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矩形——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．如图，在中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且，下列四个判断中，不正确的是(　　)
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分，那么四边形AEDF是菱形
D．如果且，那么四边形AEDF是正方形
2．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列说法正确的是(　　)
A．若AB⊥BC， 则 ABCD是菱形
B．若AC=BD， 则 ABCD是矩形
C．若AC⊥BD， 则 ABCD是正方形
D．若AB=AD， 则 ABCD是正方形
3．如图，矩形的对角线相交于点，，则矩形的对角线长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．现有一张长方形彩带，将其沿BC折叠成如图所示图形，若∠1=122°，则∠2的度数为（　　）
A．56° B．58° C．64° D．66°
5．如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，则的长　 　．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=　 　度．
7．已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE，若四边形ABEF是菱形，那么的值为　 　．
8．如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是矩形．
9．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：．
二、能力题
10．如图，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上.
（1）只用无刻度的直尺在AC上找一点D，使得BD最短.（保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，在BC边上找一点M，使得MA+MD最小，最小值为　 　.
11．如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
12． 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（　　）
A． B．4 C． D．
13．一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是（　　）
A．25 B．25 C．25 D．50
14．如图，将边长分别是4，8的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，则的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．一块三角形材料的形状如图所示，AC＝BC＝8，∠C＝90°．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上，则可剪出矩形CDEF的最大面积为 　 　 ．
16．如图，在矩形ABCD中，，点在边BC上，且．
（I）线段AE的长为　 　；
（II）为CD的中点，为AF的中点，为EF上一点，若，则线段MN的长为　 　．
17． 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为　 　．
18．如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 　 　．
19．已知：如图，矩形ABCD．
（1）尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，若，，求CE的长．
20． 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为 F，点G在DE的延长线上，DG = FC.
（1） 求证：四边形 DFCG是矩形；
（2） 若∠B =45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长.
21．如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
22．如图，的中线BD，CE交于点，点F，G分别是OB，OC的中点.
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当BD=CE时，求证：是矩形.
三、拓展题
23．数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到．
【探究发现】
（1）如图①，当点落在上，连接，则___________．
【深入探究】
（2）如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值．
【拓展应用】
（3）如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形AEDF是平行四边形，A正确
如果，那么平行四边形AEDF是矩形，B正确
如果AD平分，那么平行四边形AEDF是菱形，C正确
如果且，不能判断四边形AEDF是正方形，D错误
故答案为：D
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 四边形 是平行四边形，
A：若 ，则 是矩形（平行四边形中邻边垂直为矩形），故A错误；
B：若 ，则 是矩形（平行四边形中对角线相等为矩形），故B正确；
C：若 ，则 是菱形（平行四边形中对角线垂直为菱形），故C错误；
D：若 ，则 是菱形（平行四边形中邻边相等为菱形），故D错误；
故答案为：B
【分析】本题考查平行四边形的性质及特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的判定条件。需结合每种特殊平行四边形的判定定理，对每个选项进行分析：平行四边形添加邻边垂直或对角线相等可判定为矩形，添加邻边相等或对角线垂直可判定为菱形，正方形需同时满足矩形和菱形的判定条件，据此排除错误选项，确定正确答案。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：D ．
【分析】根据矩形的性质对角线相等，可得是等边三角形，，则 对角线长为 8．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
∵长方形的对边平行
∴∠3+∠1=180°
∵∠1=122°
∴∠3=58°
由折叠可得，∠2=∠3=58°
故答案为：B
【分析】根据长方形性质可得长方形的对边平行，根据直线平行性质可得∠1，再根据折叠性质即可求出答案.
5．【答案】6
【解析】【解答】解：四边形为矩形，对角线，相交于点，
，AC=BD，
∴AO=BO，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：6．
【分析】根据矩形性质得AO=BO，再根据得为等边三角形，则，由此可得的长．
6．【答案】22.5°
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°
【分析】根据矩形性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，则OA=OB═OC，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】
【解析】【解答】解：∵E关于直线AD的对称点为F，
∴DF=DE，
设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，
∵四边形AFEB是菱形，
∴AB=AF=EF=2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC =90°，
∴∠ADF=180°-∠ADC=90°
∴，
∴
故答案为：.
【分析】由轴对称的性质可得DF=DE，设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，由菱形的性质得到AB=AF=EF=2m，证明∠ADF=90°，利用勾股定理可得，据此可得答案.
8．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
∴，
又，
四边形是平行四边形．
．
（2）证明：，平分，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
【解析】【分析】（1） 在中，，，得到，由角平分线的定义可得，则，得到四边形是平行四边形，即可求证；
（2）根据，平分得到，即可求证．
9．【答案】证明：四边形是矩形，
．
，，
．
，
，
．
【解析】【分析】
根据矩形的性质求出，根据垂线的定义得到，再根据推出即可解答．
10．【答案】（1）解：如图
（2）
【解析】【解答】
解：(2)如图，找出A关于直线BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点M，连接MA，
此时MA + MD= MA'+ MD= A'D为最小值，
A'D=
MA + MD的最小值为，
故答案为：
【分析】
（1）先根据格点计算得AB=BC=5，再由点B到AC最短，则时，BD最短，根据等腰三角形的性质得到此时点D为线段AC的中点，因而利用矩形的对角线特征找到网格的对角线交点即为点D，画出图形即可解答；
（2）先利用对称性作出图形，再由两点之间线段最短得到此时MA + MD= MA'+ MD= A'D为最小值，再用勾股定理计算即可解答.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵矩形中，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
在中，，
故选：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BG，再根据勾股定理即可求出答案.
12．【答案】D
【解析】【解答】
解：作QEAB于点E，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形BCQE是矩形，
∴CQ=BE，
由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，
∴PH=20-AP-BH=20-3t，
∵QP=QH， QE⊥AB，
∴PE=HE=PH=10-
∴BE=AB-AP-PE=20-t-(10-)=10+
∵CQ=BE，
∴4t=10+
解得
故答案为：D.
【分析】由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，求得PH=20-3t，根据等腰三角形的性质得到PE=10-，再由线段的和差运算得到BE的值，再利用CQ=BE，列式计算即可解答.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：已知两条对角线的一个交角为60°，不妨设∠AOB= 60°，
在△AOB中，AO=BO=5，∠AOB= 60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=5，
另一对角线夹角为180°-60°=120°(邻补角)，
在△AOD中，AO=DO=5，∠AOD= 120°，
由勾股定理计算得AD=
∴矩形面积为ABxAD=5x 5= 25.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，设对角线交点为O，则AO=BO=CO=DO= 5，利用勾股定理计算AD=，再利用面积公式，即可解答.
14．【答案】B
【解析】【解答】解：∵折叠前后对应边相等，
∴，设，则，
在中由勾股定理可知：，代入数据：
∴，
解得 ，
∴，
故选：B．
【分析】根据折叠可得，设，则，在中用勾股定理可得，解得 ，
即．
15．【答案】16
【解析】【解答】
解：设.
中，
四边形CDEF是矩形
即：是关于x的二次函数，且二次项系数为负，则当时有最大值，最大值为16.
故正确答案为：16
【分析】由于等腰直角三角形的每一个内角都是45度，又矩形的对边平行且相等，则可判定也是等腰直角三角形，即AF＝EF，为便于计算，可设EF为x，则AF为x、CF为8-x，再利用矩形的面积公式可得是关于x的二次函数，且二次项系数为负，则化二次函数的解析式为顶点式，则当时有最大值，最大值为16.
16．【答案】；
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=BE+CE=BE+2BE=3
∴BE=1
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABE=90°
∴
故答案为：
（2）过点M作MH⊥EF于点H
∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°
∵F为CD的中点
∴
∴CF=BE
∵CE=2BE=2=AB
∴△ABE≌△ECF(SAS)
∴EF=EA，∠BAE=∠CEF
∴∠BEA+∠CEF=∠BEA+∠BAE=90°
∴∠AEF=90°
∴∠EAF=∠EFA=45°
∴∠MNF=180°-∠NFM-∠NMF=60°
∴
∵M为AF的中点
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）根据边之间的关系可得BE=1，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点M作MH⊥EF于点H，根据矩形性质可得CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°，根据线段中点可得，再根据边之间的关系可得CE=2BE=2=AB，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ECF(SAS)，则EF=EA，∠BAE=∠CEF，再根据角之间的关系可得∠EAF=∠EFA=45°，根据三角形内角和定理可得∠MNF，根据勾股定理可得AF，则，再解直角三角形即可求出答案.
17．【答案】(-1.5，5)
【解析】【解答】解：如图，设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，
∵B(1，0)，F(0，3)，
∴OB=1，OF=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OG=BC=a，CG=OB=1，
∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，
由折叠得AF=AD=a，DE=EF，
在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，
∴(a-1)2+32=a2，
解得a=5，
∴GF=5-3=2，
设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，
在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，
∴x2+22=(4-x)2
解得x=1.5，即EG=1.5，
∴点E(-1.5，5).
故答案为：(-1.5，5) .
【分析】设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，由B、F的坐标可得OB=1，OF=3，由正方形四边相等、四个内角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OBCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根据线段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折叠得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，从而可求出GF的长，设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的长，进而根据点的坐标与图形性质可得到点E的坐标.
18．【答案】20
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵O是矩形的对角线的中点，
∴，
∵M是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：20．
【分析】
由矩形的性质可知OB是斜边AC上的中线，OM是的中位线，则OB可求，再利用勾股定理可求得AC的BC的长，再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长，则四边形的周长可求 ．
19．【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：设(CE=x.
∵四边形ABCD是矩形，
∵将 沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
D-CE=3-x.
在 中，由勾股定理得：
在 中，由勾股定理得：
即
解得
故CE的长为
【解析】【分析】(1)以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分 交CD于点E即可；
(2)设CE=x，根据矩形的性质，可得.AD=B 再结合折叠的性质，可得.BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x；接下来在 中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度，然后在 根据勾股定理，列出关于x的方程，解方程即可得到答案.
20．【答案】（1）证明：∵D， E分别为AB， AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF， 即DG∥CF ，
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF ⊥ BC，
∴平行四边形DFCG 是矩形；
（2）解：∵DG=5，
∴CF =DG=5；
∵DF ⊥ BC，
∴∠DFB=90°，
在Rt△BDF中， ∠B=45°， DF=3，
∴
∴BC=BF+CF=8；
∵点D为AB的中点，
∴
如图所示， 过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，
∴CH=BC-BH=2，
在Rt△AHC中， 由勾股定理得
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥CF， 即DG∥CF ，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BD，BF，再根据边之间的关系可得BC，根据线段中点可得AB，过点A作AH⊥BC于H，解直角三角形可得AH，BH，再根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明结论即可；
（2）根据全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.
22．【答案】（1）∵BD为△ABC中线
∴E、D为AB、AC中点
∴
∵F、G为OB、OC中点
∴
∴
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）证明：的中线，交于点，
点是的重心，
，．
又点，分别是，的中点，
，，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形．
【解析】【分析】（1）先根据中线得到E、D为AB、AC中点，进而根据中位线得到，，等量代换得到，再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据三角形的重心得到，，再根据中点得到，，从而得到，再根据矩形的判定结合题意即可求解。
23．【答案】(1)；
(2)解：如图，作于点，作于点，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
，
在中，，
．
(3)或1或4
【解析】【解答】（1）解：四边形是矩形，
，
，
由旋转的性质得，，，，
，，
．
故答案为：；
（3）解：①若，连接，如图，
由旋转的性质得，，
点，分别为，中点，
，，
，，
，
三点共线，
，
又，
，
，
；
②若且在的下方，连接，如图，
点，分别为，中点，
，，
，
，
三点共线，
由旋转的性质得，，
，
；
③若且在的上方，连接，如图，
点，分别为，中点，
，，
，
，
三点共线，
由旋转的性质得，，
，
；
综上所述，的长为或1或4．
【分析】（1）利用矩形的性质求出，再根据旋转的性质求出，，，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据相似三角形的判定方法求出，再利用勾股定理求出AQ的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据题意，分①；②且在的下方；③且在的上方三种情况讨论，利用相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理等计算求解即可.
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