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特殊三角形——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．如图，在中，于点D，添加下列条件后仍不能使成为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，连接，若，则等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，在RtΔABC中，，按以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点在AB的上方）；（2）作直线MN交AB于点，交BC于点；（3）用圆规在射线OM上截取．连接AD，AE，BE，过点作，垂足为，交AD于点．下列结论：
（1）；（2）；（3）；（4）若，则四边形ADBE的周长为25．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是　 　m．
6．等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是　 　．
7．等腰三角形有两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长为　 　.
8．某房梁如图所示，立柱AD⊥BC， E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB=AC=8m，则DE的长为　 　m.
9．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证：
（1）△ABE≌△DCE；
（2）∠EAD＝∠EDA．
10．如图，，，，求的度数．
二、能力题
11．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A（1，0），C（1，2），将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（　　）
A．（﹣3，） B．（，3） C．（，2） D．（﹣2，）
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（　　）
A．3 B．2 C．2 D．4
13． 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，CE⊥AB于点E，AD与CE相交于点O，则（　　）
A． B． C． D．
14．七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE．若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
15．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
16．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE//DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是　 　.
17．如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处.B'C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，若AB=6cm，则AD=　 　cm
18．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要　 　元．（用含a的代数式表示）
19．已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q．若∠FQP＝45°，则EF的长为　 　 ．
20．如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG.
（1） 求证： ；
（2） 若 ， 求AG的长.
21．一只蚂蚁沿图中所示的折线由点A处爬到了点D处，它一共爬行了多少厘米(图中小方格的边长代表1cm)
22．某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求高压电塔CD的高度（结果保留根号）．
三、拓展题
23．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）.如图，在中，，顶角A的正对记作，这时，根据上述角的正对定义，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
24．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为30cm，则这个“莱洛三角形”的周长是　 　cm．（结果保留）
25．综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究.如图， 中， 中，
（1）【观察感知】
如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE 交于点 F，求 的度数和线段AD 的长.（结果保留根号）
（2）【探索发现】
在图①的基础上，保持 不动，把 绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点 A 落在边 DE 上（如图 ②）.
①求线段AD 的长；（结果保留根号）
②判断AB 与DE 的位置关系，并说明理由.
26．定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）；
②如图2，若与互为“旋转位似图形”，，，则 ；
③如图2，若与互为“旋转位似图形”，若，则 ，若连接，则 ．
（2）知识运用：
如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转位似图形”；
（3）拓展提高：
如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，求和的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，
∴∠ADC=90°，
∴，
又∵，
∴，即，
∴为直角三角形，故选项A不符合题意；
B、 ∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为直角三角形，故选项B不符合题意；
C、 ∵，
∴，
∴，即为直角三角形，故选项C不符合题意；
D、∵，，
∴，只能说明为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D符合题意．
故答案为：D.
【分析】由垂直的定义可得∠ADC=∠BDC=90°，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠BAC=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断A选项；由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△ADC∽△CDB，由相似三角形对应角相等得出∠A=∠1，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠BAC=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断B选项；根据勾股定理的逆定理可判断出∠ACB=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断C选项；由同角的余角相等推出∠A=∠B，只能说明△ABC为等腰三角形，无法说明是直角三角形，据此可判断D选项.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：在等边三角形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：A
【分析】
先由等腰三角形三线合一知BD＝CD＝3、CE＝BE，再由等边对等角结合三角形的内角和可得是等腰直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：因为以为圆心，长为半径作弧交于，所以 ，
又因为，所以是等边三角形， ，
已知，
则.
故答案为：D .
【分析】根据作图可知，结合判定为等边三角形，求出长度，再用得到.
4．【答案】（1）D
【解析】【解答】解：由题意可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
点0是线段AB的中点，．
∴点G，F分别是AD，AC的中点．
．故（1）正确；
又
∴四边形ADBE是菱形．
在Rt中，
∴。故（2）正确；
．故（3）正确；
∴．
在Rt中，．
设
∴解得．
四边形ADBE的周长为25．故（4）正确．
故选D
【分析】由题意可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得点0是线段AB的中点，，再根据直线平行判定定理可得，再根据三角中位线定理可判断（1）；根据菱形判定定理可得四边形ADBE是菱形，根据直角三角形斜边上的中线等斜边的一半可得，再根据勾股定理可判断（2）；根据三角形面积可判断（3）；根据勾股定理可得，设，再根据勾股定理建立方程，解方程可判断（4）.
5．【答案】12
【解析】【解答】解∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，
∴另一直角边长=，
故梯子可到达建筑物的高度是12m．
故答案是：12．
【分析】以梯子的长度为斜边，地面与墙分别两直角边构造直角三角形，再用勾股定理求解即可．
6．【答案】或
【解析】【解答】
解：当的角为顶角时，如下图，
∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为，
当的角为底角时，则：顶角，
∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为；
故答案为：或．
【分析】可分为两种情况：当的角为顶角时，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案为40°；当的角为底角时首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可得出∠A=80°，进而根据直角三角形两锐角互余即可得出答案为10°。
7．【答案】15
【解析】【解答】解：当3为腰长时
∵3+3=6
∴不能构成三角形
当6为腰长时
等腰三角形周长为：6+6+3=15
故答案为：15
【分析】根据等腰三角形性质及三角形三边关系分情况讨论，即可求出答案.
8．【答案】4
【解析】【解答】解： ∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵E是AB的中点，
∴DE=0.5AB=4，
故答案为：4.
【分析】
由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算.
9．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
（2）证明：由（1）得△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得AB=DC，∠B=∠C=90°，然后用中点的定义得BE=CE，接下来根据全等三角形判定定理“SAS”即可得证△ABE≌△DCE；
（2）根据全等三角形对应边相等得AE=DE，从而根据等腰三角形“等边对等角”得证∠EAD＝∠EDA．
10．【答案】解：，
，
，，
，
，，
，
．
【解析】【分析】根据题意先求出，再根据三角形的内角和定理求出，最后计算求解即可.
11．【答案】A
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示：
∵点A（1，0）， C（1，2），
∴
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∵BD⊥AC，
∴AD=CD=，点D（1，）
∴BD=3，
∴点B（-2，），
∴ 将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（-3，），
故答案为：A.
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，由A、C的坐标可知AC⊥x轴，AC∥y轴，由等边三角形的性质可得点B（-2，），再根据坐标系中图形平移的规律即可得出答案.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， AB=6， 点E是BC的中点，
∴CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C=90°，
由折叠得AF=AB， FE=BE=3， ∠AFE=∠B=90°，
∴AF= AD， ∠AFG =∠D = 90°，
在Rt△AFG和Rt△ADG中，
∴ Rt△AFG ≌ Rt△ADG(HL)，
∴FG=DG，
且CG=6-DG， EG=3+FG=3+DG，
解得DG=2，
故答案为： C.
【分析】由正方形的性质得CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C =90°， 则. =3， 由折叠得AF= AB， FE = BE =3， ∠AFE=∠B=90°， 可证明Rt△AFG≌ Rt△ADG， 得FG=DG， 利用勾股定理求得DG=2， 即可求出AG长解答即可.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ AB＝AC＝5， D为BC的中点， BC＝6，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=3，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴∠EAD+∠AOE=90°，∠COD+∠OCD=90°，
∵∠AOE=∠COD，
∴∠EAD=∠OCD，
∴△ADB∽△CDO，
∴，
故答案为：B .
【分析】先利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD=BD=3，然后根据垂直定义可得∠AEC=∠ADC=90°，再根据对顶角相等可得∠AOE=∠COD，从而可得∠EAD=∠OCD，进而可得△ADB∽△CDO，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.
14．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】由等腰直角三角形的性质得，根据平行得，即可得到解答即可．
15．【答案】D
【解析】【解答】解：设AB=a
在图甲中
∵∠A=∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC=BC=AB=a
∴甲行走的路程=AC+BC=2a
在图乙中
AE+BE=AB=a
∵∠A=∠AED=∠FEB=∠B=60°
∴△DAE和△FEB都是等边三角形
∴AD=DE=AE，DF=FB=EB
∴乙行走的路程=AD+DE+DF+FB=2(AE+BE)=2a
在图丙中
延长AG，BH交于点P
∵∠A=∠B=60°
∴AP=AB=a
∵GH∴AG+GH+HB∴丙行走的路程为=AG+GH+HB<2a
∴
故答案为：D
【分析】设AB=a，分别在三个图中，结合三角形判定定理及性质，三角三边关系求出三人行走的路线，再比较大小即可求出答案.
16．【答案】BE=BC
【解析】【解答】解：要使△BCE成为等边三角形，可以添加BE=BC，
理由：∵CE∥DA，
∴∠A=∠BEC，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵∠A=∠B，
∴∠B=∠BEC=∠BCE，
∴△BEC是等边三角形.
故答案为：BE=BC.
【分析】利用平行线的性质和等边对等角可证得∠A=∠BEC=∠BCE，结合已知条件可推出∠B=∠BEC=∠BCE，由此可证得结论.
17．【答案】12
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，为等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵把平行四边形纸片沿对角线折叠，点落在点处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12.
【分析】根据平行四边形以及等边三角形的性质得，，，从而得，由折叠的性质求出，进而得，最后利用含30°的直角三角形的性质求出的值.
18．【答案】
【解析】【解答】解：如图，作的延长线于，
∴，
∴，
∴购买这种草皮至少需要（元），
故填：．
【分析】如图，作的延长线于，则，，根据购买这种草皮至少需要，计算求解即可．
19．【答案】2
【解析】【解答】解：在BC上找一点M，使得BM=2，连接AM，PM，则MC=BC-BM=4
在△ABM和△MCP中
∴△ABM≌△MCP(SAS)
∴∠BAM=∠CMP，AM=MP
∴∠AMP=90°
∴△AMP是等腰直角三角形
∴∠MAP=45°
∵∠FQP=45°
∴∠MAP=∠FQP
∴AM∥EF
∵AE∥MF
∴四边形AEFM是平行四边形
∴EF=AM
∴
故答案为：2
【分析】在BC上找一点M，使得BM=2，连接AM，PM，则MC=BC-BM=4，根据全等三角形判定定理可得△ABM≌△MCP(SAS)，则∠BAM=∠CMP，AM=MP，再根据等腰直角三角形判定定理可得△AMP是等腰直角三角形，则∠MAP=45°，根据直线平行判定定理可得AM∥EF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AEFM是平行四边形，则EF=AM，再根据勾股定理即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：由折叠可得
四边形是正方形，
在和中
；
（2）解： ∵∴
∵E是BC的中点 ∴
∵∴
设 ∴
在Rt△GBE中
∵（勾股定理） ∴
解得
∴.
【解析】【分析】(1)已知折叠后FC=DC，且DC=AD，结合公共边DC和直角条件，可利用HL定理证明全等；
(2)已知 ，需通过坐标系或几何关系求AG的长度，通过折叠后的对称性确定点F坐标，进而求出EF的方程，找到与AB的交点G，计算AG的距离.
21．【答案】解：所以蚂蚁一共爬了5+13+10=28cm.故本题答案为28cm.
【解析】【分析】本题要运用3次勾股定理的运算，分别求AB，BC，CD，最后求和计算答案.
22．【答案】（1）解：过点B作BE⊥AD于点E，如图
在Rt△ABE中，
∵∠A=30°
∴
即点B到AD的距离是20m.
（2）解：由(1)可知
在△ABD中，由三角形的外角性质可知
∴
∵BE⊥AD
∴△BDE是等腰直角三角形
∴DE=BE=20m
∴AD=AE+DE=
在Rt△ACD中，
∵∠A=30°
∴
【解析】【分析】(1)首先构造出点B到AD的距离(即线段BE)，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出BE的长度；
(2)在(1)的基础上求出AE的长度，利用三角形的外角性质求出，证明△BDE是等腰直角三角形，从而可知DE的长度，进而求出AD的长度，再次利用含30°角的直角三角形的性质可求CD的长度。
23．【答案】D
【解析】【解答】解：∵顶角A的正对记作，这时，且
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据顶角的正对的定义，结合等边三角形三边关系即可求解.
24．【答案】30π
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC=30，∠A=∠B=∠C=60°
∴
∴这个“莱洛三角形”的周长是3×10π=30π
故答案为：30π
【分析】根据等边三角形性质可得AB=BC=AC=30，∠A=∠B=∠C=60°，再根据弧长公式即可求出答案.
25．【答案】（1）解：根据题意， 可得， ，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：①如图3， 过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②， 理由如下：
∵， ，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质求出的度数，解直角三角形得的长，最后求的长即可；
（2）①过点作于，求出，利用含30°的直角三角形的性质得，从而利用勾股定理得，，进而求的长即可；
②根据等腰直角三角形的性质得，从而得，即可得证.
26．【答案】（1）①是；②50，③10，
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成位似图形，
∴和互为“旋转位似图形”。
（3）解：如图：如图，过E作于点H，
∵为等腰直角三角形，点G为中点，
∴，
∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，。
【解析】【解答】（1）解：①∵，都是等边三角形，
∴，
∵有公共顶点A，
∴是的“旋转位似图形”．
故答案为：是．
②∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：50；
③如图：连接，
∵与互为“旋转位似图形”，
∴，，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：10，．
【分析】（1）①根据“旋转位似图形”的定义，即可判断。
②根据“旋转位似图形”易得，根据 ，易得，最后再根据三角形内角和定理：，代入数据即可求解。
③根据（1）易得，然后再根据相似三角形的性质，可得 ，代入数据，求出AC的值，根据 ，易证，最后再根据相似三角形的性质： ，代入数据，即可求解。
（2）根据 ，易证，然后再根据相似三角形的性质，可得，进而易证，根据 ，可证 ，进而可得 ，最后根据“旋转位似图形”的定义即可证明结论；
（3）过E作于点H，根据等腰直角三角形的性质和正弦函数的定义，可得AG和AB的值，然后再根据“旋转位似图形”的定义可得，然后再根据相似三角形的性质： ，代入数据即可求出AE的值，根据，然后再根据正弦函数的定义：，代入数据求出的值、，然后再根据，最后运用勾股定理：，代入数据即可求解。
（1）解：①∵，都是等边三角形，
∴，
∵有公共顶点A，
∴是的“旋转位似图形”．
故答案为：是．
②∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：50；
③如图：连接，
∵与互为“旋转位似图形”，
∴，，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：10，．
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成位似图形，
∴和互为“旋转位似图形”．
（3）解：如图：如图，过E作于点H，
∵为等腰直角三角形，点G为中点，
∴，
∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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