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菱形——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．菱形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．四条边都相等
C．对角相等 D．邻角互补
2．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
4．如图，在菱形中，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，的对角线，相交于点O，要使成为菱形，还需添加的一个条件是　 　．
6．如图，菱形的周长为为8，对角线相交于点O，点E为的中点，则的长为　 　．
7．已知一菱形的边长为4，则其周长为　 　．
8．如图，菱形中，E是对角线上的一点，连接、，求证：．
9．如图，四边形是菱形，于点E，于点F．求证：．
二、能力题
10． 按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为和，重叠部分是一个面积为的菱形，则这个图案的总面积为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，E为中点，过E作，垂足为G，过E作交于点F，连接，若，，则的长为（　　）
A．12 B．10 C．6.5 D．5
13．如图，在菱形ABCD中，，点在边BC上，连接AE，将沿AE折叠，若点 落在BC延长线上的点处，则CF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
14．如图所示，四边形ABCD是菱形，E，F分别是边BC和对角线AC上的动点，且AF=CE，若AB=2，∠ABC=140°，则DE+DF的最小值为（　　）
A．2 B． C．2 D．3
15． 如图，已知菱形的两条对角线分别为6和8，点是边的中点，点是边上一点，点是对角线上一点，则的最小值为　 　．
16．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为　 　．
17． 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若，则AF＝ 　 　 ．
18．如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，G为AD 中点，点E在BC的延长线上，F，H分别为CE，GE的中点，∠EHF=∠DGE，CF= ，则AB=　 　.
19．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，是边的中点，过点作于点，于点，若，，则的长为 　 　 ．
20．如图，在四边形中，，交于点O．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如图2，过四边形的顶点A作于点，交于点，若，求四边形的面积．
21． 如图，点在直线外．
①在直线上任取一点，连接；
②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；
③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；
④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
⑤连接．
（1）由②得与的数量关系是　 　；由③得到的结论是　 　．
（2）求证：四边形是菱形．
三、拓展题
22． 归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
①　 　；
②　 　；
③　 　．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选：B．
【分析】与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，
∴AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴AC=BC=OA=OB，
∴四边形AOBC是菱形，
∴S四边形AOBC=×AB×OC=12=×3×OC
∴OC=8
故答案为：B.
【分析】利用作图可证AC=BC=OA，结合已知条件可证得AC=BC=OA=OB，利用四边相等的四边形是菱形，可证得四边形AOBC是菱形，利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出OC的长.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在菱形中，已知，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据菱形性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】解：要使成为菱形，只要菱形满足以下条件之一即可，①对角线相互垂直，②邻边相等．
故答案为即（答案不唯一）．
【分析】
当判定一个平行四边形是菱形时，有两种方法，分别为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，一组邻边相等的平行四边形也是菱形．
6．【答案】1
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，且周长为8，
∴，；
∵点E为的中点，
∴；
故答案为：1．
【分析】先根据菱形性质求得菱形边长为2，再由菱形性质及直角三角形斜边中线的性质求得OE．
7．【答案】16
【解析】【解答】解：菱形的周长为．
故答案为：16．
【分析】根据菱形性质即可求出答案.
8．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据菱形的性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
9．【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
在与中
，
，
．
【解析】【分析】根据菱形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：由作图过程可得AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠A=140°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BDC=∠ADB=∠ADC=70°.
故答案为：D .
【分析】由四边相等的四边形是菱形得四边形ABCD是菱形，由菱形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补可求出∠ADC=140°，进而根据菱形的每一条对角线平分一组对角可求出∠BDC的度数.
11．【答案】A
【解析】【解答】解：菱形的面积：（），
这个图案的总面积为：（），
故答案为：A．
【分析】利用菱形的面积公式求出菱形的面积为24cm2，再用两个菱形的面积再减去重叠部分计算求解即可.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接EO，
四边形是菱形，
∴，，
又∵EG⊥AC，EF⊥BD，
∴OHEG是矩形，
∴∠FEG=90°，
在Rt△BOC中，点E是斜边BC的中点，
∴EO=CE，
又∵EG⊥AC，
∴点G是CO的中点，
又∵点E是BC的中点，
∴EG=，
∵点E是BC的中点，点F是AB的中点，
∴EF=，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接EO，由菱形的性质得，，由有三个角是直角的四边形是矩形得OHEG是矩形，进而由矩形性质得∠FEG=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EO=CE，根据等腰三角形的三线合一得点G是CO的中点，由三角形的中位线定理得EG=，EF=，最后根据勾股定理算出FG即可.
13．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，
由折叠知，
四边形ABCD是菱形
故答案为：D.
【分析】由于B、C、F在同一条直线上，由折叠的性质知，则可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得，再由菱形的四条边相等，即，则CF可求.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，在BC右边作∠ECH=20°，
且使得CH=AD，连接EH，DH，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=140°
∴∠BCD=∠DAB=40°，
∴，
∵AF=CE，∠DAC=∠ECH，AD=CH，
∴△DAF≌△HCE，
∴DF=EH，
∵∠DCH=∠DCB+∠BCH=40°+20°=60°，且AD=DC，AD=CH，
∴CD=CH，
∴△DCH是等边三角形，
∵，AB=CD，
∴，
∵DE+DF=DE+EH≥DH，
∴，
即DE+DF最小值为.
故答案为：C.
【分析】如图，在BC右边作∠ECH=20°，使得CH=AD，连接EH，DH，证明△DAF≌△HCE，推出DF=EH，DE+DF=DE+EH≥DH，进而求解即可.
15．【答案】
【解析】【解答】解：作点M关于直线BD的对称点M'，过点M'作M'N'⊥CD于点N'，交BD于点P'，则点P在点P'的位置时，PM+PN的值最小，且最小值为线段M'N'的长度。即AB和CD这一组对边之间的距离。连接AC交BD于点O，连接P'M。
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，AO=3，BO=4，
∴AB=5，
∴S菱形ABCD=，
∴5M'N'=，
∴M'N'=.
即的最小值为 ：。
故答案为：。
【分析】首先作点M关于直线BD的对称点M'，过点M'作M'N'⊥CD于点N'，交BD于点P'，则点P在点P'的位置时，PM+PN的值最小，且最小值为线段M'N'的长度。即AB和CD这一组对边之间的距离。连接AC交BD于点O，连接P'M。首先根据菱形的性质，结合勾股定理得出AB=5，然后再根据菱形面积的两种不同求法，即可得出PM+PN的最小值。
16．【答案】
【解析】【解答】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根据勾股定理得，
∵AE=BE，
∴，
在Rt△AOB中，
即菱形的边长为，
∵点F为的中点，点O为DB中点，
∴ ．
故答案为
【分析】先求出菱形的边长为，再根据线段的中点求解即可。
17．【答案】4
【解析】【解答】解：连接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC= AB=4，
∴ABC是等边三角形，
∴∠ABC =60° ，
∴∠BAE= ∠FBC =30° ，
∵BE=AB=×4=2，
∴AE=BE=×2=6，EF
∴AF=AE-EF=6-2=4.
故答案为：4.
【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出ABC是等边三角形，就可以得知∠BAE= ∠FBC =30°，利用30°角的三角形性质，即可求出AE，EF的长，进而可得AF的值，解答即可.
18．【答案】4
【解析】【解答】提示：如图，连接CG，过点 C作CM⊥AD，交AD的延长线于点M.
∵F，H分别为CE，GE的中点，
∴FH 是△CEG的中位线.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠DGE=∠E.
∵∠EHF=∠DGE， ∴∠E=∠EHF.
∴HF=EF=CF. ∴CG=2HF=2
∵AB∥CD， ∴∠CDM=∠A=60°.
设DM=x，则CD=2x，CM= x.
∵G为AD的中点， ∴DG=x.
在 Rt△CMG中，由勾股定理得
∴x=2. ∴AB=CD=2x=4.
故答案为：4.
【分析】连接CG，过点C作 交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得C 由AB∥CD，得 设DM=x，则 ，在 中，借助勾股定理得：CG 即可求出x的值，从而解决问题.
19．【答案】5
【解析】【解答】解：如图，连接OE
四边形ABCD是菱形
、
四边形OFEG是矩形
是中点
故答案为：5.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得，同时借助AC与BD的长应用勾股定理可得边长CD=10，又因为、可得四边形OFEG是矩形，则对角线FG=OE，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）首先根据，得出垂直平分，进而根据垂直平分线的性质可得出，进一步即可得出，根据菱形的判定即可得出结论；
（2）首先根据菱形的性质可得出是等边三角形，再根据等腰三角形的性质得出，进而根据勾股定理得出，EH=，再根据。
（1）证明：∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
21．【答案】（1）；射线平分
（2）证明：由作图可知PA=AB=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
由作图可知AQ平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PCA=∠CAB，
∴PC∥AB，
∵PC=AB，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∵AP=AB，
∴四边形ABCP是菱形．
【解析】【分析】（1）根据作图即可求出答案.
（2）由作图可知PA=AB=PC，根据等边对等角可得∠PAC=∠PCA，由作图可知AQ平分∠PAB，根据角平分线定义可得∠PAC=∠CAB，则∠PCA=∠CAB，根据直线平行判定定理可得PC∥AB，再根据菱形判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）∠A+∠B=90°；a2+b2=c2；c＞a(c>b)
（2）解：四边形ADBE是菱形，理由如下：
∵BE∥AC， AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC=90°， 点D是AC的中点，
∴四边形ADBE是菱形.
【解析】【分析】 （1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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