后根据角平分线的逆定理，可得DE=DC，然后再根据三角形的面积公式：，代入数据即可求解。
8．【答案】
【解析】【解答】解：连接AN，
由作图可知，MN 垂直平分AC，
∴AN=CN.
∵点N恰为BC的中点，
∴BC= 2BN=2CN ，
∵BC=2AB= 8，
∴BN=CN=AB=4，
∴ BN= AN= AB=CN=4，
∴ABN是等边三角形，∠CAN=∠ACN ，
∴BAN=ABC=ANB = 60 ，
∵CAN +ACN=ANB ，
∴CAN=ACN =ANB = 30 ，
∴BAC=BAN +CAN = 90 ，
∴AC=.
故答案为：.
【分析】连接AN，利用垂直平分线的性质和中点的定义，先证明ABN是等边三角形，得到CAN=ACN，进一步得到BAC=BAN +CAN=90 ，再根据勾股定理计算即可解答.
9．【答案】65°
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，
∴AB＝AB1，∠BAB1＝50°，
∴∠ABB1＝（180° 50°）＝65°．
故答案为：65°．
【分析】根据旋转性质可得AB＝AB1，∠BAB1＝50°，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
10．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵平分，∴，
∵，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据作图-角的平分线即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解。
11．【答案】（1）证明：连接，，，，
由作图可知，
∴M，N在线段的垂直平分线上，
∴直线垂直平分线段；
（2）解：∵直线垂直平分线段，点D是直线和的交点，即点D在直线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的作法可求解；
（2）由垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，由等边对等角可得，根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠ADC=∠ABD+∠DAB求出∠ADC的度数，再根据直角三角形两锐角互余可求解．
（1）证明：连接，，，，
由作图可知，
∴M，N在线段的垂直平分线上，
∴直线垂直平分线段；
（2）解：∵直线垂直平分线段，点D是直线和的交点，即点D在直线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
12．【答案】第一步：作图如图所示.
第二步：OE=OF；OP=OP；∠POE=∠POF
【解析】【解答】第二步：证明：
在和中，
∴OP平分.
故答案为：OE=OF；OP=OP；∠POE=∠POF.
【分析】第一步：根据题目中作图要求作图即可；
第二步：根据HL证明，根据对应角相等证明结论即可.
13．【答案】A
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴∠EGF=∠EFG，
∵∠AEC=∠EFG+∠EGF=76°
∴2∠FGE=76°，
∴∠FGE=38°.
故答案为：A．
【分析】由角平分线的定义得∠DFG=∠EFG，由二直线平行，内错角相等得出∠EGF=∠GFD，由等量代换得∠EGF=∠EFG，进而根据三角形外角性质可得2∠FGE=76°，求解即可.
14．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠1=38°，∠BAC=74°，
∴∠ABC=180°-∠1-∠BAC=180°-38°-74°=68°，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠ABC=68°.
故答案为：D.
【分析】由三角形的内角和等于180° 可求出∠ABC的度数，然后根据平行线的性质“两直线平行内错角相等”可求解.
15．【答案】A
【解析】【解答】解：A、点D是边的黄金分割点，而的黄金分割点有两个，所以与面积的比值不唯一，故A符合题意；
B、∵点D是边的中点，
∴，
∴与面积的比值为1，故B不符合题意；
C、∵是边上的高，
∴与面积的比值为，故C不符合题意；
D、∵是的平分线，
∴与面积的比值为，故D不符合题意.
故答案为：A．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个，根据同高三角形面积之比等于对应底之比可得△ABD与△ACD的面积之比也有两个，据此可判断A选项；根据中点定义得出BD=CD，从而由等底同高三角形面积相等推出△ABD与△ACD的面积之比等于1，据此可判断B选项；由于三角形某一条边上得高线是唯一确定的，故根据同高三角形面积之比等于对应底之比可得△ABD与△ACD的面积之比等于 BD∶CD，据此可判断C选项；由角平分线上的点到角两边的距离相等及同高三角形面积之比等于对应底之比可得△ABD与△ACD的面积之比等于AB∶AC，据此可判断D选项.
16．【答案】7
【解析】【解答】
解： ∵△ABC的两个外角的平分线AD， CE相交于点O，
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到BC的距离为3.5，
∴点O到AB的距离为3.5，
∵AB=4，
∴△ABO的面积为：x4x3.5= 7；
故答案为：7
【分析】根据角平分线的性质，得到点O到AB的距离等于点O到BC的距离，再利用面积公式进行计算即可解答.
17．【答案】
【解析】【解答】解：如解图，连接CE，过点E作EF⊥CD于点 F，
设BD=x，EF=m，
∵ ∠ACB=90°，E 为 AD 中点，
∴CE=AE=DE，
∵CD=2，EF⊥CD
∠ECA，∠DCE=∠CDE，
∴ ∠CED=2∠CAE，AC=2EF=2m.
∵BE=BC，
∴ ∠BEC = ∠BCE，
∴ ∠BEC =∠CDE，
又∵ ∠BCE = ∠DCE，
∴
∵AD 是△ABC的一条角平分线，
∴ ∠CAB = 2 ∠CAE =∠CBE.
∵ ∠ACB =∠BFE = 90°，
∴ 2x)= (x+1)(x+2)，解得 x = (负值舍去).
故答案为：.
【分析】连接CE，过E作EF⊥CD于F，设BD=x，EF=m，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC=∠BEC，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到∠CED=2∠CAE，AC=2EF=2m，证明△CBE∽△CED，利用相似三角形的性质和勾股定理得到m2=3+2x；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明△CAB∽△FBE得到2m2=(x+1)(x+2)，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可.
18．【答案】140°
【解析】【解答】解：如图，
由折叠知∠3=∠1=20°，
∵a∥b，
∴∠1=∠4=20°，
∴∠5=180°-∠4-∠3=140°，
∴∠2=140°.
故答案为：140°.
【分析】由折叠知∠3=∠1=20°，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠4=20°，根据三角形的内角和定理算出∠5，最后根据对顶角相等，可求出∠2的度数.
19．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2），，，．
【解析】【解答】（2）证明：，
①，
在和中，
②，
平分，
③，
在和中，，
．
故答案为：，，，．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2） 由于AB= DE，可以得出相应的内错角相等，进一步可证明，再由全等三角形的对应边相等，可得AF=EF.
20．【答案】（1）解：∵∠ABC=90°， ∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠ADC=∠DAB+∠ABC=120°
（2）解：由作图知MN是线段CD的垂直平分线，
∵∠DAC=∠C=30°，
∴AD=CD，
∵∠ABC=90°， ∠DAB=30°，
∵∠ADB=∠FDE， ∠ABD=∠FED=90°，
∴△ADB≌△FDE，
【解析】【分析】 (1)根据已知∠ABC=90°，∠ACB=30°，可得∠BAC=60°，再由AD是角平分线，将∠BAC分为两个30°的角；在△ADC中，利用内角和定理可求∠ADC的度数，解答即可；
(2) 由尺规作图可知MN是CD的垂直平分线，故，再30°直角三角形的边角关系，可求出AD的长度，再通过全等三角形的性质得到DF=CF=，解答即可.
21．【答案】（1）1；3-5
（2）10或2；
（3）解：
②证明：设BC边上的高为h2，
∴根据题意可知
∵由①可得
【解析】【解答】解：（1）∵AD为BC边上的中线
∴，即
△ABD 和△ACD的周长差为AB-AC=3-5
故答案为：1；3-5
（2）①∵AD为BC边上的高，且AD=3
∴，
如图：
∴BC=BD+CD=10
如图：
或BC=BD-CD=2
故答案为：10或2
②∵BD>BC
∴BC=2
设点C到AB的距离为h
∴
∴
故答案为：
（3）①如图，AD为∠BAC的平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∴
故答案为：
【分析】（1）根据三角形中线性质即可求出答案.
（2）①根据勾股定理可得BD，CD，再分类讨论，结合边之间的关系即可求出答案.
②设点C到AB的距离为h，根据三角形面积即可求出答案.
（3）①过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线定义可得DE=DF，再根据三角形面积即可求出答案.
②设BC边上的高为h2，根据三角形面积，结合边之间的关系节课求出答案.
22．【答案】3；
【解析】【解答】解：当时，或4，
当时，，即，
c为偶数，则；
当时，，即，
c为偶数，则或8，满足条件；
三角形三边长分别为：2，6，6或4，6，6或4，6，8；
综上，当时，“幸运三角形” 有3个；
故答案为：3；
当时，“幸运三角形”是2，4，4，共1个；
当时，“幸运三角形”是2，6，6或4，6，6或4，6，8，共3个，；
当时， “幸运三角形”是2，8，8或4，8，8或4，8，10或6，8，8或6，8，10或6，8，12，共6个，；
当时， “幸运三角形”是2，10，10或4，10，10或4，10，12或6，10，10或6，10，12或6，10，14或8，10，10或8，10，12或8，10，14或8，10，16，共10个；，
“幸运三角形”的个数为：，
故答案为：．
【分析】先理解题目描述的新定义，先由b的值，确定a的值，再根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，确定c的范围，求出c的可能值，即可总结规律解答.
23．【答案】
【解析】【解答】解：由于直线y=x+2与x轴交点A，故令y=0，得x=-2，则A(-2，0)；令x=0，得y=2，则B(0，2).故AB的中点：.
由于AB的斜率为，故垂直平分线的斜率为-1，垂直平分线方程为y-1=-1(x+1)，即y=-x．
由于∠APB=30°对应圆心角为60°，以AB为弦作圆，圆心为O'，使圆周角为30°，则圆心角为60°，
故AB的长度为，△O'AB是等边三角形，圆的半径R满足.
在Rt△PMB中：；（等腰三角形三线合一）；
由，得．又PM是点P到AB中点H的距离，AB的垂直平分线为y=-x，M(-1，1)在该直线上，故PM的长度为．结合，得，因x<0，故，即，则P的坐标为.
故答案为：.
【分析】先根据直线与坐标轴的交点规律求线段AB的端点坐标；再根据“垂美点”的定义（到A，B距离相等+∠APB=30°），结合垂直平分线的性质，圆周角定理确定点P的轨迹；最后通过等腰三角形+三角函数求解点P的坐标.
24．【答案】（1）C
（2）正确
（3）证明：∵OC=OD，OP=OP，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)，
∴∠COP=∠DOP，
∴OP平分∠AOB。
【解析】【解答】（1）解：如图所示，
连接MC，NC，由作法得MC=NC，OM=ON，OC =OC，
∴△OMC≌△ONC(SSS)，
∴∠AOC=∠BOC；
（2）由作法得OC=OD，OE=OF，因此CE= DF.
在△OCF和△ODE中，OC =OD，∠COF =∠DOE，OF =OE
∴△OCF≌△ODE(SAS)，
∴∠CEP=∠OFP，
在△CEP和△DPF中，∠CEP=∠DFP，∠CPE=∠DPF，CE= DF，
∴△CEP≌△DFP(AAS)，
∴EP=FP
在△OEP与△OFP中，OE=OF，EP= PF，OP=OP
∴△OEP≌△OFP(SSS)
∴∠EOP=∠FOP
即OP平分∠AOB.
【分析】（1）利用SSS证明出△OMC≌△ONC，即可选出答案；（2）通过三次证明三角形全等，即可选出正确选项；（3）利用HL证明出Rt△OPC≌Rt△OPD，即可得出答案。
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